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1、第第14章机械振章机械振动第1页，共35页，编辑于2022年，星期日 简谐振动简谐振动 简谐振动的实例简谐振动的实例 简谐振动的合成与分析简谐振动的合成与分析 实际振动实际振动目目 录录第2页，共35页，编辑于2022年，星期日基本概念基本概念 简谐振动 是最简单、最基本的振动理想模型。它是研究各种复杂振动的重要基础。这里主要讨论简谐振动。掌握机械振动的基本规律是研究其它形式振动的基础。机械振动 物体在它的平衡位置附近所作的往复运动。如声源的振动、钟摆的摆动等。物体发生机械振动的条件：物体受到始终指向平衡位置的回复力；物体具有惯性。第3页，共35页，编辑于2022年，星期日14.1 简谐振动简
2、谐振动 14.1.1 简谐振动的运动方程简谐振动的运动方程A简谐振动的速度时间关系简谐振动的速度时间关系A 简谐振动的加速度时间关系简谐振动的加速度时间关系A第4页，共35页，编辑于2022年，星期日振动方程与图线比较振动方程与图线比较AAAAA AAA最大最大最大第5页，共35页，编辑于2022年，星期日14.1 简谐振动简谐振动v振幅 A ：x 的最大绝对值 14.1.2 简谐振动的特征量简谐振动的特征量XAA周期：完成一次振动需时间频率：角频率：相位：在任一时刻t振动物体的运动状态（位置和速度），就由 完全确定。初相：时刻t=0时的相位称为初相。第6页，共35页，编辑于2022年，星期日
3、14.1 简谐振动简谐振动 14.1.2 简谐振动的特征量简谐振动的特征量XAAAA相位：是界定振子在时刻 的运动状态的物理量运动状态要由位置 和速度 同时描述，而 和 的正负取决于 ，不是指开始振动，而是指开始观测和计时。所谓时质点的运动状态AA位置速度初始条件即为初相 ：是时，振子的相位。第7页，共35页，编辑于2022年，星期日由 和 求给定振子的振幅AAAA消去 得初相 由 和 求给定AAA消去 得 但由于 在 0 2p 范围内，同一正切值对应有两个 值，因此，还必须再根据 和 的正负进行判断。且若则若且则且若则且若则（第一象限）（第二象限）（第三象限）（第四象限）第8页，共35页，编
4、辑于2022年，星期日AAXXOjM(0)Aj初相M(t )twtwM(t )twM(t )twM(t )M(t )twM(t )twM(T)Tw周期 TM(t )twM(t )twXOjM(0)j初相M(t )twA矢量端点在X 轴上的投影对应振子的位置坐标t 时刻的振动相位(w w tj j)旋转矢量A以匀角速逆时针转动循环往复x=A cos(w w tj j)简谐振动方程第9页，共35页，编辑于2022年，星期日旋转矢量端点 M 作匀速圆周运动振子的运动速度（与 X 轴同向为正）wA其 速率wAjtwAXAAXOwjtwO 旋转矢量端点 M 的加速度为法向加速度，其大小为wA振子的运动加
5、速度（与 X 轴同向为正）wAjtw和任一时刻的 和 值，其正负号仅表示方向。同号时为加速异号时为减速第10页，共35页，编辑于2022年，星期日14.2 简谐振动实例简谐振动实例14.2.4 简谐振动的能量简谐振动的能量14.2.2 单摆单摆14.2.1 弹簧振子弹簧振子14.2.3 无阻尼电磁振荡无阻尼电磁振荡第11页，共35页，编辑于2022年，星期日14.2.1 弹簧振子弹簧振子令令 XAAA第12页，共35页，编辑于2022年，星期日14.2.2 单摆单摆角时摆球受力矩为则取摆幅很小根据转动定律令整理得解方程得振动周期为第13页，共35页，编辑于2022年，星期日14.2.3 无阻尼
6、电磁振荡无阻尼电磁振荡 G因为而整理得其中令解得第14页，共35页，编辑于2022年，星期日14.2.4 简谐振动的能量简谐振动的能量 振子运动速度AA简谐振动方程弹簧劲度振子质量振动角频率振动系统：如 水平弹簧振子A系统动能系统动能系统势能系统势能AAA系统总能量系统总能量均随时间而变且能量相互转换变到最大时变为零系统的机械能守恒。及A变为零变到最大时时间 能量第15页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3 简谐振动的合成与分析简谐振动的合成与分析14.3.114.3.2章节章节AB14.4.4D14.3.3CN个同频率、同振动方向的简谐振动的合成两个同频率、相互垂直的简谐振动的合成两
7、个同频率、同振动方向的简谐振动的合成两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成第16页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.1 两个两个同方向同方向简谐振动的合成简谐振动的合成同频率同频率与计时起始时刻有关合成初相分振动初相差与计时起始时刻无关，但它对合成振幅属相长还是相消合成起决定作用且 相同同在 X X 轴合成振动用旋转矢量法可求得合成振动方程第17页，共35页，编辑于2022年，星期日合振动分振动；其中，合振幅若则为合振幅可能达到的最大值若则若则为合振幅可能达到的最小值若则若为其它值，则 处于与之间14.3.1 两个同频率、同方向简谐振动的合成（续两个同频率、同方向简谐振动的合成（续
8、1）第18页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.1 n个同频率、同振动方向的简谐振动的合成个同频率、同振动方向的简谐振动的合成已知第19页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.1 n个同频率、同振动方向的简谐振动的合成个同频率、同振动方向的简谐振动的合成Text in here分析及结果根据旋转矢量合成应为根据等腰三角形关系有因此得第20页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.1 n个同频率、同振动方向的简谐振动的合成个同频率、同振动方向的简谐振动的合成Text in here讨论(1)各分振动初相位相同时(2)各分振动初相位差 ,k 为不等于nk的整数(k为自然数)
9、时第21页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.3 两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成为了突出重点，设两分振动的振幅相等且初相均为零。合振动此合振动不是简谐振动，一般比较复杂，只介绍一种常见现象：频率为 的简谐振动频率为 的简谐振动第22页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.3 两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成（续两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成（续1）若与相差不大，可看作呈周期性慢变的振幅合振动频率相对较高的简谐振动8 Hz9 Hz两分振动的频率1 秒秒合振动频率合振动振幅（包络线）变化的频率称为1 Hz“拍频”8.5
10、Hz例如：第23页，共35页，编辑于2022年，星期日消去 得轨迹方程：该方程为椭圆的普遍方程，若或得直线或得直线若若介绍几种特殊情况：得正椭圆14.3.3 两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成（续两个不同频率，同振动方向简谐振动的合成（续2）第24页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.4 两个同频率，相互垂直的简谐振动的合成（续两个同频率，相互垂直的简谐振动的合成（续3）或第25页，共35页，编辑于2022年，星期日14.3.4 两个同频率，相互垂直的简谐振动的合成（续两个同频率，相互垂直的简谐振动的合成（续4）其合运动一般较复杂，且轨迹不稳定。但当 为两个简单的整数之比时可以得
11、到稳定轨迹图形，称为李萨如图形例如第26页，共35页，编辑于2022年，星期日14.4 实际振动实际振动14.1 14.2v阻阻v尼尼v振振v动动v受受v迫迫 共共v振振 振振v动动 实际振动实际振动第27页，共35页，编辑于2022年，星期日14.4.1 阻尼振动阻尼振动称为阻尼振动或衰减振动振幅逐渐衰减的振动形成阻尼振动的原因：振动系统受摩擦、粘滞等阻力作用，造成热损耗；振动能量转变为波的能量向周围传播或辐射。以第一种原因为例，建立阻尼振动的力学模型。第28页，共35页，编辑于2022年，星期日以液体中的水平弹簧振子为例：摩擦阻力弹性力振动速度不太大时受：阻力系数摩擦阻力与 反向负号：弹性
12、力振子 受合外力即令称为振动系统的固有角频率得称为阻尼系数若阻尼较弱，且时，上述微分方程的解为14.4.1 阻尼振动（续阻尼振动（续1）第29页，共35页，编辑于2022年，星期日和取决于初始状态。为振动角频率，为阻尼振动的振幅，随时间的增大而指数衰减。越大，振幅衰减越快，且振动周期 越长。本图设周期14.4.1 阻尼振动（续阻尼振动（续2）第30页，共35页，编辑于2022年，星期日 相对较大的阻尼振动，其振幅衰减较快，但只要满足，振子仍可出现往复运动的特征，仍属阻尼振动。若阻尼过大，以致，用此条件求解微分方程，其结果表明（数学表达从略）振子不能作往复运动，而是从开始的最大位置缓慢地回到平衡
13、位置。此情况称为过阻尼。若，振子从开始的最大位置较快地回到平衡位置，并处于往复运动的临界状态。此情况称为临界阻尼。临界阻尼过阻尼阻尼振动14.4.1 阻尼振动（续阻尼振动（续3）第31页，共35页，编辑于2022年，星期日14.4.2 受迫振动受迫振动 共振共振 系统在周期性外力的持续作用下所作的等幅振动称为受迫振动。建立动力学方程幅 值角频率周期性外力（强迫力）弹性力示意即表成此微分方程的解为第32页，共35页，编辑于2022年，星期日开始振动比较复杂经过一段时间后，受迫振动进入稳定振动状态。14.4.2 受迫振动受迫振动 共振（续共振（续1）受迫振动进入稳定振动状态后，其振动角频率为强迫力
14、的角频率 ，其振幅为 受迫振动与强迫力有一定的相位差，用初相 表示 和都与 阻尼系数固有角频率 的大小有关。强迫力角频率 相对于系统的第33页，共35页，编辑于2022年，星期日重点讨论受迫振动稳定状态时的振幅受迫振动的振幅出现极大值的现象称为 共振。共振时的振幅值为共振时的强迫力频率称为共振频率14.4.2 受迫振动受迫振动 共振（续共振（续2）求得 极大时的 为若强迫力的角频率 已定，大则 小。若阻尼系数 已定，当 等于或接近系统的固有角频率时，获得极大值。令较小较大第34页，共35页，编辑于2022年，星期日Add your company slogan第35页，共35页，编辑于2022年，星期日