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1、第第4章章 随机变量的数随机变量的数字特征字特征第1页，共32页，编辑于2022年，星期一第一节第一节 数学期望数学期望为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望，记为的数学期望，简称期望，记为E(X)，即，即 1.数学期望的定义数学期望的定义第2页，共32页，编辑于2022年，星期一 E(X)是一个实数，形式上是是一个实数，形式上是X的可能值的加权平均的可能值的加权平均数，实质上它体现了数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称取值的真正平均。又称E(X)为为X的平均值，简称均值。它完全由的平均值，简称均值。它完全由X的分布所决定，又称的分布所决定，又称为分布的均值为分布的均值.第3页，共32
2、页，编辑于2022年，星期一例例4.1 某商店在年末大甩某商店在年末大甩卖卖中中进进行有行有奖销奖销售，售，摇奖时摇奖时从从摇摇箱箱摇摇出的球的可能出的球的可能颜颜色色为为：红红、黄、黄、蓝蓝、白、黑五种，、白、黑五种，其其对应对应的的奖奖金金额额分分别为别为：10000元、元、1000元、元、100元、元、10元、元、1元元.假定假定摇摇箱内装有很多球，其中箱内装有很多球，其中红红、黄、黄、蓝蓝、白、黑的、白、黑的比例分比例分别为别为：0.01%,0.15%,1.34%,10%,88.5%,求每次求每次摇奖摇奖摇摇出的出的奖奖金金额额X的数学期望的数学期望.解解 每次摇奖摇出的奖金额每次摇奖
3、摇出的奖金额X是一个随机变量，易知它的是一个随机变量，易知它的分布律为分布律为X10000 1000 100 10 1pk0.0001 0.0015 0.0134 0.1 0.885第4页，共32页，编辑于2022年，星期一因此，因此，E（X）=100000.0001+10000.0015+1000.0134 +100.1+10.885 =5.725.可可见见，平平均均起起来来每每次次摇摇奖奖的的奖奖金金额额不不足足6元元.这这个个值值对对商商店店作作计计划划预预算算时时是很重要的是很重要的.第5页，共32页，编辑于2022年，星期一例例4.4 设设随机随机变变量量X服从柯西（服从柯西（Cau
4、chy）分布，其概）分布，其概率密度率密度为为 试证试证E（X）不存在）不存在.故故E（X）不存在）不存在.证证 由于由于 第6页，共32页，编辑于2022年，星期一定理定理4.1 设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即Y=g(X),g(x)是是连续函数。连续函数。2.随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望第7页，共32页，编辑于2022年，星期一设设X是连续型随机变量，且是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定理的满足第二章中定理的条件。则由定理的结论知条件。则由定理的结论知Y Y的概率密度为的概率密度为证证明明第8页，共32页，编辑于2022年，星期一推广推广：设设Z
5、是随机向量（是随机向量（X,Y）的函数，即）的函数，即Z=g(X,Y)（g(x,y)是连续函数）是连续函数）第9页，共32页，编辑于2022年，星期一例例4.6 对对球的直径作近似球的直径作近似测测量，量，设设其其值值均匀分布在区均匀分布在区间间a，b内，求球体内，求球体积积的数学期望的数学期望.解解 设设随机随机变变量量X表示球的直径，表示球的直径，Y表示球的体表示球的体积积，依，依题题意，意，X的概率密度的概率密度为为 球体球体积积 ，由（，由（4.6）式得）式得 第10页，共32页，编辑于2022年，星期一定理定理4.2 设随机变量设随机变量X,Y的数学期望的数学期望E(X),E(Y)存
6、在存在.3.数学期望的性质数学期望的性质第11页，共32页，编辑于2022年，星期一例例4.9 设设一一电电路中路中电电流流I（安）与（安）与电电阻阻R（欧）是两个（欧）是两个相互独立的随机相互独立的随机变变量，其概率密度分量，其概率密度分别为别为 试求电压试求电压V=IR的均值的均值.解解 第12页，共32页，编辑于2022年，星期一(1)(01)分布分布 E（X）=0(1-p)+1p=p.4.常用分布的数学期望常用分布的数学期望(2)二项分布二项分布(3)泊松分布泊松分布(4)均匀分布均匀分布(5)指数分布指数分布(6)正正态态分布分布 第13页，共32页，编辑于2022年，星期一第二节第
7、二节 方差方差第14页，共32页，编辑于2022年，星期一第15页，共32页，编辑于2022年，星期一第16页，共32页，编辑于2022年，星期一2.方差的性质方差的性质设随机变量设随机变量X与与Y的方差存在，则的方差存在，则第17页，共32页，编辑于2022年，星期一3.常用分布的方差常用分布的方差X 0 1P 1-p p第18页，共32页，编辑于2022年，星期一第19页，共32页，编辑于2022年，星期一第20页，共32页，编辑于2022年，星期一第21页，共32页，编辑于2022年，星期一第22页，共32页，编辑于2022年，星期一例例4.15 设设活塞的直径（以活塞的直径（以cm计计
8、）XN(22.40,0.032)，汽缸的，汽缸的直径直径YN（22.50,0.042），），X，Y相互独立，任取一只活塞，相互独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率 解解 按题意需求按题意需求PXY=PX-Y0.令令Z=X-Y，则，则E（Z）=E（X）-E（Y）=22.40-22.50=-0.10,D(Z)=D(X)+D(Y)=0.032+0.042=0.052,即即ZN（-0.10,0.052）,故有故有第23页，共32页，编辑于2022年，星期一第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第24页，共32页，编辑于2022年，星期一若
9、若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为为二维离散型随机变量，其联合分布律为 PX=xi，Y=yj=pij，i,j=1,2,若若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)第25页，共32页，编辑于2022年，星期一第26页，共32页，编辑于2022年，星期一第27页，共32页，编辑于2022年，星期一例例4.18 设设X服从服从0,2上均匀分布，上均匀分布，Y=cosX,Z=cos(X+a)，这这里里a是是常数常数.求求YZ.第28页，共32页，编辑于2022年，星期一 当当a=0时时，YZ=1，Y=Z，存在，存在线线性关系；性关系；当当
10、a=时时，YZ=-1，Y=-Z，存在，存在线线性关系；性关系；当当 时时，YZ=0，这时这时Y与与Z不相关，但不相关，但这这时时却有却有Y2+Z2=1，因此，因此，Y与与Z不独立不独立.第29页，共32页，编辑于2022年，星期一第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵第30页，共32页，编辑于2022年，星期一设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵协方差矩阵具有以下协方差矩阵具有以下性质性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵）协方差矩阵为对称矩阵;（2）协方差矩阵为非负定矩阵。协方差矩阵为非负定矩阵。协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩第31页，共32页，编辑于2022年，星期一第32页，共32页，编辑于2022年，星期一