第2章模糊数学基础PPT讲稿.ppt

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1、第2章模糊数学基础第1页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/112概述概述2.1 经典集合理论经典集合理论2.2 模糊集合及其运算模糊集合及其运算2.3 模糊关系模糊关系2.4 模糊语言与模糊命题模糊语言与模糊命题2.5 模糊推理模糊推理2.6第2页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/113概述概述2.1l模糊数学（模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福模糊数学（模糊集）是模糊控制的数学基础，它是由美国加利福尼亚大学尼亚大学Zadeh教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，教授最先提出的。他将模糊性和集合论统一起来，在不放弃集合的数学严格性的同时，使

2、其吸取人脑思维中对于在不放弃集合的数学严格性的同时，使其吸取人脑思维中对于模糊现象认识和推理的优点。模糊现象认识和推理的优点。l“模糊模糊”是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，是指客观事物彼此间的差异在中间过渡时，界限不明显，呈现出的呈现出的“亦此亦彼亦此亦彼”性。性。“模糊模糊”是相对于是相对于“精确精确”而言的。而言的。l模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊模糊数学并不是让数学变成模模糊糊的东西，而是用数学工具对模糊现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合现象进行描述和分析。模糊数学是对经典数学的扩展，它在经典集合理论的基础上引入了

3、理论的基础上引入了“隶属函数隶属函数”的概念，来描述事物对模糊概的概念，来描述事物对模糊概念的从属程度。念的从属程度。第3页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/114天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低第4页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1152.2.1 经典集合的定义及表示方法经典集合的定义及表示方法1.经典集合的概念经典集合的概念 任给一个性质任给一个性质P，把满足性质，把满足性质P的对象，也仅有具有性质的对象，也仅有具有性质P的对的对象，汇集起来构成一个集合象，汇集起来构成一个集合 经典集合理论经典集合理论2.2第5页，共75页，编辑于2

4、022年，星期一2022/10/116l论域：被考虑对象的所有元素的全体称为论域（全域、全集、空间）。英论域：被考虑对象的所有元素的全体称为论域（全域、全集、空间）。英文大写字母文大写字母U或或E表示。表示。l元素：论域中的每个对象。英文小写字母元素：论域中的每个对象。英文小写字母a、b、c、x、y、z表表示。示。l集合：给定论域中具有某种属性的、确定的、彼此可以区别的事物全体。集合：给定论域中具有某种属性的、确定的、彼此可以区别的事物全体。英文大写字母英文大写字母A、B、C、X、Y、Z表示。表示。l论域、元素与集合之间的关系：论域是元素的全体，集合是论域论域、元素与集合之间的关系：论域是元素

5、的全体，集合是论域中部分元素的全体。元素与集合是属于中部分元素的全体。元素与集合是属于“”或者是不属于或者是不属于“”的关系。的关系。第6页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1172.经典集合的表示方法经典集合的表示方法（1）列举法）列举法将集合中的元素一一列出，适用表示元素的有将集合中的元素一一列出，适用表示元素的有限集合。限集合。（2）定义法）定义法通过描述集合中元素的共性定义集合，适用表示元素的有通过描述集合中元素的共性定义集合，适用表示元素的有限集合，也适用于不能一一列举元素的集合。限集合，也适用于不能一一列举元素的集合。（2）特征函数法）特征函数法利用非此即彼的明晰

6、性表示集合。利用非此即彼的明晰性表示集合。第7页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1183.几种特殊的集合几种特殊的集合（1）全集）全集E包含论域中的全部元素的集合。包含论域中的全部元素的集合。（2）空集）空集 不包含任何元素的集合。不包含任何元素的集合。（3）子集）子集集合集合A中的全部元素同时也都是集合中的全部元素同时也都是集合B中的元素，则中的元素，则A是是B的一个子集：的一个子集：A B。A B且且B A，则称，则称A与与B相等，相等，A=B。（4）幂集）幂集P(A)由集合由集合A的所有子集构成的集合。的所有子集构成的集合。4.经典集合的基本运算经典集合的基本运算（1

7、）并运算）并运算（2）交运算）交运算（3）补运算）补运算（4）差运算）差运算第8页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1195.经典集合运算的基本性质经典集合运算的基本性质名称名称运算法则运算法则1幂等律幂等律AA=A，AA=A2交换律交换律AB=BA，AB=BA3结合律结合律(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)4吸收律吸收律A(AB)=A，A(AB)=A5分配律分配律A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)6排中律排中律7双补律双补律8同一律同一律AE=A，A=A，9零一律零一律AE=E，A=10.德德.摩根律摩根律第9页，共75页，编辑于2022

8、年，星期一2022/10/11102.2.2 关系与映射关系与映射1.经典关系经典关系（1）集合的直积）集合的直积笛卡尔积笛卡尔积 有有r个集合个集合A1，A2，Ar，其元素的，其元素的R元组合元组合a1，a2，ar，称为称为A1，A2，Ar上的直积（上的直积（笛卡尔积笛卡尔积）。）。由两个集合由两个集合X和和Y，各自的元素，各自的元素x X，y Y构成序偶（构成序偶（x，y）的集）的集合称为集合合称为集合X和和Y的直积。的直积。第10页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1111（2）二元关系）二元关系定义定义2-1 设设X和和Y是两个非空集合，集合是两个非空集合，集合X和和

9、Y的直积的直积X Y的一个子集的一个子集R称为称为X到到Y的一个二元关系（关系）。的一个二元关系（关系）。X Y的序偶（的序偶（x，y），若有（），若有（x，y）R，记作，记作xRy；若有（若有（x，y）R，记作，记作x y；若若X=Y，直积，直积X Y的子集的子集R称为称为X上的二元关系。上的二元关系。第11页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1112（3）关系矩阵）关系矩阵 二元关系二元关系R可用二维关系矩阵表示可用二维关系矩阵表示设设 R是由是由X到到Y的关系，则关系矩阵的关系，则关系矩阵R的第的第i行第行第j列上的元素列上的元素rij定义定义为为第12页，共75页，编

10、辑于2022年，星期一2022/10/11132.等价关系等价关系 若若X上的一个关系上的一个关系R同时具有自反性、对称性和传递性，则称同时具有自反性、对称性和传递性，则称其为其为等价关系等价关系。（1）自反关系）自反关系关系矩阵中的主对角元素均为关系矩阵中的主对角元素均为1（2）对称关系）对称关系关系矩阵中关系矩阵中rij=rji（3）传递关系）传递关系关系矩阵中关系矩阵中同时具有自反、对称、传递性的关系同时具有自反、对称、传递性的关系第13页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11143.映射关系映射关系概念概念 设设X和和Y为两个不同的集合，对于为两个不同的集合，对于 x

11、 X，都存在唯一确定的，都存在唯一确定的y Y，则称关系，则称关系R为从为从X到到Y的一个映射的一个映射C对于对于 x X，均有对应的，均有对应的y Y；C是两个集合是两个集合X和和Y的关系；的关系；C对于每一个对于每一个x X，都存在唯一确定的，都存在唯一确定的y Y与之对应。与之对应。表示表示对于元素对于元素f对于集合对于集合f隶属度隶属度第14页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11152.3.1 模糊集合的定义及表示方法模糊集合的定义及表示方法1.模糊集合的模糊集合的定义定义定义定义22 模糊集合模糊集合 论域论域U上的模糊集合上的模糊集合F是指，对于论域是指，对于论

12、域U中的任意元素中的任意元素u U，都，都指定了指定了0，1闭区间中的某个数闭区间中的某个数 F(u)0，1与之对应，称为与之对应，称为u对对F的的隶属度。即隶属度。即 模糊集合及其运算模糊集合及其运算2.3定义一个映射定义一个映射 F：该映射该映射称为模糊集合称为模糊集合F的隶属度函数。的隶属度函数。F第15页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1116上述定义表明：上述定义表明：（1）论域）论域U上的模糊集合上的模糊集合F由隶属度函数由隶属度函数 F(u)来表征；来表征；（2）F(u)取值范围为闭区间取值范围为闭区间0，1；（3）F(u)的大小反映了的大小反映了u对于模糊集

13、合对于模糊集合F的从属程度。的从属程度。F(u)的值接近的值接近1，表示，表示u从属于模糊集合从属于模糊集合F的程度很高，的程度很高，F(u)的值接近的值接近0，表示，表示u从属于模糊集合从属于模糊集合F的程度很的程度很低。低。模糊集合模糊集合F完全由隶属度函数所描述。完全由隶属度函数所描述。第16页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1117 以以“年轻、中年、年老年轻、中年、年老”为例说明模糊集合和隶属度函数的概为例说明模糊集合和隶属度函数的概念。念。年轻年轻A，中年，中年B，年老，年老C他们的论域他们的论域U都是都是1,100规定隶属度函数为规定隶属度函数为 A(u)、B

14、(u)、C(u)第17页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1118定义定义23 支集支集 模糊集合模糊集合F的支集的支集S是一个普通集合，它是由论域是一个普通集合，它是由论域U中满中满足足 F(u)0的所有的的所有的u组成的。组成的。定义定义24 模糊单点模糊单点 如果模糊集合如果模糊集合F的支集在论域的支集在论域U上只包含一个点上只包含一个点u0，且且 F(u0)1，则，则F就称为模糊单点。就称为模糊单点。第18页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11192.模糊集合的表示方式模糊集合的表示方式（1）当论域）当论域U为离散有限集为离散有限集 u1，u2，u

15、n 时，时，1）扎德表示法）扎德表示法例例21用扎德法在论域用扎德法在论域U 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中讨中讨论论“几个几个”这一模糊概念。这一模糊概念。解解用支集在论域用支集在论域U 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中讨中讨论论“几个几个”这一模糊概念？这一模糊概念？第19页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11202）序偶表示法）序偶表示法 将论域将论域U中的元素中的元素ui与其隶属度与其隶属度F(ui)构成序偶来表示构成序偶来表示F，则：，则：例例22用序偶法在论域用序偶法在论域U 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中讨论中讨论“几个

16、几个”这一模糊概念。这一模糊概念。解解第20页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11213）向量表示法）向量表示法将论域将论域U中的隶属度中的隶属度F(ui)用来表示模糊集合用来表示模糊集合F，则：，则：注意！注意！式中向量的顺序不能颠倒，隶属度为式中向量的顺序不能颠倒，隶属度为0的项也不的项也不能省略。能省略。例例23用向量法在论域用向量法在论域U 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 中讨论中讨论“几个几个”这一模糊概念。这一模糊概念。将三种方法综合将三种方法综合第21页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1122（2）当论域）当论域U为离散无限域为离

17、散无限域时时1）可数情况：扎德表示法）可数情况：扎德表示法其中其中U=u1，u2，un，F(ui)F(ui)2）不可数情况：扎德表示法）不可数情况：扎德表示法第22页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1123（3）当论域）当论域U为连续域为连续域时，扎德表示法时，扎德表示法例例24 以年龄为论域，设以年龄为论域，设U0,200，扎德给出了，扎德给出了“年老年老”O与与“年轻年轻”Y两个模糊集合的隶属度函数两个模糊集合的隶属度函数第23页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1124解解采用采用扎德表示法扎德表示法第24页，共75页，编辑于2022年，星期一202

18、2/10/11252.3.2 模糊集合的运算及性质模糊集合的运算及性质1.模糊集合运算模糊集合运算(1)模糊集合的相等模糊集合的相等 两两个个模模糊糊集集合合A和和B，若若对对所所有有元元素素u U，均均有有 A(u)B(u)，则称模糊集合，则称模糊集合A与模糊集合与模糊集合B相等。相等。(2)模糊集合的包含模糊集合的包含 两两个个模模糊糊集集合合A和和B，若若对对所所有有元元素素u U，均均有有 A(u)B(u)，则则称称模模糊糊集集合合A包包含含于于模模糊糊集集合合B，或或A是是B的子集。的子集。第25页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1126(3)模糊空集模糊空集 对

19、对所所有有的的元元素素u U，均均有有 A(u)0，则则称称模模糊糊集集合合A为模糊空集。为模糊空集。(4)模糊全集模糊全集 对对所所有有的的元元素素u U，均均有有 A(u)1，则则称称模模糊糊集集合合A为模糊全集。为模糊全集。(5)模糊集合的补集模糊集合的补集 两两个个模模糊糊集集合合A和和B，若若对对所所有有元元素素u U，均均有有 B(u)=1 A(u)，则称，则称B为为A的补集。的补集。第26页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1127(6)模糊集合的并集模糊集合的并集 三三个个模模糊糊集集合合A、B、C，若若对对所所有有元元素素u U，均均有有 C(u)A(u)B

20、(u)max A(u),B(u)，则则称称C为为A与与B的并集。的并集。C=AB(7)模糊集合的交集模糊集合的交集 三三个个模模糊糊集集合合A、B、C，若若对对所所有有元元素素u U，均均有有 C(u)A(u)B(u)min A(u),B(u)，则则称称C为为A与与B的交集。的交集。C=AB第27页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1128 当当论论域域U是是连连续续有有限限域域时时，模模糊糊集集合合A和和B的的交交、并并、补补集集可可以以直接写成：直接写成：第28页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1129例例25设论域设论域U爷、奶、爸、妈爷、奶、爸、妈

21、，有模糊集合，有模糊集合A=“男人男人”1/爷爷0/奶奶1/爸爸0/妈妈B=“年轻年轻”0.1/爷爷0.2/奶奶0.9/爸爸1/妈妈求：求：AB“年轻的男人年轻的男人”AB“或者年轻或者是男人或者年轻或者是男人”AC“不是男人不是男人”解解AB“年轻的男人年轻的男人”=0.=0.1/爷爷0/奶奶0.9/爸爸0/妈妈AB“或者年轻或者是男人或者年轻或者是男人”=1/爷爷0.2/奶奶1/爸爸1/妈妈AC C“不是男人不是男人”=“女人女人”0/爷爷1/奶奶0/爸爸1/妈妈第29页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1130例例26设论域设论域U=a,b,c,d,e上有两个模糊集分别

22、为：上有两个模糊集分别为：求：求：第30页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11312.模糊集合中的代数运算模糊集合中的代数运算 设设论论域域U上上两两个个模模糊糊集集合合A和和B，可可以以由由模模糊糊隶隶属属度度函函数数进行定义：进行定义：(1)代数积代数积AB AB(u)A(u)B(u)(2)代数和代数和A+B A+B(u)A(u)B(u)A(u)B(u)(3)有界和有界和A B A B(u)A(u)B(u)1(4)有界差有界差A B A B(u)A(u)B(u)0(5)有界积有界积AB AB(u)A(u)B(u)1 0第31页，共75页，编辑于2022年，星期一2022

23、/10/11323.模糊集合运算的基本性质模糊集合运算的基本性质名称名称运算法则运算法则1幂等律幂等律AA=A，AA=A2交换律交换律AB=BA，AB=BA3结合律结合律(AB)C=A(BC)，(AB)C=A(BC)4吸收律吸收律A(AB)=A，A(AB)=A5分配律分配律A(BC)=(AB)(AC)A(BC)=(AB)(AC)6复原律复原律7对偶律对偶律8两极律两极律AE=E，AE=A，A=A，A=第32页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11332.3.3 隶属度函数隶属度函数1.隶属函数隶属函数经典集合的特征函数只能取经典集合的特征函数只能取0和和1两种值，与二值逻辑相

24、对应。两种值，与二值逻辑相对应。模糊集合的特征函数取值范围从模糊集合的特征函数取值范围从0，1集合扩大到集合扩大到0，1区间区间，与连，与连续逻辑相对应。续逻辑相对应。2.确定隶属函数的原则确定隶属函数的原则E表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合 从最大隶属度函数点向两边延伸时从最大隶属度函数点向两边延伸时,其隶属函数的值必须是单调递减的其隶属函数的值必须是单调递减的,而不允而不允许有波浪形。许有波浪形。第33页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1134E变量所取隶属度函数通常是对称的、变量所取隶属度函数通常是对称的、平衡的平衡的附近隶

25、属函数的范围附近隶属函数的范围重叠范围重叠范围LUA1A2x 01.0重叠指数的定义重叠指数的定义E隶属度函数要符合人们的语义顺序，隶属度函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠避免不恰当的重叠E论域中的每个点应该至少属于一论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数应该属于至多不超过两个隶属函数的区域。的区域。第34页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1135E对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度。E当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函

26、数的和应该小于当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于1。重叠率重叠范围重叠率重叠范围/附近模糊隶属函数的范围附近模糊隶属函数的范围重叠鲁棒性总的重叠面积重叠鲁棒性总的重叠面积/总的重叠最大面积总的重叠最大面积第35页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1136 通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后通过通常的方法是，初步确立粗略的隶属函数，然后通过“学习学习”和不断的实践来修整、完善。和不断的实践来修整、完善。3.确定隶属函数的方法确定隶属函数的方法 隶属函数是模糊集合论的基础隶属函数是模糊集合论的基础,如何确定隶属函数是一个关键如何确定隶属函数是一个

27、关键问题。由于模糊理论的研究对象具有问题。由于模糊理论的研究对象具有”模糊性模糊性”和经验性和经验性,因此找因此找到一种统一的隶属度计算方法是不现实的到一种统一的隶属度计算方法是不现实的.(1)主观经验法主观经验法 当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和当论域为离散论域时，可根据主观认识，结合个人经验，经过分析和推理，直接给出隶属度。这种方法比较简单，人们利用专家或者熟练技工推理，直接给出隶属度。这种方法比较简单，人们利用专家或者熟练技工的经验来建立隶属函数。例如可变模糊温度的隶属函数可以选择三角形函的经验来建立隶属函数。例如可变模糊温度的隶属函数可以选择三角形函数数。第

28、36页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1137(2)模糊统计法模糊统计法 根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊根据所提出的模糊概念进行调查统计，提出与之对应的模糊集集A，通过统计实验，确定不同元素隶属于，通过统计实验，确定不同元素隶属于A的程度。的程度。对模糊集对模糊集A的隶属度的隶属度=其基本思想是：论域其基本思想是：论域U U上的一个确定的元素上的一个确定的元素u u0 0是否属于一个是否属于一个可变动的清晰集合可变动的清晰集合A A，作出清晰的判断。，作出清晰的判断。年轻年轻人人17-30岁岁20-35岁岁模糊集模糊集A清晰集清晰集A1*清晰集清晰集A

29、2*所有人所有人论论域域Uu0 随着随着N的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是的增大，隶属频率会趋向稳定，这个稳定值就是u0对对A的的隶属度。隶属度。第37页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1138通常，通常，和和 都服从正态分布都服从正态分布(3)三分法三分法 建立建立“矮个子矮个子”，“中等个子中等个子”和和“高个子高个子”三三个模糊集的隶属函数。取论域个模糊集的隶属函数。取论域U=（0，3）（单位：米）（单位：米），每一个模糊试验确定论域的一次划分，每次划分确定，每一个模糊试验确定论域的一次划分，每次划分确定一对数一对数(，)，是矮个子与中等个子的分界点，是矮个

30、子与中等个子的分界点，是中是中等个子与高个子的分界点。等个子与高个子的分界点。第38页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11394.模糊控制中典型的隶属函数模糊控制中典型的隶属函数(1)高斯型隶属函数高斯型隶属函数 由由参参数数 和和c确确定定,其其中中参参数数 通通常常为为正正，参参数数c用用于于确确定定曲曲线的中心。线的中心。第39页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1140(2)广义钟型隶属函数广义钟型隶属函数 广义钟型隶属函数由三个参数广义钟型隶属函数由三个参数a，b，c确定：确定：其中参数其中参数b b通常为正，通常为正，参数参数c c用于确定曲线

31、的用于确定曲线的中心中心。Matlab表示为表示为第40页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1141(3)S形隶属函数形隶属函数 S形函数形函数sigmf(x,a c)由参数由参数a和和c决定：决定：其中参数其中参数a的正负符号决的正负符号决定了定了S形隶属函数的开口朝左形隶属函数的开口朝左或朝右，用来表示或朝右，用来表示“正大正大”或或“负大负大”的概念。的概念。Matlab表示为表示为第41页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1142（4）梯形隶属函数）梯形隶属函数 梯形曲线可由四个梯形曲线可由四个参数参数a，b，c，d确定。确定。其中参数其中参数a和和

32、d确定梯形的确定梯形的“脚脚”，而参数，而参数b和和c确定梯形确定梯形的的“肩膀肩膀”。Matlab表示为表示为第42页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1143(5)三角形隶属函数三角形隶属函数 三角形曲线的形状三角形曲线的形状由三个参数由三个参数a，b，c确定：确定：其中参数其中参数a和和c确定三确定三角形的角形的“脚脚”，而参数，而参数b确定三角形的确定三角形的“峰峰”。Matlab表示为表示为第43页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1144（6）Z形隶属函数形隶属函数 这这是是基基于于样样条条函函数数的的曲曲线线，因因其其呈呈现现Z形形状状而而得得

33、名名。参数参数a和和b确定了曲线的形状。确定了曲线的形状。Matlab表示为表示为第44页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1145A普通关系表示事物间是否存在关联。普通关系表示事物间是否存在关联。A 模糊关系则描述事物间对于某一模糊概念上的关联程度。模糊关系则描述事物间对于某一模糊概念上的关联程度。1.1.模糊关系的定义模糊关系的定义定义定义25 集合的直积集合的直积 由两个集合由两个集合U与与V的各自元素的各自元素u U及及v V构成的序偶（构成的序偶（u，v）的集合，）的集合，称为称为U与与V的直积。的直积。(笛卡尔积笛卡尔积)注意！注意！模糊关系模糊关系2.4第45页

34、，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1146定义定义26 模糊关系模糊关系 由两个非空集合由两个非空集合U与与V之间的直积之间的直积UV=(u,v)|u U,v V中的中的模糊集合模糊集合R被称为被称为U到到V的模糊关系，又称为二元关系。其特性可的模糊关系，又称为二元关系。其特性可由隶属度函数来描述。由隶属度函数来描述。隶属度函数隶属度函数 R(u,v)表示序偶表示序偶(u,v)的隶属程度，也描述了的隶属程度，也描述了(u,v)间具间具有关系有关系R的量级。的量级。在论域在论域U=V时，称时，称R为为U上的模糊关系。上的模糊关系。当论域为当论域为n个集合个集合Ui(i=1,2,

35、n)的直积的直积U1U2 Un时，它们所对应时，它们所对应的模糊关系的模糊关系R被称为被称为n元模糊关系。元模糊关系。第46页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1147 例例27医学上用体重医学上用体重(kg)身高身高(cm)100表示人的标准表示人的标准体重，这是身高体重，这是身高U与体重与体重V的二元关系。的二元关系。设：设：U=140,150,160,170,180V=40,50,60,70,80 R表示表示身高和体重接近标准关系的程度身高和体重接近标准关系的程度，这是，这是从从U到到V的一个模糊关系的一个模糊关系。R(u,v)405060708014010.80.20

36、.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81第47页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11482.模糊关系表示方法模糊关系表示方法（1）当）当XY为连续有限域时，二元模糊关系为连续有限域时，二元模糊关系R的模糊的模糊集合表示方法为集合表示方法为n元模糊关系元模糊关系R的模糊集合表示方法为的模糊集合表示方法为第48页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1149 R(u,v)405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.8

37、0.21700.10.20.810.818000.10.20.81在在u 140,160、v 40,50时，用模糊集合表示为时，用模糊集合表示为第49页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1150（2）模糊矩阵表示法）模糊矩阵表示法当当 是有限集合时，是有限集合时，XY的模糊关的模糊关系系R可用可用mn阶矩阵表示。阶矩阵表示。第50页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1151 R(u,v)405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.81在

38、在u 140,180、v 40,80时，用模时，用模糊矩阵表示为糊矩阵表示为第51页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1152（3）模糊图表示法）模糊图表示法例例28 设模糊关系设模糊关系R用用模糊矩阵表示为模糊矩阵表示为模糊关系图模糊关系图模糊流通图模糊流通图第52页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1153例例29设设有有一一组组同同学学X，X=张张三三，李李四四，王王五五，他他们们的的功功课课为为Y，Y=英英语语，数数学学，物物理理，化化学学。他他们们的的考考试试成成绩绩如如下表：下表：取取隶隶属属函函数数 ，其其中中u为为成成绩绩。如如果果将将他他们

39、们的的成成绩绩转转化化为为隶隶属属度度，则则构构成成一一个个XY上的一个模糊关系上的一个模糊关系R。第53页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1154写成矩阵形式：写成矩阵形式：考试成绩表的模糊化考试成绩表的模糊化用关系图来表示：用关系图来表示：第54页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11553.模糊关系的合成模糊关系的合成两种模糊关系可以组成一种合成关系。两种模糊关系可以组成一种合成关系。定义定义27 模糊关系的合成模糊关系的合成 设有三个论域设有三个论域U、V、W，Q是是U到到V的一个模糊关系，的一个模糊关系，R是是V到到W的一的一个模糊关系，个模糊关

40、系，Q对对R的合成的合成QR称为称为U到到W的一个模糊关系，其算法为：的一个模糊关系，其算法为：当论域当论域U、V、W，为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合，为有限时，模糊关系的合成可用模糊矩阵的合成表示。假设成表示。假设Q、R、S三个模糊关系对应的模糊矩阵分别为：三个模糊关系对应的模糊矩阵分别为：第55页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1156 用模糊矩阵的合成用模糊矩阵的合成QRS表示模糊关系的合成表示模糊关系的合成QRS例例210设设 则则A和和B的合成为：的合成为：其中其中当当时，有时，有第56页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1157 QR

41、S表示模糊关系的合成，式中的表示模糊关系的合成，式中的“”表示最大最小表示最大最小运算。运算。运算中，运算中，Q的列数与的列数与R的行数必须相同，否则，合成运算无意义。的行数必须相同，否则，合成运算无意义。不能用模糊矩阵表达的模糊关系也可以进行合成运算，并不能用模糊矩阵表达的模糊关系也可以进行合成运算，并且遵照最大、最小原则。且遵照最大、最小原则。设设R、S为为XY和和YZ上的模糊关系，不能用矩阵表示时，其隶属度函上的模糊关系，不能用矩阵表示时，其隶属度函数为数为 R(x,y)及及 S(y,z)，则，则RS的隶属度函数为：的隶属度函数为：注意注意第57页，共75页，编辑于2022年，星期一20

42、22/10/1158定义定义28 设设R UV，S VW，T WZ，则模糊矩阵合成，则模糊矩阵合成具有下列性质：具有下列性质：结合律结合律 R(ST)(RS)T分配律分配律 R(ST)(RS)(RT)(ST)R (S R)(T R)R(ST)(RS)(RT)(ST)R (S R)(T R)包含包含 若若S T，则，则 RS RT逆逆 (RS)T ST RT REE RR R00 R0Rm+1RmR，Rm RnRm+n，(Rm)n=Rmn，R0E第58页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1159定义定义29 模糊向量的笛卡儿积模糊向量的笛卡儿积 设已知两个模糊行向量设已知两个模

43、糊行向量Q和和R，它们的笛卡尔积定义为，它们的笛卡尔积定义为例例211 两个模糊行向量两个模糊行向量Q=0.3 0.1 0.5和和R=0.8 0.5 0.2 0.6，求，求它们的笛卡尔积它们的笛卡尔积解解第59页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11601.模糊语言变量模糊语言变量 带有模糊性的语言称为模糊语言，模糊性主要体现在语音、语义、带有模糊性的语言称为模糊语言，模糊性主要体现在语音、语义、语法等方面。语法等方面。语言变量是由五元体语言变量是由五元体(U，N，T(N)，G，M)定义的。定义的。N语言变量的名称语言变量的名称U是是N的论域的论域T(N)语言变量语言变量N的

44、语言值的语言值X的集合的集合G语法规则语法规则M语义规则语义规则 模糊语言与模糊命题模糊语言与模糊命题2.5第60页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1161 2.语言值语言值 语言系统中，与数值有直接联系的词，或者由它们再加上语言算语言系统中，与数值有直接联系的词，或者由它们再加上语言算子而派生出来的词组称为语言值。子而派生出来的词组称为语言值。以年龄为语言变量的五元体结构图以年龄为语言变量的五元体结构图第61页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11623.语法规则语法规则(1)语气算子语气算子H用于加强或减弱语气的词。用来加强语气的为用于加强或减弱语气的

45、词。用来加强语气的为“强化算子强化算子”，用来减弱语气的称为，用来减弱语气的称为“淡化算子淡化算子”。HT(n)=T(n)为正实数，为正实数，1时，时，H为强化算子；为强化算子；1时，时，H为淡化算子。为淡化算子。(2)模糊化算子模糊化算子用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义用来使语言中某些具有清晰概念的单词或词组的词义模糊化。模糊化。(3)判断化算子判断化算子Pa 用来化模糊为趋向清晰，在模糊中给以粗糙的用来化模糊为趋向清晰，在模糊中给以粗糙的判断。一般表示形式为判断。一般表示形式为PaT(n)=PaT(n)当当na当当an1-a(0a0.5)当当n1-a第62页，共75页，编辑于

46、2022年，星期一2022/10/11634.模糊命题模糊命题 模糊命题指含有模糊概念，具有某种真实程度的陈述句。表征模糊命题模糊命题指含有模糊概念，具有某种真实程度的陈述句。表征模糊命题真实程度的量叫模糊命题的真值。真实程度的量叫模糊命题的真值。一般形式为一般形式为P：“x是是A（x is A）”模糊命题的真值，由模糊命题的真值，由x对模糊集合对模糊集合A的隶属程度表示的隶属程度表示(1)简单模糊条件语句简单模糊条件语句if A then BA表示表示x是是a，B表示表示y是是b，若若x是是a，则，则y是是b，其中，其中x、y均为语言变量，均为语言变量，a、b分别为语言变量分别为语言变量的值

47、。的值。(2)多重简单模糊条件语句多重简单模糊条件语句if A then B elsc C(3)双重模糊条件语句双重模糊条件语句if A and B then C第63页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1164 模糊推理模糊推理2.61.基本概念基本概念 根据已知条件求未知结果的思维过程就是推理。解根据已知条件求未知结果的思维过程就是推理。解决模糊性问题就需要用模糊推理。决模糊性问题就需要用模糊推理。模糊推理是一种以模糊判断为前提，运用模糊语模糊推理是一种以模糊判断为前提，运用模糊语言规则，推出一个新的近似的模糊判断结论的方法。言规则，推出一个新的近似的模糊判断结论的方法。

48、第64页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/1165A给定模糊关系给定模糊关系“若若A则则B”,A X，B Y，已知某一个，已知某一个A，A X，求，求从模糊关系能推断出什么样的结论从模糊关系能推断出什么样的结论B？广义取式广义取式(肯定前提肯定前提)推理推理广义拒式广义拒式(肯定结论肯定结论)推理推理A给定模糊关系给定模糊关系“若若A则则B”，A X，B Y，已知某一个，已知某一个B，B Y，求从模糊关系能推断出什么样的结论求从模糊关系能推断出什么样的结论A？第65页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11662.模糊推理规则模糊推理规则广义取式推理：广义取式

49、推理：大前提：如果大前提：如果x为为A，则，则y为为B 小前小前提：提：x为为A结论：结论：y为为B广义拒式推理：广义拒式推理：前提：前提：y为为B前提：如果前提：如果x为为A，则，则y为为B结论：结论：x为为AB Ao RA R o BR如何得到如何得到(1)Zadeh法法 设模糊控制规则（模糊蕴含关系设模糊控制规则（模糊蕴含关系)“若若A则则B”用用AB表示，且表示，且A X，B Y，则，则AB是是XY上的一个模糊关系，即：上的一个模糊关系，即：(AB)(x,y)R(x,y)XYR(x,y)=(A(x)B(y)(1-A(x)第66页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/116

50、71)模糊取式推理（模糊取式推理（Fuzzy Modus Ponens FMP）已知模糊蕴含关系已知模糊蕴含关系AB的关系矩阵的关系矩阵R，对于给定的，对于给定的A，A X，则可推得结论则可推得结论B，B Y，B Ao R“o o”表示合成运算表示合成运算BsupA(AB)(A)第67页，共75页，编辑于2022年，星期一2022/10/11682)模糊拒式推理（模糊拒式推理（Fuzzy Modus Tollens,FMT）已知模糊蕴含关系已知模糊蕴含关系AB的关系矩阵的关系矩阵R，对于给定的，对于给定的B，B Y，则可推得结论，则可推得结论A，A X，A R o BAsupA B(A)B第6