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1、第3章测试系统特性分析第1页，共102页，编辑于2022年，星期二第三章 测试系统特性分析Characteristic analysis of measurement systems 王伯雄第2页，共102页，编辑于2022年，星期二本章主要学习内容 3.1 概述3.2 测量误差3.3 测试系统的静态特性 3.4 测试系统的动态特性 3.5 测试系统实现精确测量的条件 3.6 测试系统的负载效应 第3页，共102页，编辑于2022年，星期二3.1 概述l信号与系统紧密相关。l被测的物理量,亦即信号,作用于测试系统，系统在输入信号亦即激励的驱动下对它进行“加工”，并将经“加工”后的信号进行输出。
2、l输出信号的质量必定不好于输入信号的质量。受测试系统的特性影响；受信号传输过程中干扰（interference）的影响。第4页，共102页，编辑于2022年，星期二测试系统与其输入、输出间的3种关系：1.已知输入量和系统的传递特性，求系统输出量。2.已知输入和输出量，求系统传递特性。3.已知系统的传递特性和输出量，求系统输入量。希望输入与输出间是一种一一对应的确定关系，因此要求系统传递特性是线性的。对静态测量，系统的线性特性要求并非必须，采取曲线校正和补偿技术作非线性校正较为容易。对动态测量，测试装置或系统的线性特性关系要求便是必须的。动态测量中，非线性校正和处理难于实现且昂贵。图3.1 测试
3、系统框图 第5页，共102页，编辑于2022年，星期二3.2 测量误差 l定义：误差(error)E是指示值与真值或准确值的差：E=xm-x(3.1)xm指示值(indication)；x真值(true value)或准确值。校正值或修正值(correction)B是与误差E的数值相等但符号相反的值：B=x-xm(3.2)第6页，共102页，编辑于2022年，星期二l分类一（根据误差性质）：系统误差(systematic error)：l定义：每次测量同一量时，呈现出相同的或确定性方式的测量误差。l产生原因：标定误差，持久发生的人为误差，不良仪器造成的误差，负载产生的误差，系统分辨率局限产生的
4、误差，等等。随机误差(random error)：l定义：每次测量同一量时，其数值均不一致，但却具有零均值的测量误差。l产生原因：测量人员的随机因素，设备受干扰，实验条件波动，测量仪器灵敏度不够等。过失误差或非法误差(illegitimate error)：l意想不到而存在的误差。l如实验中因过失或错误引起的误差，实验之后的计算误差等。第7页，共102页，编辑于2022年，星期二l随机误差具有明显的统计分布特性。常用统计分析来估计该误差的或然率大小。l系统误差不可以用统计方法来处理，系统误差是一个固定的值，并不呈现分布的特征。l系统误差和随机误差常常同时发生。图3.2 系统误差与随机误差(a)
5、系统误差大于随机误差(b)随机误差大于系统误差 第8页，共102页，编辑于2022年，星期二l分类二（根据测量类型）：静态误差(static error)：l定义：确定时不变测量值的线性测量仪器，其传递特性为一常数。而相应的非线性测量仪器的输入输出关系是用代数方程或超越方程来描述的。因而所产生的误差一般仅取决于测量值大小而其本身不是时间的函数。称这种误差为静态误差。动态误差(dynamic error)：l定义：在测量时变物理量时，要用微分方程来描述输入输出关系。此时产生的误差不仅取决于测量值的大小，还取决于测量值的时间过程。称这种误差为动态误差。第9页，共102页，编辑于2022年，星期二3
6、.3 测试系统的静态特性l当被测量是恒定的、或是慢变的物理量时，涉及到系统的静态特性。l静态特性(static characteristics)包括：1.重复性(repeatability)；2.漂移(drift)；3.误差(error)；4.精确度(accuracy)；5.分辨率(resolution)；6.线性度(linearity)；7.非线性(nonlinearity)。第10页，共102页，编辑于2022年，星期二1.重复性（精度，precision）：由同一观察者采用相同的测量条件、方法及仪器，对同一被测量所做的一组测量间的接近程度（closeness）。表征测量仪器随机误差接近于
7、零的程度。2.漂移：仪器的输入未变化时，输出发生的变化。由仪器的内部温度变化和元件不稳定性引起。第11页，共102页，编辑于2022年，星期二3.误差：仪器的误差有两种表达方式：绝对(absolute)误差：用专门的测量单位来表示；相对(relative)误差：表达为被测量的一个百分比值，或表达为某个专门值比如满量程(full-scale)指示值的一个百分比。第12页，共102页，编辑于2022年，星期二4.精确度：测量仪器的指示值和被测量真值的符合程度，通过所宣称的概率界限将仪器输出与被测量的真值关联起来。精确度是由诸如非线性、迟滞、温度变化、漂移等一系列因素所导致的不确定度之和。5.灵敏度
8、(sensitivity)：单位被测量引起的仪器输出值的变化。灵敏度有时亦称增益(gain)或标度因子。第13页，共102页，编辑于2022年，星期二6.分辨率：当被测量从一个相对于零值的任意值开始连续增加时，使指示值产生一定变化量所需的输入量的变化量。如果指示值不是连续的，将指示的不连续步距值称作分辨率。数显式仪器的分辨率是指显示值最后一位数的数距。图3.3 分辨率概念不同意义第14页，共102页，编辑于2022年，星期二7.线性度 第一种定义：用理论刻度的端点值来确定参考直线。一个无抑零范围的测量仪器的这条直线规定为穿过零点和最大值的终点。线性度按误差限的概念定义为最大的偏离量并以示值范围
9、的百分比给出。第二种定义：用定标测量点来描述参考直线。采用线性回归技术求出该直线，使测量值偏离该直线的误差平方之和最小。最大的偏离量按照测量的不确定度的定义给出。测量不确定度(uncertainty)规定为在某个概率之下不被超过的误差值。第15页，共102页，编辑于2022年，星期二v第一种定义主要用于描述以系统误差为主的测量仪器或系统；v第二种定义用于以随机误差为主的测量系统。图3.4 线性度的两种意义 第16页，共102页，编辑于2022年，星期二8.迟滞(hysteresis)、回差(dead space)和弹性后效 9.零点稳定性(zero stability)在被测量回到零值且其它变
10、化因素（如温度、压力、湿度、振动等）被排除后，仪器回到零指示值的能力。第17页，共102页，编辑于2022年，星期二3.4 测试系统的动态特性1.线性系统的数学描述2.用传递函数或频率响应函数描述系统的传 递特性 3.测试系统对典型激励的响应函数4.测试系统对任意输入的响应5.测试系统特性参数的实验测定第18页，共102页，编辑于2022年，星期二1.线性系统的数学描述动态测量中，测试装置或系统本身应该是一个线性系统,原因：l我们仅能对线性系统作较完善的数学处理；l在动态测试中作非线性校正比较困难。线性系统的输入输出间的关系：x(t)为系统输入；y(t)为系统输出；an,a0,bm,b0为系统
11、的物理参数，若均为常数，方程为常系数微分方程，所描述的系统便是线性定常系统或线性时不变(linear time-invariant)系统。(3.3)第19页，共102页，编辑于2022年，星期二线性时不变系统的基本性质 l叠加性(superposability)若x1(t)y1(t),x2(t)y2(t)，有x1(t)+x2(t)y1(t)+y2(t)。(3.4)l比例性(proportionality)若x(t)y(t),则对任意常数a，有 ax(t)ay(t)(3.5)l微分特性(differentiation)若x(t)y(t)，有l积分特性(integration)若x(t)y(t)，
12、当系统初始状态为零时，有(3.6)(3.7)第20页，共102页，编辑于2022年，星期二l频率保持性(frequency perservability)若x(t)y(t)，且x(t)=x0ejt,则 y(t)=y0ej(t+)。证明：按比例性有其中为某一已知频率。根据微分特性有 两式相加有(3.8)(3.9)(3.10)第21页，共102页，编辑于2022年，星期二由于x(t)=x0ejt,则 因此式（3.10）左边为零，亦即由此式（3.10）右边亦应为零，即 解此方程可得唯一的解为 其中为初相角。第22页，共102页，编辑于2022年，星期二2.用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性(
13、1)传递函数(transfer function)若y(t)为时间变量t的函数，且当t0时，有y(t)=0，定义y(t)的拉普拉斯变换Y(s)为 式中s为复变量，s=a+jb，a0。若系统的初始条件为零，对式（3.3）作拉氏变换得(3.11)第23页，共102页，编辑于2022年，星期二定义输入和输出两者的拉普拉斯变换之比为传递函数H(s)：传递函数特性：H(s)不因输入x(t)的改变而改变，仅表达系统特性；由H(s)所描述的系统，对任一具体的输入x(t)都明确给出相应的输出 y(t)；等式中的各系数an，an-1，a1，a0和bm，bm-1，b1，b0是由测试系统本身结构特性所唯一确定的常数
14、，称结构参数。(3.12)第24页，共102页，编辑于2022年，星期二（2）频率响应函数(frequency response function)对稳定的线性定常系统，设s=j，亦即原s=a+jb中的a=0，b=，（3.11）变为上式即为信号章节中叙述过的单边傅立叶变换公式。有 H(j)称测试系统的频率响应函数。v频率响应函数是传递函数的特例。频率响应函数也可对式（3.3）作傅立叶变换来推导得到。（请自行推导）(3.16)(3.17)第25页，共102页，编辑于2022年，星期二l传递函数和频率响应函数 的区别推导传递函数时，系统初始条件设为零。对一个从t=0开始所施加的简谐信号激励，采用拉
15、普拉斯变换解得的系统输出由两部分组成：由激励所引起的、反映系统固有特性的瞬态(transient)输出及该激励所对应的系统稳态(steady-state)输出。对频率响应函数H(j)，输入为简谐信号时，在观察的时刻，系统的瞬态响应已趋近于零，频率响应函数表达的仅仅是系统对简谐输入信号的稳态输出。第26页，共102页，编辑于2022年，星期二将频率响应函数H(j)写成幅值与相角表达的指数函数形式，有：式中 A()为复数H(j)的模(modulus)，称系统的幅频特性；()为H(j)的幅角(phase)，称系统的相频特性。将H(j)用实部和虚部来表达：P()和Q()均为的实函数，有(3.18)(3
16、.19)(3.20)(3.21)(3.22)第27页，共102页，编辑于2022年，星期二l伯德图(Bode plot)将自变量用对数坐标表达，幅值A()用分贝（dB）数表达，所得的对数幅频曲线与对数相频曲线称为伯德图。图3.8 一阶系统H(j)=1/(1+j)的伯德图 第28页，共102页，编辑于2022年，星期二l乃奎斯特图(Nyquist plot)将系统H(j)的实部P()和虚部Q()分别作为坐标系的横坐标和纵坐标，画出它们随变化的曲线，且在曲线上注明相应频率。图3.9 一阶系统H(j)=1/(1+j)的乃奎斯特图 第29页，共102页，编辑于2022年，星期二（3）一阶、二阶系统的传
17、递特性描述 将式（3.12）中分母分解为s的一次和二次实系数因子式（二次实系数式对应其复数极点），即则 v任何一个系统均可视为是由多个一阶、二阶系统的并联。也可将其转换为若干一阶、二阶系统的串联。(3.23)第30页，共102页，编辑于2022年，星期二根据式（3.17），一个n阶系统的频率响应函数H(j)仿照式（3.23）也可视为是多个一阶和二阶环节的并联（或串联）：(3.24)第31页，共102页，编辑于2022年，星期二l一阶(first-order)惯性系统 若系统满足称该系统为一阶测试系统或一阶惯性系统。令 K=b0/a0系统静态灵敏度;=a1/a0系统时间常数（time const
18、ant）。作拉氏变换，有 系统的传递函数为(3.25)(3.27)(3.28)第32页，共102页，编辑于2022年，星期二例：一液柱式温度计，输入与输出间有下述关系R传导介质的热阻；C温度计的热容。两边作拉普拉斯变换，并令RC（为温度计时间常数），有 系统的传递函数：系统的频率响应函数：(3.29)(3.30)(3.31)图3.10 液柱式温度计 第33页，共102页，编辑于2022年，星期二液柱式温度计的传递特性是一个一阶惯性系统特性。系统传递特性的幅频与相频特性分别为：(3.32)(3.33)图3.11一阶系统的幅频与相频特性图 第34页，共102页，编辑于2022年，星期二图3.12示
19、出另外两个一阶系统的例子，由系统的相似性理论可知，它们都具有与图3.10所示液柱式温度计相同的传递特性。(请自行加以推导验证)图3.12 一阶系统（a）忽略质量的单自由度振动系统（b）RC低通滤波电路 第35页，共102页，编辑于2022年，星期二l二阶(second-order)系统 令：系统静态灵敏度；：系统无阻尼固有频率（rad/s）；：系统阻尼比。对式（2.159）两边作拉普拉斯变换得(3.34)(3.35)第36页，共102页，编辑于2022年，星期二系统传递函数：系统频率响应函数：(3.36)(3.37)第37页，共102页，编辑于2022年，星期二图3.13示出一个测力弹簧秤，是
20、一个二阶系统。设系统初始状态为零，即x0=0，fi=0。由牛顿第二定律得：式中：fi施加的力（N）；x0指针移动距离（m）；B系统阻尼常数（N/m/s）；Ks弹簧系数（N/m）。作拉普拉斯变换有 图3.13 测力弹簧秤(3.38)(3.39)第38页，共102页，编辑于2022年，星期二令式（2.180）变为 于是弹簧秤系统的传递函数 (3.40)(3.41)第39页，共102页，编辑于2022年，星期二系统的幅频特性为：图3.14(a)二阶系统的幅频曲线(3.42)第40页，共102页，编辑于2022年，星期二系统的相频特性为：(3.42)图3.14(b)二阶系统的相频曲线第41页，共102
21、页，编辑于2022年，星期二二阶系统的伯德图和乃奎斯特图图3.15 二阶系统的伯德图 图3.16 二阶系统的乃奎斯特图 第42页，共102页，编辑于2022年，星期二图3.17示出了其它形式的二阶系统，根据系统相似性原理，它们具有与弹簧秤相同的传递函数和频率响应函数。（请自行推导）图3.17 二阶系统例（a）质量弹簧阻尼系统（b）RLC电路 第43页，共102页，编辑于2022年，星期二小 结l信号与系统紧密相关，信号作用于系统，系统对它进行加工，并将加工后的信号输出。l受干扰和系统性能的影响，输出信号的质量必定不好于输入信号的质量。l希望输入与输出间是一种一一对应的确定关系，要求系统传递特性
22、是线性的。l由于仅能对线性系统作完善的数学处理 而对系统作非线性校正困难等原因，动态测量中希望测试装置是一个线性系统。第44页，共102页，编辑于2022年，星期二小 结l用传递函数或频率响应函数描述系统的传递特性，在机械系统中，一般对系统的稳态响应感兴趣，因此常采用频率响应函数。l任何系统均可视为是由多个一阶、二阶系统的并联或串联。l 一阶系统的特性参数是系统的时间常数，二阶系统的特性参数有系统固有频率和阻尼比。l用幅频和相频曲线来描述系统的动态特性。第45页，共102页，编辑于2022年，星期二问问 题题l为什么要学习测试系统的特性？什么是测试系统的静特性？什么是测试系统的动特性？如何来描
23、述系统的动特性？l在进行动态测量时，为什么总希望有一个线性的测试系统？l传递函数和频率响应函数均可以用来描述一个系统的传递特性，两者的区别何在？试用工程实例加以说明。第46页，共102页，编辑于2022年，星期二（4）测试系统对典型激励的响应函数1.传递函数和频率响应函数均描述测试系统对正正 弦激励弦激励的响应。系统输出包括两部分：瞬态(transient)输出；稳态(steady-state)输出。2.瞬态输出为系统的自然响应，随时间衰减为零。3.频率响应函数描述系统的稳态输出，是传递函数 的一种特殊情况。4.动态响应也可通过施加其他激励来获取。5.三种重要激励信号：单位脉冲，单位阶跃，单位
24、脉冲，单位阶跃，斜坡函数斜坡函数。第47页，共102页，编辑于2022年，星期二1.单位脉冲(unit impulse)输入下系统的脉 冲响应函数 单位脉冲函数(t)的傅立叶变换(j)=1。同 样，(t)的拉氏变换(s)=L(t)1。测试装 置在激励输入信号为(t)时的输出为：Y(s)=H(s)X(s)=H(s)(s)=H(s)。对Y(s)作拉普拉斯反变换可得装置输出的时域表达 h(t)：测试装置的脉冲响应(impulse response)函数或权（weighing）函数。(3.43)第48页，共102页，编辑于2022年，星期二 对于一阶惯性系统，其传递函数 可求得它们的脉冲响应函数(3.
25、44)图3.18 一阶惯性系统的脉冲响应函数 第49页，共102页，编辑于2022年，星期二对于一个二阶系统，其传递函数为 则可求得其脉冲响应函数(欠阻尼情况under damping,1)图3.19 二阶系统的脉冲响应函数 第50页，共102页，编辑于2022年，星期二 公式中所应用的单位脉冲函数在实际中是不存在的，工程中常采取时间短的脉冲信号来近似，比如给系统以短暂的冲击输入，冲击持续的时间若小于/10，则可近似认为是一个单位脉冲输入。图3.21 精确的和近似的脉冲响应 第51页，共102页，编辑于2022年，星期二2.单位阶跃(unit step)输入下系统的响应函数 阶跃函数和单位脉冲
26、函数间的关系是 亦即 因此系统在单位阶跃信号激励下的响应便等于系统 对单位脉冲响应的积分。（为什么？）一阶惯性系统H(s)=1/(s+1)对单位阶跃函数的响 应，其响应函数为 相应的拉普拉斯表达式为(2.204)(2.205)(2.206)(2.207)第52页，共102页，编辑于2022年，星期二当时间t=4，y(t)=0.982，此时系统输出值与系统稳定时的响应值之间的差已不足2%，可近似认为系统已到达稳态。v一阶装置的时间常数应越小越好。v阶跃输入方式简单易行，如对系统的突然加载或去载均属于阶跃输入，因此也常在工程中用来测量系统的动态特性。图3.22 一阶系统对阶跃输入的响应 第53页，
27、共102页，编辑于2022年，星期二一个二阶系统的传递函数为对阶跃输入的响应函数可求得为 式中(欠阻尼情况)(3.67)(临界阻尼情况)(3.68)(过阻尼情况)(3.69)第54页，共102页，编辑于2022年，星期二图3.23 二阶系统对单位阶跃的响应 第55页，共102页，编辑于2022年，星期二l小结 1.阶跃响应函数方程式中的误差项均包含有 因子e-AT项，当t时，动态误差为零，亦 即它们没有稳态误差。2.但是系统的响应在很大程度上取决于阻尼 比和固有频率n，n越高，系统的响应 越快，阻尼比直接影响系统超调量和振荡 次数。第56页，共102页，编辑于2022年，星期二l小结3.当=0
28、时，系统超调量为100%，系统持续振荡；4.当1时，系统蜕化为两个一阶环节的串联，此时系统虽无超调（无振荡），但仍需较长时间才能达到稳态。5.当3时，相频曲线对所有都接近-180，可认为此时的相频特性满足精确测试的条件。获得无相差的方法：（1）采取反相器；（2）在数据处理时减去固定的相位差。问题：尽管幅频特性曲线趋近于常值，但高频幅值 量很小，不利于信号的输出与后续处理。第70页，共102页，编辑于2022年，星期二l理想的精确系统实际不可能：受装置内外干扰，输入信号本身的质量的影响，因此只能做到使测量足够精确，不能完全。l采取措施：选择工作频率范围合适的测试装置；对输入信号做滤波处理，去除高
29、频噪声。l测试装置特性选择至关重要，往往在一个测试装置工作频段上不能同时满足幅频和相频的线性关系，幅频和相频特性之间有内在联系。(下图)l测试中无必要一定同时要求幅频和相频满足精确测试条件，有时仅仅要求知道信号的频率成分和幅值，不要求相位。第71页，共102页，编辑于2022年，星期二系统的幅频特性为：图3.14(a)二阶系统的幅频曲线(3.42)第72页，共102页，编辑于2022年，星期二系统的相频特性为：(3.42)图3.14（b）二阶系统的相频曲线第73页，共102页，编辑于2022年，星期二l对于一个二阶系统，在/n Zab。l对于一般的包括非电系统在内的所有系统则有式中 ym广义变
30、量的被测值；xu广义变量的未受干扰的值；Zgi广义输入的阻抗；Zgo广义输出的阻抗。(3.103)第89页，共102页，编辑于2022年，星期二l小结：v一个测试系统可以认为是被测对象与测量装置的连接。v由于传感、显示等中间环节的影响，系统的前后环节之间发生能量的交换。测试装置的输出z(t)将不再等于被测对象的输出值y(t)。v在两个系统互联而发生能量交换时，系统连接点的物理参量将发生变化。两个系统将不再简单地保留其原有的传递函数，而是共同形成一个整体系统的新传递函数。图3.35 被测对象与测试装置连接关系 第90页，共102页，编辑于2022年，星期二l负载效应例：a.低通滤波器接负载；b.
31、地震式速度传感器外接负载；c.单自由度振动系统外接传感器。图3.36 负载效应例 第91页，共102页，编辑于2022年，星期二图3.37中两个一阶环节的传递函数分别是：（2）一阶系统的互联 图3.37 两个一阶环节的联接（a）（b）一阶环节 （c）两环节不加隔离直接串联 第92页，共102页，编辑于2022年，星期二若未加任何隔离措施而将这两个环节直接串联，令v2(t)为联接点的电压，可得 自联接点右侧的阻抗为 令Z表示自R1后的右侧电路的阻抗，即 第93页，共102页，编辑于2022年，星期二故联接后的传递函数为：而(3.104)(3.105)第94页，共102页，编辑于2022年，星期二
32、显然，H(s)H1(s)H2(s)。原因：两个环节直接串联形成两环节间有能量交换(energy exchange)。解决方法：采用隔离，在两级之间插入“跟随”器（follower）。（缺点：麻烦！）合理选用测试装置使能满足测试精度的要求。为使H(s)H1(s)，选择上可采取：a.2 1，一般应选用2 0.31；测试装置的存储器件应尽量选择小容量的，即C2要小。第95页，共102页，编辑于2022年，星期二v小结 负载效应是一种不能不考虑的现象，它影响到测量的实际结果。适当地选择测量装置的各项参数，使之与被测系统阻抗匹配。同时也可采用频域分析的手段，如傅里叶变换、均方功率谱密度函数等，可将这种效
33、应降至最小。第96页，共102页，编辑于2022年，星期二小 结l传递函数和频率响应函数均描述系统对正弦激励的响应，系统输出包括瞬态和稳态输出。l还可用单位脉冲、单位阶跃和斜坡函数作为系统的激励来获取系统响应。l系统对阶跃的响应取决于阻尼比和固有频率n，n越高，系统的响应越快，阻尼比直接影响系统超调量和振荡次数。第97页，共102页，编辑于2022年，星期二小 结l当1时，若选择在0.60.8之间，最大超调量约在2.5%10%之间，对于5%2%的允许误差而认为达到稳态的所需调整时间也最短，约为(34)/n。因此，许多测量装置在设计参数时也常常将阻尼比选择在0.60.8之间。l完美的测试系统时域
34、精确复制被测信号的波形，无延时；频域上：系统频率响应函数H(j)满足条件H(j)=K0。l实际中能做到幅值比为常数，由于任何测量都伴有时间滞后，不能在信号频率范围上同时实现零相位滞后。第98页，共102页，编辑于2022年，星期二小 结l对于二阶系统，在/n 0.3的范围内，系统幅频接近直线，幅值变化不超过10%。l相频曲线对不同阻尼变化剧烈。为零时，相位为零；为0.60.8时，相频近似为起自座标原点的斜线；很小时，系统产生超调和振荡，不利于测试。常选择为0.60.8的范围，得到较好的相位特性。l系统对任意激励信号的响应是该输入激励信号与系统的脉冲响应函数的卷积，频域中符合卷积定理。第99页，
35、共102页，编辑于2022年，星期二小 结l测试系统是被测对象与测量装置的连接，传感、显示等中间环节的影响，系统的前后环节之间发生能量的交换。测试装置的输出z(t)将不再等于被测对象的输出值y(t)，形成负载现象。l适当地选择测量装置的各项参数，使之与被测系统阻抗匹配，或采取级间隔离措施，可以减小负载效应。第100页，共102页，编辑于2022年，星期二今日作业今日作业 已知某二阶系统传感器，其固有频率fn=20kHz，阻尼比=0.1，若要求传感器的输出信号幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。第101页，共102页，编辑于2022年，星期二 End of Chap.3第102页，共102页，编辑于2022年，星期二