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1、风险理论第四讲第1页，此课件共41页哦问题的提出n个体风险模型的缺点n假定单位时间内保单组合理赔的次数是一个随机变量，我们记为N，表示按次序到来的的理赔，设S表示单位时间内的总理赔额，N表示单位时间内的理赔次数，集体风险模型可以描述为第2页，此课件共41页哦n假定（1）是独立同分布的随机变量（2）N与Xi独立第3页，此课件共41页哦n我们按如下步骤讨论理赔次数S的分布S的近似分布S的分布数值计算方法第4页，此课件共41页哦理赔次数的分布n主要内容1、母函数与矩母函数2、一张保单的理赔次数分布3、理赔次数的混合分布4、理赔次数的复合分布5、免赔额对理赔次数分布的影响第5页，此课件共41页哦N的母
2、函数与矩母函数n设N是一个离散随机变量，取值于 0,1,2,记其母函数为矩母函数为母函数与矩母函数的关系第6页，此课件共41页哦n母(矩母)函数性质1、若N的母(矩母)函数存在，那么母(矩母)函数与分布函数是相互唯一决定的。2、由母(矩母)函数可以导出矩的计算：第7页，此课件共41页哦请问3、设NN1+Nn,Ni相互独立，则第8页，此课件共41页哦二、一张保单的理赔次数分布n1、泊松分布(Poisson)对于保险公司而言，客户因发生损失而提出理赔的人数类似于等待服务现象，因此对大多数险种来说，个别保单的理赔次数可用泊松分布来表示，即在单位时间内个别保单发生理赔次数N的分布列为：在单位时间内理赔
3、次数N的分布列为第9页，此课件共41页哦泊松分布的性质：（1）均值和方差（2）母函数（3）矩母函数（4）可加性第10页，此课件共41页哦定定理理1：设,是相互独立的泊松随机变量，参数分别为，则服从泊松分布，参数为。证明：故N服从泊松分布，参数为。第11页，此课件共41页哦（5）可分解性假设损失事故可以分为m个不同类型C1,CmEi表示第i类事故发生。pi表示第i类事故发生的概率，Ni表示第i类事故发生的次数，N表示所有事故发生的次数。定理定理2 2：若N服从参数为l的泊松分布，则N1,N2,Nn都是相互独立的，且服从泊松分布，参数分别是lpi，。第12页，此课件共41页哦证明证明：给定N=n，
4、Ni|n服从二项分布B(1,pi)，N1,Nn服从多项分布因此其中nn1+n2+nn第13页，此课件共41页哦因此，的联合分布等于Ni分布的乘积，Ni是相互独立的随机变量。第14页，此课件共41页哦例例1：设N表示损失事故发生的次数，X表示损失额，服从泊松分布，l=10，XU0,20。问损失额超过5的事故发生次数的概率分布。解解：令E表示事件“损失额超过5”所以损失额超过5的次数服从参数为100.75=7.5的泊松分布。第15页，此课件共41页哦例例2：假设某险种的个体保单损失X的分布为又假设个体保单在一年内发生的损失事件的次数N服从泊松分布，l200。Ni表示损失额为i的损失事件的次数。（1
5、）求的分布。（2）假设免赔额为1，求个体保单在一年内发生的理赔事件次数的分布。第16页，此课件共41页哦解解：由于，且N服从泊松分布，由定理知，Ni相互独立且服从泊松分布。参数li等于计算得到（2）留作课堂练习第17页，此课件共41页哦2、其他常见的理赔次数分布（1）负二项分布其中：第18页，此课件共41页哦负二项分布的性质（1）当r1，负二项分布退化为几何分布（2）母函数第19页，此课件共41页哦将化简得到（3）均值和方差第20页，此课件共41页哦（2）二项分布性质（1）母函数与矩母函数第21页，此课件共41页哦（2）均值与方差请问：如何从观察数据简单区别负二项分布、二项分布和泊松分布第22
6、页，此课件共41页哦例例3：设有100个40岁的投保人投保生命险，q表示一个投保人明年死亡的概率，问明年死亡人数的分布是什么？第23页，此课件共41页哦3、(a,b,0)分布族上述3种分布都可以用(a,b,0)分布来表示n定义定义：设随机变量N的分布列满足则称分布族为(a,b,0)分布族 注：泊松分布，二项分布，负二项分布是（a,b,0)分布族第24页，此课件共41页哦泊松分布：负二项分布第25页，此课件共41页哦因此，当r1时，负二项分布是几何分布，二项分布第26页，此课件共41页哦例例4：设N是一随机变量，令，如果问N的分布是什么？解：由知，N服从二项式分布第27页，此课件共41页哦练习练
7、习：设X的分布属于(a,b,0)class，已知求第28页，此课件共41页哦三、理赔次数的混合分布n背景：从保单中随意抽取一份保单，求该保单的理赔次数分布。同质性：指所有的保单相互独立，且都有相同的风险水平，即各保单的损失额的分布相同，损失次数的分布也相同。非同质性：保单组合中的每个保单风险水平各不相同。表示其风险水平。第29页，此课件共41页哦n数学模型设Q是一个随机变量，当Qq时，令 为Q的累积分布，u(q)为q的密度函数，则N的分布列为 或者N的分布称为混合分布。第30页，此课件共41页哦例例5：某司机总体被平均分成两个类型。每个司机发生车祸的次数都服从泊松分布。第一种类型的司机的平均发
8、生车祸的次数服从（0.2，1.8）的均匀分布。第二种类型的司机的平均发生车祸的次数服从（0.5，2.0）的均匀分布。从这个总体中随机抽取一个司机，求他不发生车祸的概率。第31页，此课件共41页哦解解第32页，此课件共41页哦n混合分布性质 1.母函数或者其中PN(z|q)表示在Qq条件下，N的母函数。2均值和方差 第33页，此课件共41页哦n常见的几种混合泊松分布1、离散型混合对于规模较小的保单组合，假设保单组合由n种不同的风险水平构成，泊松参数取值于,，设，。当Llk时，保单的损失次数服从参数为lk的泊松分布。则从保单组合中任意抽取一份保单的分布为第34页，此课件共41页哦例例6：假设投保车
9、险的驾驶员可以分为两类，他们出事的次数服从泊松分布，其中好的一类的泊松参数为0.11，坏的一类的泊松参数为0.70，好的驾驶员和坏的驾驶员的比例为0.94和0.06，则任意一个驾驶员出事的次数分布时多少？解第35页，此课件共41页哦2、连续型的混合对于规模较大的保单组合，可以假设其中的泊松参数服从连续分布。以u(l)表示的密度函数，通常称为结构函数。则从保单组合中随机抽取一份保单的损失次数分布为性质：(1)母函数的表达式第36页，此课件共41页哦（2）结构函数的唯一性，设P1和P2是两个混合泊松分布的母函数，分别表示为若P1(z)=P2(z)，则u(q)=v(q)。第37页，此课件共41页哦例
10、例7：设Q的母函数为求N的分布。解解：利用母函数公式第38页，此课件共41页哦定理定理3：设保单组合中每张保单的理赔次数N服从泊松分布，但参数l是一个随机变量，随每张保单变化而变化。若l服从伽玛分布，则N服从负二项分布，参数为，。第39页，此课件共41页哦证明证明：第40页，此课件共41页哦例例8：在某汽车险保单组合中，已知每位驾驶员的每年的索赔次数服从泊松分布，但参数随每张保单变化。若服从均值为3，方差为3的伽玛分布。从这个保单组合中随机抽取一名驾驶员，求它在明年的损失次数不超过1的概率。解解：设伽玛分布参数为a和q。由伽玛分布的均值和方差公式有知a3，q1。由定理4.1.3知，N服从负二项分布，参数q1/2,r3，于是计算得到第41页，此课件共41页哦