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1、第十八次课二次型第十八次课二次型第1页，此课件共27页哦一、二次型及其标准形的概念一、二次型及其标准形的概念称为二次型称为二次型.第2页，此课件共27页哦只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的标准形（或法式）称为二次型的标准形（或法式）例如例如都为都为二次型；二次型；为二次型的标准形为二次型的标准形.第3页，此课件共27页哦1 1用和号表示用和号表示二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法第4页，此课件共27页哦取取则则则则二次型二次型可以表示为可以表示为二次型用和号表示二次型用和号表示二、二次型的表示方法二、二次型的表示方法第5页，此课件共27页哦第6页，此课件共27页哦令令则
2、则其中其中 为对称为对称矩阵。矩阵。二次型的矩阵表示（重点）二次型的矩阵表示（重点）注注注注1、对称矩阵、对称矩阵A的写法：的写法：A一定是一定是方阵方阵。2、其对角线上的元素、其对角线上的元素恰好是恰好是的系数。的系数。3、的系数的一半分给的系数的一半分给可保证可保证第7页，此课件共27页哦解解例例第8页，此课件共27页哦例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 对称矩阵对称矩阵把对称矩阵把对称矩阵 称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵也把二次型也把二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型的二次型对称矩阵对称矩阵 的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩的秩二次型二次型定义定义2：第9页，此课
3、件共27页哦设设三三 化二次型为标准形化二次型为标准形对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形可逆的线性变换，将二次型化为标准形第10页，此课件共27页哦定义定义定义定义6.126.12（正交变换正交变换）y=(y1,y2,yn)T,x=(x1,x2,xn)T,如果如果Q为正交矩阵，则称线性变换为正交矩阵，则称线性变换y=Qx为正交变换为正交变换.设设y=Qx是欧氏空间是欧氏空间V的一个线性变换，的一个线性变换，定理定理定理定理6.76.7设设y=Qx是正交变换，则是正交变换，则y=Qx保持向量的内积不变，保持向量的内积不变
4、，y=Qx保持向量的长度不变保持向量的长度不变.证明证明 设设y=Qx，QTQ=E.设设y1=Qx1，y2=Qx2于是，于是，正交变换保持向量内积不变正交变换保持向量内积不变.得到得到，向量长度经正交变换不变，向量长度经正交变换不变.特别地，令特别地，令y1=y2，可有，可有第11页，此课件共27页哦第12页，此课件共27页哦证明证明即即 为对称矩阵为对称矩阵.第13页，此课件共27页哦(1)自反性：自反性：A与与A合同；合同；(2)对称性：若对称性：若B与与 A合同，则合同，则A与与B合同合同;(3)传递性：若传递性：若A与与B合同合同,B 与与C合同，则合同，则A与与C合同合同.p矩阵的合
5、同等价相当于二次型可以互化矩阵的合同等价相当于二次型可以互化(也称也称二次型等价二次型等价).性质性质性质性质6.56.5在实对称集合中，合同关系是一个等价关系，即在实对称集合中，合同关系是一个等价关系，即第14页，此课件共27页哦说明说明第15页，此课件共27页哦第16页，此课件共27页哦第17页，此课件共27页哦用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤3 对每一个特征值对每一个特征值i,解方程解方程(iE-A)X=0,求出基础解系，求出基础解系，利用施密特正交化方法将基础解系正交化，然后单位化。利用施密特正交化方法将基础解系正交化，然后单位化。第18页，此课
6、件共27页哦解解例例3 3第19页，此课件共27页哦第20页，此课件共27页哦第21页，此课件共27页哦第22页，此课件共27页哦第23页，此课件共27页哦通过正交变换化为标准型通过正交变换化为标准型，求，求a,b的值的值及正交矩阵及正交矩阵解：解：f 的矩阵及标准型的矩阵的矩阵及标准型的矩阵 分别为：分别为：由已知条件知：由已知条件知：P-1AP=PTAP=故相似于对角阵故相似于对角阵，所以，所以 tr(A)=tr()即：即：-(b-1)2=0 a+2=5 解得：解得：a=3,b=1 由相似于对角阵由相似于对角阵，得的，得的 特征值为特征值为 1 1=0=0，2 2=1,=1,3 3=4=4
7、对于对于1 1=0=0，解方程组，解方程组 (0E-A)X=0(0E-A)X=0得得基础解系基础解系例例例例3 3 已知二次型已知二次型已知二次型已知二次型第24页，此课件共27页哦例例3 已知二次型已知二次型通过正交变换化为标准型通过正交变换化为标准型，求，求a,b的值的值及相似变换矩阵及相似变换矩阵把把单位化，得对应于单位化，得对应于1 1=0=0的单位特征向量的单位特征向量类似可得对应于类似可得对应于=的单位的单位特征向量为：特征向量为：对应于对应于=的单位特征向量为：的单位特征向量为：所求的正交矩阵为所求的正交矩阵为第25页，此课件共27页哦五、小结五、小结1.实二次型的化简问题，在理
8、论和实际中实二次型的化简问题，在理论和实际中经常遇到，通过经常遇到，通过在二次型和对称矩阵之间建立一在二次型和对称矩阵之间建立一一对应的关系一对应的关系，将二次型的化简转化为将对称矩将二次型的化简转化为将对称矩阵化为对角矩阵阵化为对角矩阵，而这是已经解决了的问题，请，而这是已经解决了的问题，请同学们注意这种研究问题的思想方法同学们注意这种研究问题的思想方法2.实二次型的化简，并不局限于使用正交实二次型的化简，并不局限于使用正交矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种算更快的可逆变换下一节，我们将介绍另一种方法方法拉格朗日配方法拉格朗日配方法第26页，此课件共27页哦化为标准型，并指出化为标准型，并指出 表示何种二次表示何种二次曲面曲面.求一正交变换，将二次型求一正交变换，将二次型思考题思考题第27页，此课件共27页哦