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1、自动控制原理朱英华Email:西南交通大学电气工程学院自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析通通 知知本周星期四（本周星期四（6 6月月7 7日日）的课作为实）的课作为实验课返还给大家，因此就不用来教室上验课返还给大家，因此就不用来教室上课了。课了。下周星期二（下周星期二（6 6月月1212日日）请大家将第）请大家将第六章作业六章作业4 4和第七章作业带来，要评讲。和第七章作业带来，要评讲。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析第七章第七章非线性控制系统分析非线性控制系统分析7.1 概述7.2 描述函数法7.3 非线性
2、控制系统的描述函数分析自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析7.1 概述一、非线性系统非线性系统是指要用非线性系统是指要用非线性非线性代数方程代数方程或或非线性非线性微分方程来描述，而微分方程来描述，而不能不能用线性用线性方程来描述的系统。方程来描述的系统。控制系统中若控制系统中若含有含有非线性非线性环节环节则称为则称为非线性控制系统。非线性控制系统。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析二、非线性系统的特点1.1.不满足不满足叠加定理叠加定理2.2.多平衡点，系统的稳定性不仅和系统多平衡点，系统的稳定性不仅和系统的结
3、构参数有关，还与初始条件的结构参数有关，还与初始条件有关有关。3.3.除了状态发散或收敛于平衡状态两种除了状态发散或收敛于平衡状态两种运动形式外，还可能出现运动形式外，还可能出现自激振荡自激振荡。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析即使即使无无外部激励，系统也可能产生具外部激励，系统也可能产生具有一定振幅和频率的有一定振幅和频率的等幅振荡等幅振荡，这种振荡，这种振荡称为自激振荡或极限环、自振荡。称为自激振荡或极限环、自振荡。4.4.当输入为正弦信号时，非线性系统的当输入为正弦信号时，非线性系统的稳态输出为含高次谐波分量的稳态输出为含高次谐波分量的非正弦非
4、正弦周周期信号。期信号。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析三、非线性系统的分析方法1.1.相平面法相平面法2.2.描述函数法描述函数法3.3.李雅普诺夫法李雅普诺夫法4.4.计算机求解法计算机求解法自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析7.2 描述函数法描述函数法，也称为谐波线性法，描述函数法，也称为谐波线性法，是通过对非线性特性进行是通过对非线性特性进行谐波线性化谐波线性化来来近似近似分析分析非线性非线性控制系统，是线性系统控制系统，是线性系统频率响应分析法的频率响应分析法的推广推广。自动控制原理自动控制原理第七
5、章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析7.2 描述函数法描述函数的定义描述函数的定义典型非线性的描述函数典型非线性的描述函数自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析一、描述函数的定义非线性控制系统的框图如图非线性控制系统的框图如图1 1所示：所示：rc-Gxy图图 1N线性部分线性部分非线性环节非线性环节自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析假设非线性环节的输入为：假设非线性环节的输入为：rc-GxyN线性部分线性部分非线性环节非线性环节tXtx sin)(=则非线性环节的输出为：则非线性环节的输出为：)()s
6、in()()(tntXntxnty =具有相同角频率的非正弦信号具有相同角频率的非正弦信号自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析非线性环节的输出表示为傅里叶级数为：非线性环节的输出表示为傅里叶级数为：=+=+=10)sincos(2)(nnntnBtnAAty=+=+=10)sin(nnntnYY其中其中=20)(cos)(1ttdntyAn=20)(sin)(1ttdntyBnnnnBA1tan=22nnnBAY+=+=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析通常非线性环节是关于原点通常非线性环节是关于原点奇对称奇对称
7、，因此，因此00=Y=+=+=1)sin()(nnntnYty=+=+=211)sin()sin(nnntnYtY自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析由于线性部分通常具有由于线性部分通常具有低通滤波低通滤波的特性，因此经的特性，因此经过线性部分后，非线性输出的高次谐波分量被衰减过线性部分后，非线性输出的高次谐波分量被衰减掉。则可近似认为：掉。则可近似认为：)sin()(11 +=tYtytBtA sincos11+=线性部分线性部分c-GxyN非线性环节非线性环节r其中其中=201)(cos)(1ttdtyA=201)(sin)(1ttdtyB21211
8、BAY+=+=1111tanBA=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析描述函数描述函数定义为在正弦输入信号作定义为在正弦输入信号作用下，非线性环节输出响应的用下，非线性环节输出响应的一次谐波一次谐波分量对分量对输入输入的的复数比复数比。)(XN),(XNXjABeXBAXeYNBAjj11tan212111111+=+=+=+=描述函数法描述函数法实际上是线性系统的实际上是线性系统的频频率响应法率响应法在非线性系统中的在非线性系统中的推广推广。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析二、典型非线性环节的描述函数1.饱和
9、非线性环节bb Xkxyxt yt 输入信号输入信号输出信号输出信号非线性特性非线性特性tXtx sin)(=kbtkXty sin)(btXbtXsinsin奇对称奇对称奇对称奇对称tBtAty sincos)(11+=0自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析由于奇对称，因此由于奇对称，因此,01=A)(sin)(1201td ttyB=+=+=)(sin)(sin4202td tkbtd tkXyt 2 X2 0tkX sinkb.sin1tBy=+=+=)(sin)(sin4202td tXbtd tkX+=+=21arcsin2XbXbXbkX)(
10、bX 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析饱和非线性环节的描述函数为：饱和非线性环节的描述函数为：bb kyx饱和非线性饱和非线性XBXjABXN111)(=+=+=+=+=211arcsin2XbXbXbkXB)(bX 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析饱和非线性环节的描述函数为：饱和非线性环节的描述函数为：bb kyx饱和非线性饱和非线性XBXjABXN111)(=+=+=+=+=21arcsin2XbXbXbk)(bX 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析2.死区非线
11、性环节 sinX=2 yykxxXt t 输入信号输入信号输出信号输出信号非线性特性非线性特性tXtx sin)(=)sin(0)(tXkty tXtXsinsin奇对称奇对称奇对称奇对称自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析由于奇对称，因此由于奇对称，因此,01=A.sin1tBy=)(sin)(1201td ttyB=)(sin)(420td tty=)(sin)sin(42ttdtXk=)(sin)(sin4222td tXtd tkX自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析=211arcsin22XXXkXB)(
12、X死区非线性环节的描述函数为：死区非线性环节的描述函数为：=211arcsin22)(XXXkXBXN)(X kyx死区非线性死区非线性自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析3.间隙非线性环节bkyx间隙非线性间隙非线性间隙非线性环节的描述间隙非线性环节的描述函数为：函数为：XjABXN11)(+=+=)1(4)1()21(2)21arcsin(2+=+=XbXkbjXbXbXbXbk)(bX 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析4.继电型非线性环节Myx继电型非线性继电型非线性M 继电型非线性环节的描继电型非线性环
13、节的描述函数为：述函数为：XMXN 4)(=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析5.带死区的继电型非线性环节Myx带死区的继电型非线性带死区的继电型非线性M h带死区的继电型非线性带死区的继电型非线性环节的描述函数为：环节的描述函数为：2)(14)(XhXMXN=)(hX 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析7.3 非线性控制系统的描述函数分析自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析条件：条件：c-GxyN线性部分线性部分非线性环节非线性环节r(1)(1)非线性系统中的非线性环节
14、和线性部分能进行非线性系统中的非线性环节和线性部分能进行分离分离。(2)(2)非线性环节能用非线性环节能用描述函数描述函数表示。表示。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析c-GxyN线性部分线性部分非线性环节非线性环节r条件：条件：(3)(3)线性部分具有线性部分具有低通滤波低通滤波的特性。的特性。(4)(4)非线性系统的参考输入为非线性系统的参考输入为零零。即非线性系统。即非线性系统初始时为初始时为静态静态。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析7.2 非线性控制系统的描述函数分析非线性系统的稳定性分析非线性系统的
15、稳定性分析非线性系统的自激振荡分析非线性系统的自激振荡分析自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析一、非线性系统的稳定性分析非线性系统如图非线性系统如图2 2所示：所示：闭环系统的频率特性为：闭环系统的频率特性为：Y-GN(X)线性部分线性部分非线性环节非线性环节图2R()()()()()jGXNjGXNjRjY)(1)()(+=+=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析系统的特征方程为：系统的特征方程为：()0)(1=+jGXN()()(1XNjG=负倒描述函数负倒描述函数非线性系统的临界稳定曲线非线性系统的临界稳定曲
16、线自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析单位反馈线性控制系统单位反馈线性控制系统的闭环频率特性为：Y(s)G(s)-R(s)的闭环频率特性为：()()()()()jGjGjRjY+=+=1)()01=+jG()1=jG自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析推广的奈奎斯特稳定判据推广的奈奎斯特稳定判据假设非线性系统的假设非线性系统的线性线性部分为部分为最小最小相位相位系统。在同一平面上画出奈奎斯特系统。在同一平面上画出奈奎斯特曲线曲线和负倒描述函数曲线和负倒描述函数曲线。()()jG)(1XN 自动控制原理自动控制原理第
17、七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(1)(1)若若曲线曲线没有没有被被曲线所包围，曲线所包围，则系统是则系统是稳定稳定的。的。()()jG)(1XN 稳定稳定自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(2)(2)若若曲线被曲线被曲线所包围，则系曲线所包围，则系统是统是不稳定不稳定的。的。()jG)(1XN 不稳定不稳定自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(3)(3)若若曲线与曲线与曲线相交，则系统曲线相交，则系统在交点处可能会产生在交点处可能会产生自激振荡自激振荡，即系统中，即系统中有有极限环极限环存在。
18、存在。()jG)(1XN 系统存在自激振荡系统存在自激振荡自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析二、非线性系统的自激振荡分析()()jGReImA AB BtX sin自激振荡自激振荡不稳定不稳定稳定稳定0 0 )(1XN 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析二、非线性系统的自激振荡分析不稳定区不稳定区稳定区稳定区()()jGReImA AB B0 0 )(1XN A A点处的自激振荡点处的自激振荡:)(1XN X稳定区稳定区不稳定区不稳定区A AA A点处的自激振荡是点处的自激振荡是不稳定不稳定的。的。自动控制原理
19、自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析二、非线性系统的自激振荡分析B B点处的自激振荡点处的自激振荡:)(1XN 不稳定区不稳定区稳定区稳定区B BB B点的自激振荡是点的自激振荡是稳定稳定的，即的，即B B点处存在稳定的点处存在稳定的极限环极限环。不稳定区不稳定区稳定区稳定区()()jGReImA AB B0 0 )(1XN X。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析二、非线性系统的自激振荡分析不稳定区不稳定区稳定区稳定区()()jGReImA AB B0 0 )(1XN A A点处的自激振荡点处的自激振荡:A AA AA AB
20、 BB BC C)(不稳定区不稳定区AA X XBA )(稳定区稳定区AA X XCA A A点处的自激振荡是点处的自激振荡是不稳定不稳定的。的。自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析二、非线性系统的自激振荡分析B B点处的自激振荡点处的自激振荡:不稳定区不稳定区稳定区稳定区()()jGReImA AB B0 0 )(1XN A AA AA AB BB BB B点的自激振荡是点的自激振荡是稳定稳定的，即的，即B B点处存在稳定的点处存在稳定的极限环极限环。)(稳定区稳定区BB X XBB )(B不稳定区不稳定区 B X XBB 自动控制原理自动控制原理第七
21、章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析例例7.1 7.1 对图对图3 3所示的非线性系统进行自激振荡分析。所示的非线性系统进行自激振荡分析。-2)10025.0)(101.0(460+sss图图图图3 3XMXN 4)(=(继电型非线性的描述函数为：继电型非线性的描述函数为：)自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析解：解：(1)(1)写出非线性环节的描述函数写出非线性环节的描述函数继电型非线性的描述函数为：继电型非线性的描述函数为：XMXN 4)(=2=M由于由于XXN 8)(=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制
22、系统分析(2)(2)确定非线性环节的负倒描述函数确定非线性环节的负倒描述函数XXN 8)(=8)(1XXN=0 X-N-1(X)010 393.0 终点终点终点终点起点起点起点起点自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析X-N-1(X)01ImRe0)(1XN393.0 0 393.0 终点终点起点起点自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(3)(3)画出线性部分的奈奎斯特图。画出线性部分的奈奎斯特图。)10025.0)(101.0(460)(+=+=ssssG线性部分的频率特性为：线性部分的频率特性为：)10025.0
23、)(101.0(460)(+=+=jjjjG自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析22)0025.0(1)01.0(1460)(+=+=jG()()0025.0tan01.0tan9011=o)(jG15059.1)(o167 18013.1o175 20092.0o180 25058.0o190 40020.0o211 0o270 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析ImRe0)(1XN393.0)(jG自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(4)(4)确定交点处的自激振荡。确
24、定交点处的自激振荡。)105.21(0125.0460)(252+=+=jjG 0)(Im=jGsradA/200=AImRe0)(1XN393.0)(jG令令得：得：自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析频率特性频率特性在交点处的实部为：在交点处的实部为：)(jG 92.0)(Re200=jG92.08)(1=XXN 因此因此34.2=AX系统的自激振荡可近似等效为：系统的自激振荡可近似等效为：AImRe0)(1XN393.0)(jG92.0 ttyA200sin34.2)(=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(
25、5)(5)确定是否是稳定的自激振荡确定是否是稳定的自激振荡)(1XN)(tyA负倒描述函数负倒描述函数从不稳定区穿过从不稳定区穿过 A A 点到稳定区，因点到稳定区，因此此A A点处的自激振荡点处的自激振荡是稳定的自激振荡。是稳定的自激振荡。ImRe0)(1XN393.0)(jGA自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析例例7.2 7.2 对图对图4 4所示的非线性系统进行自激振荡分析。所示的非线性系统进行自激振荡分析。-0.71.7)10025.0)(101.0(460+sss图图图图4 4(带死区的继电非线性环节的描述函数为：带死区的继电非线性环节的描述
26、函数为：)2)(14)(XhXMXN=)(hX 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析解：解：(1)(1)写出非线性部分的描述函数。写出非线性部分的描述函数。带死区的继电非线性环节的描述函数为：带死区的继电非线性环节的描述函数为：,14)(2=XhXMXN hX 由于由于7.1=M7.0=h,7.018.6)(2=XXXN 7.0 X自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(2)(2)确定非线性环节的负倒描述函数。确定非线性环节的负倒描述函数。27.0118.6)(1=XXXN)7.0(X？返回点返回点X-N-1(X)7
27、7.025.3 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析令令0)(1=dXXNd0)7.0118.6(2=XXdXd 99.0=X647.0)99.0(1=N自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析X-N-1(X)99.0 7.0647.0 ImRe0)(1XN647.0 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(3)(3)画出线性部分的奈奎斯特图。画出线性部分的奈奎斯特图。)10025.0)(101.0(460)(+=+=ssssG线性部分的频率特性为：线性部分的频率特性为：)1002
28、5.0)(101.0(460)(+=+=jjjjG)105.21(0125.0460252+=+=j自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析22)0025.0(1)01.0(1460)(+=+=jG()()0025.0tan01.0tan9011=o)(jG15059.1)(o167 18013.1o175 20092.0o180 25058.0o190 40020.0o211 0o270 自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析ImRe)(1XN647.0 0)(jG几个交点几个交点?自动控制原理自动控制原理第七章 非线
29、性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(4)(4)确定交点处的自激振荡。确定交点处的自激振荡。)105.21(0125.0460)(252+=+=jjG令令ImRe)(1XN647.0 0)(jGAB 0)(Im=jG得：得：sradBA/200=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析频率特性频率特性在交点处的实部为：在交点处的实部为：)(jG 92.0)(Re200=jG因此：因此：92.07.0118.6)(21=XXXN 757.0=AX843.1=BX自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析系统具有两个等效的正
30、弦振荡：系统具有两个等效的正弦振荡：ttyA200sin757.0)(=ttyB200sin843.1)(=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析(5)(5)确定是否是稳定的自激振荡确定是否是稳定的自激振荡ImRe)(1XN647.0 0)(jGAB)(tyA)(1XN负倒描述函数负倒描述函数从稳定从稳定区通过点区通过点A A 到达不稳定区，因到达不稳定区，因此此A A点处的振荡点处的振荡为为不稳定不稳定振荡。负倒描述函数振荡。负倒描述函数从不稳定区通过从不稳定区通过B B点到达稳定点到达稳定区，因此区，因此B B点处的振荡点处的振荡为为稳定稳定的自激振荡
31、。的自激振荡。)(tyB)(1XN自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析练习练习 1 1)(1XN画出图画出图1 1所示的继电非线性环节的所示的继电非线性环节的曲线。已曲线。已知继电非线性环节的描述函数为：知继电非线性环节的描述函数为：4yx图图1 1 继电型非线性继电型非线性4 XMXN 4)(=自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析练习练习练习练习 2 2)(1XN画出图画出图3 3所示的非线性环节的所示的非线性环节的曲线。已知该非线性环节的描述函数曲线。已知该非线性环节的描述函数为：为：13=Myx图图2 21=
32、h224)(14)(XMhjXhXMXN=)hX(自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析作业七1.分析图分析图1 1所示非线性系统的稳定性。所示非线性系统的稳定性。-10010702+ss图图图图1 1)(XN其中非线性环节的描述函数为：其中非线性环节的描述函数为：224)1(14)(XjXXMXN=)1,1(=MX自动控制原理自动控制原理第七章 非线性控制系统分析第七章 非线性控制系统分析2.对图对图2 2所示非线性系统的进行自激振荡分析。所示非线性系统的进行自激振荡分析。-42)1(10+ss图图图图2 2XMXN 4)(=(继电型非线性环节的描述函数为：继电型非线性环节的描述函数为：)