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1、第2章 谓词逻辑(2)第1页，共26页，编辑于2022年，星期一2022/10/112.1 谓词的概念与表示谓词的概念与表示n命题逻辑的局限性命题逻辑的局限性：在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不在命题逻辑中，命题是命题演算的基本单位，不再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结再对原子命题进行分解，因而无法研究命题的内部结构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些构、成分及命题之间的内在联系，甚至无法处理一些简简单单而而又又常常见见的的推推理理过过程程。例例如如，著著名名的的亚亚里里士士多多德德三段论苏格拉底推理：三段论苏格拉底推理：所有的人都是要死的。所有的人都是要死的。苏格
2、拉底是人。苏格拉底是人。苏格拉底是要死的。苏格拉底是要死的。第2页，共26页，编辑于2022年，星期一n所有的人都是要死的，所有的人都是要死的，n苏格拉底是人，苏格拉底是人，n所以苏格拉底是要死的。所以苏格拉底是要死的。n根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用命题逻辑根据常识，认为这个推理是正确的。但是，若用命题逻辑（Ls）来表示，设）来表示，设P、Q和和R分别表示这三个原子命题，则有分别表示这三个原子命题，则有 P，QRn然然而而，(PQ)R并并不不是是永永真真式式，故故上上述述推推理理形形式式又又是是错错误误的的。一一个个推推理理，得得出出矛矛盾盾的的结结论论，问问题题在在哪哪里里呢呢
3、?问问题题就就在在于于这这类类推推理理中中，各各命命题题之之间间的的逻逻辑辑关关系系不不是是体体现现在在原原子子命命题题之之间间，而而是是体体现现在在构构成成原原子子命命题题的的内内部部成成分分之之间间，即即体体现现在在命命题题结结构构的的更更深深层层次次上上。对对此此，Ls是是无无能能为为力力的的。所所以以，在在研研究究某某些些推推理理时时，有有必必要要对对原原子子命命题题作作进进一一步步分分析析，分分析析出出其其中中的的个个体体词词，谓谓词词和和量量词词，研研究究它它们们的的形形式式结结构构的的逻逻辑辑关关系系、正正确确的的推推理理形形式式和和规规则则，这这些些正正是是谓词逻辑（简称为谓词
4、逻辑（简称为Lp）的基本内容。的基本内容。n第3页，共26页，编辑于2022年，星期一2.1.1 客体客体和和谓词谓词n命命题题是是具具有有真真假假意意义义的的陈陈述述句句。从从语语法法上上分分析析，一一个个陈陈述述句句由由主主语语和和谓谓语语两两部部分分组组成成。在在Lp中中，为为揭揭示示命命题题内内部部结结构构及及其其不不同同命命题题的的内内部部结结构构关关系系，就就按按照照这这两两部部分分对对命命题题进进行行分分析析，并并且且把把主主语称为个体或客体，把谓语称为谓词。语称为个体或客体，把谓语称为谓词。客体客体：可以独立存在的具体事物或抽象的概念。：可以独立存在的具体事物或抽象的概念。例例
5、如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、中国、如，电子计算机、李明、玫瑰花、黑板、实数、中国、思想、唯物主义等，客体也可称之为主语。思想、唯物主义等，客体也可称之为主语。第4页，共26页，编辑于2022年，星期一谓词：谓词：用来刻划客体的性质或客体之间的相互关系的词。用来刻划客体的性质或客体之间的相互关系的词。例如在下面命题中：例如在下面命题中：（1）张明是个劳动模范。）张明是个劳动模范。（2）李华是个劳动模范。）李华是个劳动模范。刻划客体的性质刻划客体的性质 （3）王红王红是个大学生。是个大学生。（4）小李比小赵高小李比小赵高2cm。（5）点）点a在在b与与c之间。之间。刻划客体之间的相互
6、关系刻划客体之间的相互关系 （6）阿杜与阿寺同岁。阿杜与阿寺同岁。“是个劳动模范是个劳动模范”、“是个大学生是个大学生”、“比比高高2cm”、“在在与与之间之间”都是都是谓词。谓词。第5页，共26页，编辑于2022年，星期一n刻刻划划一一个个客客体体性性质质的的词词称称之之为为一一元元谓谓词词,刻刻划划n个个客客体体之之间间关关系系的词称之为的词称之为n元谓词元谓词.n一般我们用大写英文字母表示一般我们用大写英文字母表示谓词，谓词，用小写英文字母表示用小写英文字母表示客体名称，例如，客体名称，例如，将上述谓词分别记作大写字母将上述谓词分别记作大写字母F、G、H、R，S则上述命题可表示为：则上述
7、命题可表示为：(1)F(a)a：张明张明 (2)F(b)b：李华李华 (3)G(c)c：王红王红 (4)H(s,t)s：小李小李 t：小赵：小赵 (5)R(a,b,c)(6)S(a,b)a:阿杜。阿杜。b:阿寺。阿寺。其中其中(1)、(2)、(3)为一元谓词，为一元谓词，(4)、(6)为二元谓词，为二元谓词，(5)为三元谓词。为三元谓词。第6页，共26页，编辑于2022年，星期一n注注:n(1)单独一个谓词并不是命题，在谓词字母单独一个谓词并不是命题，在谓词字母后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。后填上客体所得到的式子称之为谓词填式。n(2)在谓词填式中，若客体确定，在谓词填式中，若客体确定
8、，则则A(a1，a2,.,an)就变成了命题。就变成了命题。n(3)在多元谓词表达式中，客体字母出现的在多元谓词表达式中，客体字母出现的先后次序与事先约定有关先后次序与事先约定有关,一般不可以随意一般不可以随意交换位置交换位置(如如,上例中上例中H(s,t)与与H(t,s)代表两个代表两个不同的命题不同的命题)。第7页，共26页，编辑于2022年，星期一n 设谓词设谓词H表示表示“是劳动模范是劳动模范”,a表示客体名称表示客体名称张明张明,b表示客体名称表示客体名称李华李华,c表示客体名称这只老表示客体名称这只老虎，虎，那么那么H(a)、H(b)、H(c)表示三个不同的命表示三个不同的命题题,
9、但它们有一个共同的形式但它们有一个共同的形式,即即H(x).一般地，一般地，H(x)表示客体表示客体x具有性质具有性质H。这里。这里x表示抽象的或表示抽象的或泛指的客体，称为泛指的客体，称为客体变元客体变元，常用小写英文字母，常用小写英文字母x,y,z,表示。相应地，表示具体或特定的客体表示。相应地，表示具体或特定的客体的词称为的词称为客体常项客体常项，常用小写英文字母，常用小写英文字母a,b,c,表表 示。示。第8页，共26页，编辑于2022年，星期一同理，客体变元同理，客体变元x，y具有关系具有关系L，记作，记作L(x,y);客体变元客体变元x,y,z具有关系具有关系A，记作，记作A(x,
10、y,z).nH(x)、L(x,y)、A(x,y,z)本身并不是一个命题本身并不是一个命题.只只有用特定的客体取代客体变元有用特定的客体取代客体变元x,y,z后，它们才成后，它们才成为命题。我们称为命题。我们称H(x)、L(x,y)、A(x,y,z)为为命题函命题函数。一般地我们有数。一般地我们有第9页，共26页，编辑于2022年，星期一n定义定义2.1.1:由一个谓词由一个谓词H和和n个客体变元组成的表个客体变元组成的表达式达式H(x1,x2,xn)称为称为n元元简单命题函数简单命题函数.n由定义可知由定义可知,n元谓词就是有元谓词就是有n个客体变元的个客体变元的命题命题函数函数.当当n=0时
11、时,称为称为0元谓词元谓词.因此因此,一般情况下一般情况下,命命题题函数不是命题函数不是命题;特殊情况特殊情况0元谓词就变成一个命题元谓词就变成一个命题.n复合命题函数复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及由一个或几个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式逻辑联结词组合而成的表达式.第10页，共26页，编辑于2022年，星期一例例1:若若x的学习好的学习好,则则x的工作好的工作好 设设S(x):x学习好；学习好；W(x):x工作好工作好 则有则有S(x)W(x)例例2:将下列命题用将下列命题用0元谓词符号化元谓词符号化.(1)2是素数且是偶数是素数且是偶数.(2)如果如果2大于大于3,
12、则则2大于大于4.(3)如果如果张明比李民高张明比李民高,李民比赵亮高李民比赵亮高,则张明比赵则张明比赵亮高亮高.第11页，共26页，编辑于2022年，星期一n解解:(1)设设F(x):x是素数是素数.G(x):x是偶数是偶数.则命题符号化为：则命题符号化为：F(2)G(2)(2)设设L(x,y)：x大于大于y.则命题符号化为：则命题符号化为：L(2,3)L(2,4)(3)设设 H(x,y):x比比y高高.a:张明张明 b:李民李民 c：赵亮：赵亮 则命题符号化为：则命题符号化为：H(a,b)H(b,c)H(a,c)注注意意:命命题题函函数数中中,客客体体变变元元在在哪哪些些范范围围内内取取特
13、特定定的值的值,对命题的真值极有影响对命题的真值极有影响.第12页，共26页，编辑于2022年，星期一例如例如:H(x,y)H(y,z)H(x,z)n若若H(x,y)解释为解释为:x大于大于y,当当x,y,z都在实数中取值时都在实数中取值时,则则这个式子表示这个式子表示“若若x大于大于y且且y大于大于z，则，则x大于大于z”。这是一。这是一个永真式。个永真式。如果如果H(x,y)解释为解释为:“x是是y的的儿子儿子”,当当x,y,z都指人时，都指人时，则这个式子表示则这个式子表示“若若x为为y的儿子的儿子 且且y是是z的儿子，的儿子，则则x是是z的儿子的儿子”。这是一个永假式。这是一个永假式。
14、如果如果H(x,y)解释为解释为:“x距距y10米米”,当当x,y,z为平面上的点，为平面上的点，则这个式子表示则这个式子表示“若若x距距y 10米且米且y距距z 10米，米，则则x距距z 10米米”。这个命题的真值将由。这个命题的真值将由x,y,z的具体位置而定，的具体位置而定，它可能是它可能是1，也可能是，也可能是0。第13页，共26页，编辑于2022年，星期一n在命题函数中，客体变元的取值范围称为在命题函数中，客体变元的取值范围称为个体个体域域，又称之为论域。个体域可以是有限事物的，又称之为论域。个体域可以是有限事物的集合，也可以是无限事物的集合。集合，也可以是无限事物的集合。n全总个体
15、域：全总个体域：宇宙间一切事物组成的个体域称宇宙间一切事物组成的个体域称为为全总个体域。全总个体域。第14页，共26页，编辑于2022年，星期一n2.1.2 量词量词n量词量词：分为全称量词：分为全称量词()和存在量词和存在量词()1.全称量词全称量词对日常语言中的对日常语言中的“一切一切”、“所有所有”、“凡凡”、“每一每一个个”、“任意任意”等词，等词，用符号用符号“”表示表示，x表示表示对个体域里的所有个体，对个体域里的所有个体，x(x)表示个体域表示个体域里的所有个体具有性质里的所有个体具有性质F.符号符号“”称为称为全称量全称量词词.第15页，共26页，编辑于2022年，星期一例例3
16、：在谓词逻辑中将下列命题符号化在谓词逻辑中将下列命题符号化.（1）凡是人都呼吸。）凡是人都呼吸。（2）每个学生都要参加考试。）每个学生都要参加考试。(3)任何整数或是正的或是负的。任何整数或是正的或是负的。解解:(1)当个体域为当个体域为人类集合人类集合时：时：令令F(x):x呼吸。则（呼吸。则（1）符号化为）符号化为 xF F(x)当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令M(x):x是人。则（是人。则（1）符号化为）符号化为 x(M(x)F(x).第16页，共26页，编辑于2022年，星期一(2)当个体域为当个体域为全体学生的集合全体学生的集合时：时：令令P(x):x要参加考试。
17、则（要参加考试。则（2）符号化为）符号化为 x P(x)当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令S(x):x是学生。则（是学生。则（2）符号化为）符号化为 x(S(x)P(x).第17页，共26页，编辑于2022年，星期一(3)当个体域为当个体域为全体整数的集合全体整数的集合时：时：令令P(x):x是正的。是正的。N(x):x是负的。是负的。则（则（3）符号化为）符号化为 x(P(x)N(x)当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令I(x):x是是整数整数。则（。则（3）符号化为）符号化为 x(I(x)(P(x)N(x).第18页，共26页，编辑于2022年，星期一2.
18、存在量词存在量词对日常语言中的对日常语言中的“有一个有一个”、“有的有的”、“存在存在着着”、“至少有一个至少有一个”、“存在一些存在一些”等词，等词，用符号用符号“”表示表示，x表示存在个体域里的个体，表示存在个体域里的个体，x(x)表示存在个体域里的个体具有性质表示存在个体域里的个体具有性质F.符号符号“”称为称为存在存在量词量词.例例4：在谓词逻辑中将下列命题符号化在谓词逻辑中将下列命题符号化.（1）一些数是有理数。）一些数是有理数。（2）有些人活百岁以上。）有些人活百岁以上。第19页，共26页，编辑于2022年，星期一解解:(1)令令Q(x):x是有理数。则（是有理数。则（1）符号化为
19、）符号化为 x Q(x)（2）当个体域为）当个体域为人类集合人类集合时：时：令令G(x):x活百岁以上。则（活百岁以上。则（2）符号化为）符号化为 x G(x)当个体域为当个体域为全总个体域全总个体域时：时：令令M(x):x是人。则（是人。则（2）符号化为）符号化为 x(M(x)G(x)第20页，共26页，编辑于2022年，星期一有时需要同时使用多个量词。有时需要同时使用多个量词。例例5.命命题题“对对任任意意的的x,存存在在y,使使得得x+y=5”,取取个个体域为实数体域为实数集合集合,则该命题则该命题符号化为符号化为:x y H(x,y).其中其中H(x,y):x+y=5.这是个真命题这是
20、个真命题.第21页，共26页，编辑于2022年，星期一3.使用使用量词时应注意的问题量词时应注意的问题（1）在在不不同同的的个个体体域域，同同一一命命题题的的符符号号化化形形式式可能相同也可能不同。可能相同也可能不同。（2）在在不不同同的的个个体体域域，同同一一命命题题的的真真值值可可能能相相同同也也可可能能不不同同。(如如,R(x)表表示示x为为大大学学生生。如如果果个体域为大学里的某个班级的学生，则个体域为大学里的某个班级的学生，则 x R(x)为为真真；若若个个体体域域为为中中学学里里的的某某个个班班级级的的学生，则学生，则 x R(x)为假为假).第22页，共26页，编辑于2022年，
21、星期一（3）约约定定以以后后如如不不指指定定个个体体域域，默默认认为为全全总总个个体体域域。对对每每个个客客体体变变元元的的变变化化范范围围,用用特特性性谓谓词词加加以限制以限制.特特性性谓谓词词:限限定定客客体体变变元元变变化化范范围围的的谓谓词词(如如例例3中中的的M(x).一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前一般而言，对全称量词，特性谓词常作蕴含的前件，如（件，如（x）(M(x)F(x)；对存在量词，特性；对存在量词，特性谓词常作合取项，如谓词常作合取项，如(x)(M(x)G(x).第23页，共26页，编辑于2022年，星期一(4)一一般般来来说说，当当多多个个量量词词同同时时出出
22、现现时时，它它们们的的顺顺序序不不能能随随意意调换。如：调换。如：在在实实数数域域上上用用H(x,y)表表示示x+y=5,则则命命题题“对对于于任任意意的的x,都都存存在在y使使得得x+y=5”可可符符号号化化为为：x yH(x,y),其其真真值值为为1.若若调调换换量词顺序后为：量词顺序后为：y x H(x,y),其真值为其真值为0。(5)当个体域为有限集合时当个体域为有限集合时,如如D=a1,a2,an,对任对任意谓词意谓词A(x),有有 (x)A(x)A(a1)A(a2)A(an)(x)A(x)A(a1)A(a2)A(an)第24页，共26页，编辑于2022年，星期一例例6：在谓词逻辑中
23、将下列命题符号化：在谓词逻辑中将下列命题符号化.（1）所有的人都长头发。）所有的人都长头发。（2）有的人吸烟。）有的人吸烟。（3）没有人登上过木星。）没有人登上过木星。（4）清华大学的学生未必都是高素质的。）清华大学的学生未必都是高素质的。解：令解：令M(x):x是人。（特性谓词）是人。（特性谓词）（1）令令F(x):x长头发。则符号化为：长头发。则符号化为：（x）(M(x)F(x)（2）令令S(x):x吸烟。则符号化为：吸烟。则符号化为：（x）(M(x)S(x)（3）令令D(x):x登上过木星。则符号化为：登上过木星。则符号化为：(x)(M(x)D(x)第25页，共26页，编辑于2022年，
24、星期一（4）令令Q(x):x是是清清华华大大学学的的学学生生。H(x):x是是高高素素质的。则符号化为：质的。则符号化为：(x)(Q(x)H(x)小结小结:本节将原子命题进行分解本节将原子命题进行分解,分为客体和谓词分为客体和谓词两部分两部分.进而介绍了客体和谓词、一元谓词和进而介绍了客体和谓词、一元谓词和n元元谓词谓词、命题函数、全称量词和存在量词等概念。、命题函数、全称量词和存在量词等概念。重点掌握重点掌握一元谓词和一元谓词和n元谓词的概念、元谓词的概念、全称量词全称量词和存在量词及量化命题的符号化。和存在量词及量化命题的符号化。作业作业:P39 习题习题2.1第26页，共26页，编辑于2022年，星期一