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1、高中数学二级结论1.任意的简单 n 面体内切球半径为3VS表(V 是简单 n 面体的体积，S 是简单 n 面体的表面积)表2.在任意ABC 内，都有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC推论：在ABC 内，若 tanA+tanB+tanC0，则ABC 为钝角三角形3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的24倍4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点1 x -15.导数题常用放缩 ex x +1、 - ex(x 1) -xx xx y2 26.椭圆 + =1(a 0,b 0)a b2 2的面积 S 为 S = ab7.圆锥曲线的切线方程求法：隐
2、函数求导推论：过圆 (x - a)2 + (y -b)2 = r2 上任意一点 P(x0 , y ) 的切线方程为 (x0 - a)(x - a) + (y -b)(y -b) = r 20 0x y2 2过椭圆 + =1(a 0,b 0)a b2 2xx yy上任意一点 P( , ) 的切线方程为 1x0 y 0 + 0 =02a b2x y xx yy2 2过双曲线 - =1(a 0,b 0)上任意一点 P(x0 , y ) 的切线方程为 0 - =10a b a b2 2 2028.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程x + x y + y圆
3、x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的切点弦方程为 y y 0x x + D + 0 E F0 + 0 + =02 2x y2 2椭圆 + =1(a 0,b 0)a b2 2x x y y的切点弦方程为 0 + 0 =1a b2 2x y x x y y2 2双曲线 - 1(a 0,b 0) 0 - = 的切点弦方程为 0 1a b a b2 2 2 2抛物线 y2 = 2px( p 0)的切点弦方程为 0 y p(x x)y = +0x y + y x x + x y + y二次曲线的切点弦方程为 Cy y + D + E 0Ax0 x + B + 0 + F =0 0 002
4、 2 2x y2 29.椭圆 + =1(a 0,b 0)a b2 2与直线 Ax + By + C = 0(AB 0)相切的条件是 A2a2 + B2b2 = C 2x y2 2双曲线 - =1(a 0,b 0)与直线 Ax + By + C = 0(AB 0)相切的条件是 A2a2 - B2b2 = C 2a b2 210.若 A、B、C、D 是圆锥曲线(二次曲线)上顺次四点,则四点共圆(常用相交弦定理)的一个充要条件是:直线 AC、BD 的斜率存在且不等于零,并有 kAC + k = 0 ,(k ,BD ACk 分别表示 AC 和 BD 的斜率)BD1x y2 211.已知椭圆方程为 +
5、=1(a b 0)a b2 2，两焦点分别为F ，1F ，设焦点三角形2PF 中 =q1F PF ，则1F2 2cosq 1- 2e ( cosqmax =1- 2e2 )212.椭圆的焦半径(椭圆的一个焦点到椭圆上一点横坐标为x 的点 P 的距离)公式 1 a exr = 0 ,2 013.已知k ， k ，1 2k 为过原点的直线l ， l ，3 1 2l 的斜率，其中 l 是 l 和3 2 1l 的角平分线，则3k ，1k ， k 满足下述2 3转化关系：2k - k + k k2k = ，2 3 k3 21 1 2- k + k k 222- k + k k2 2 3k k -1 (1
6、- k k ) + (k + k ) 2k - k + k k2 22= ， k = 2 1 1 21 3 1 3 1 33 1 2 2k + k - k + k k1 3 2 1 214.任意满足 axn + byn = r 的二次方程，过函数上一点 ( 1, y )x 的切线方程为 ax xn-1 + by yn-1 = r1 1 1f (x)15.已知 f(x)的渐近线方程为 y=ax+b，则 lim = a ， lim f (x) - ax = bxx+ x+x y2 216.椭圆 + =1(a b 0)a b2 24绕 Ox 坐标轴旋转所得的旋转体的体积为V = ab317.平行四边
7、形对角线平方之和等于四条边平方之和18.在锐角三角形中sin A+sin B +sinC cos A+cosB +cosC19.函数 f(x)具有对称轴 x = a， x = b (a b)，则 f(x)为周期函数且一个正周期为| 2a - 2b |x y2 220.y=kx+m 与椭圆 + =1(a b 0)a b2 2相交于两点，则纵坐标之和为2mb2a k2 2+ b221.已知三角形三边 x，y，z，求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如 27 ， 28 ， 29 )A+ B =x2B + C =y2C + A =z22S = A B + BC + C A22.圆锥曲线的第
8、二定义：c椭圆的第二定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数 e(即椭圆的偏心率，e = )的点的集合(定a点 F 不在定直线上，该常数为小于 1 的正数)双曲线第二定义：平面内，到给定一点及一直线的距离之比大于 1 且为常数的点的轨迹称为双曲线23.到角公式：若把直线l 依逆时针方向旋转到与l 第一次重合时所转的角是q ，则1 2k - ktan=2 11+ k k1 2124.A、B、C 三点共线 OD = mOA+ nOC,OB = OD (同时除以 m+n)m + nx y2 225.过双曲线 - =1(a 0,b 0)上任意一点作两条渐近线的平行线，与渐近线围成的四边形
9、面积为a b2 2ab22k26.反比例函数 y = (k 0) 为双曲线，其焦点为 ( 2k , 2k ) 和 (- 2k ,- 2k ) ，k 1)an = f a ，则n na p a(a 1 p)n - = - - ，即an - p是公比为 a 的等比数列.nax + b定理 2：设 f (x) ( 0, - 0) ， an ，初值条件 a1 f (a1 )= c ad bc a 满足递推关系 = f (a -1 ),n 1n ncx + d(1)若 f (x) 有两个相异的不动点 p,q ，则anan-pq= k a - pn-1 （这里ka - qn-1a - pc= ）a - q
10、c1 1(2)若 f (x) 只有唯一不动点 p ，则 = + ka - p a - pn n-1（这里k=a2c+ d）ax + bx + c2定理 3：设函数 f (x) = (a 0,e 0) 有两个不同的不动点ex + fx1, x ,且由 ( )un = f u+ 确定着数列1 n2u ,那么当且仅当b = 0,e = 2a 时,nu - x u - xn+ 1 n 1 21 = ( )u - x u - xn+1 2 n 230.3(1)sin(nA)+ sin(nB) + sin(nC) = nA nB nC- 4 sin sin sin n = 4k2 2 2nA nB nC4
11、 cos cos cos n = 4k +12 2 2， k N*nA nB nC4 sin sin sin n = 4k + 2 2 2 2nA nB nC- 4 cos cos cos n = 4k + 3 2 2 2(2)若 A+ B +C = ，则： sin 2A+ sin 2B + sin 2C A B C = 8sin sin sinsin A+ sin B + sin C 2 2 2A B C cos A+ cos B + cosC =1+ 4 sin sin sin2 2 2A B C A B Csin2 + sin2 + sin2 =1- 2 sin sin sin2 2 2
12、 2 2 2 A B C p - A p - B p -Csin + sin + sin =1+ 4 sin sin sin2 2 2 4 4 4sinA+ sin B + sin C = 4 sinA2sinB2sinC2A B C A B C cot + cot + cot = cot cot cot2 2 2 2 2 2A B B C C A tan tan + tan tan + tan tan =12 2 2 2 2 2sin(B + C - A) + sin(C + A- B) + sin(A+ B -C) = 4 sin Asin Bsin C(3)在任意ABC 中，有：A B
13、C183 sin sinsin 2 2 2A B C cos cos cos 2 2 2A B Csin + sin + sin 2 2 2A B C cos + cos + cos 2 2 238323233332sin Asin Bsin C 8cos Acos BcosC 183sin A+ sin B + sin C 32cos A+ cos B + C cosA B Csin2 + sin2 + 2 sin2 2 234A B C tan2 + tan2 + tan2 12 2 2A B C tan + tan + tan 32 2 2 A B Ctan tan tan 2 2 23
14、9A B C cot + cot + cot 3 32 2 2 cot A+ cot B + cotC 3(4)在任意锐角ABC 中，有： tan Atan BtanC 3 3 tan2 A+ tan2 B + tan2 C 9 cot Acot BcotC 39 cot2 A+ cot2 B + cot2 C 131.帕斯卡定理：如果一个六边形内接于一条二次曲线(椭圆、双曲线、抛物线)，那么它的三对对边的交点在同一条直线上432.拟柱体：所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，它在这两个平面内的面叫做拟柱体的底面，其余各面叫做拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫做拟柱体的高拟柱体体积
15、公式辛普森(Simpson)公式：设拟柱体的高为 H，如果用平行于底面的平面去截该图形，所得到的截面面积是平面与一个底面之间距离 h 的不超过 3 次的函数，那么该拟柱体的体积 V 为1V = (S 4S )H ，式中，S 和1 + + S0 2 16S 是两底面的面积，S 是中截面的面积(即平面与底面之间距离2 0h =H2时得到的截面的面积)事实上，不光是拟柱体，其他符合条件(所有顶点都在两个平行平面上、用平行于底面的平面去截该图形时所得到的截面面积是该平面与一底之间距离的不超过 3 次的函数)的立体图形也可以利用该公式求体积33.三余弦定理：设 A 为面上一点，过 A 的斜线 AO 在面
16、上的射影为 AB，AC 为面上的一条直线，那么OAC,BAC,OAB 三角的余弦关系为：cosOAC=cosBACcosOAB(BAC 和OAB 只能是锐角)34.在 RtABC 中，C 为直角，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则ABC 的内切圆半径为a + b -2c35.立方差公式： a3 -b3 = (a -b)(a2 - ab + b2 )立方和公式： a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2 )36.已知ABC，O 为其外心，H 为其垂心，则OH = OA+ OB + OC37.过原点的直线与椭圆的两个交点和椭圆上不与左右顶点重合的任一点构成的直线斜
17、率乘积为定值a2- (a bb2 0)a2推论：椭圆上不与左右顶点重合的任一点与左右顶点构成的直线斜率乘积为定值 - (a b 0)b2x x e2 n x38. =1+ x + + + + n+1ex L x2! n! (n +1)!推论： ex 1+ x +x2239.ex - e-x ax(a 2)1 ax推论：t - 2lnt(t 0) ln x (x 0,0 a 2)t x + a40.抛物线焦点弦的中点，在准线上的射影与焦点 F 的连线垂直于该焦点弦41.双曲线焦点三角形的内切圆圆心的横坐标为定值 a(长半轴长)42.向量与三角形四心：5在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是
18、 a，b，c(1)OA + OB + OC = 0 O是 DABC的重心(2)OAOB = OB OC = OC OA O为 DABC的垂心(3) aOA+ bOB + cOC = 0 O 为 DABC的内心(4) OA = OB = OC O为 DABC的外心43.正弦平方差公式：sin2 a -sin2 b = sin(a - b) sin(a + b)44.对任意圆锥曲线，过其上任意一点作两直线，若两射线斜率之积为定值，则两交点连线所在直线过定点45.三角函数数列求和裂项相消：sinx =sin(x +1 2) -sin(x12 cos2-1 2) 2A(Ax + By + C) 2B(
19、Ax + By + C) 46.点(x,y)关于直线 Ax+By+C=0 的对称点坐标为 x - , y - A + B A + B2 2 2 247.圆锥曲线统一的极坐标方程：rep= (e 为圆锥曲线的离心率)1- ecosqnM M48. 超 几 何 分 布 的 期 望 ： 若 XH (n, N,M ) ， 则 E(X ) = ( 其 中为 符 合 要 求 元 素 的 频 率 ) ， N N M M n -1D(X ) = n (1- )(1- ) N N N -149.a 为公差为 d 的等差数列，b 为公比为 q 的等比数列，若数列 c = ，则数列 c 满足 c 的前 n n n
20、n n n nn a b项和c - q c + c2S 为 S = n+ n1 1n n2(q -1)50.若圆的直径端点 A(x1, y1 ),B(x2 , y2 )，则圆的方程为( 1 )( 2 ) ( 1 )( 2 ) 0x - x x - x + y - y y - y =51.过椭圆上一点做斜率互为相反数的两条直线交椭圆于 A、B 两点，则直线 AB 的斜率为定值52.二项式定理的计算中不定系数变为定系数的公式：kCn nCk -1= kn-153.三角形五心的一些性质：(1)三角形的重心与三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等(2)三角形的垂心与三顶点这四点中，任一点是其余三点所构成的三角形的垂心(3)三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心(4)三角形的外心是它的中点三角形的垂心 (5)三角形的重心也是它的中点三角形的重心(6)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心(7)三角形的任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的二倍54.在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，则 m n m n m+ne + e e - e55.mn 时， e 22 m - nAB AC =a2 + b - c2 226