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1、线性平稳时间序列模型第1页，此课件共89页哦第一节第一节 时间序列的预处理时间序列的预处理一、平稳性检验一、平稳性检验二、二、纯随机性检验纯随机性检验返回本节首页下一页上一页第2页，此课件共89页哦时间序列的预处理时间序列的预处理返回本节首页下一页上一页时间序列平稳性平稳性检验检验平稳性时间序列非平稳性时间序列纯随机纯随机性检验性检验白噪声序列(纯随机序列)平稳非白噪声序列无规律可循，分析结束ARMA模型1.确定性分析2.随机性分析（ARIMA模型）第3页，此课件共89页哦一、平稳性检验一、平稳性检验1.平稳性定义（性质）2.平稳性检验的方法3.应用举例返回本节首页下一页上一页第4页，此课件共
2、89页哦1.平稳性定义知识回顾严平稳严平稳严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序严平稳是一种条件比较苛刻的平稳性定义，它认为只有当序列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，列所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变化时，该序列才能被认为平稳。该序列才能被认为平稳。宽平稳宽平稳宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它宽平稳是使用序列的特征统计量来定义的一种平稳性。它认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要认为序列的统计性质主要由它的低阶矩决定，所以只要保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性保证序列低阶矩平稳（二阶），就能保证序列的主要性质近似
3、稳定。质近似稳定。返回本节首页下一页上一页第5页，此课件共89页哦2.平稳性检验方法(1)通过时间序列的趋势图来判断(2)通过自相关函数(ACF)判断特征根检验法单位根检验法非参数检验法图检验方法图检验方法返回本节首页下一页上一页第6页，此课件共89页哦图检验（特点）这种方法是通过观察时间序列的趋势图和自相关图来判断时间序列是否存在趋势性或周期性。优点：简便、直观。对于那些明显为非平稳的时间序列，可以采用这种方法。缺点：对于一般的时间序列是否平稳，不易用这种方法判断出来。第7页，此课件共89页哦(1)时序图检验（判断准则）根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列
4、始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及无周期特征第8页，此课件共89页哦(2)自相关图检验（判断准则）平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相平稳序列通常具有短期相关性。该性质用自相关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序关系数来描述就是随着延迟期数的增加，平稳序列的自相关系数会很快地衰减向零。列的自相关系数会很快地衰减向零。若时间序列的自相关函数在k3时都落入置 信区间，且逐渐趋于零，则该时间序列具有平稳性；若时间序列的自相关函数更多地落在置信区间外面，则该时间序列就不具有平稳性。第9页，此课件共89页哦若序列无趋势若序列无趋势，但是具有季节性但是具有季节性，那末对
5、于按月采集的数据，时滞12，24，36的自相关系数达到最大(如果数据是按季度采集，则最大自相关系数出现在4，8，12，)，并且随着时滞的增加变得较小。第10页，此课件共89页哦n若序列是有趋势的，且具有季节性，其自相关函数特性类似于有趋势序列，但它们是摆动的，对于按月数据，在时滞12，24，36，等处具有峰态；如果时间序列数据是按季节的，则峰出现在时滞4，8，12，等处。第11页，此课件共89页哦3.应用举例应用举例例例1 时序图时序图 自相关图自相关图检验检验1951年年2005年我国居民消费价格指数年我国居民消费价格指数的平稳的平稳性性例例2 时序图时序图 自相关图自相关图检验检验1990
6、年年1月月1997年年12月我国工业总产值序列的平稳性月我国工业总产值序列的平稳性例例3 时序图时序图 自相关图自相关图检验检验19491949年年19981998年北京市每年最高气温序列的平稳性年北京市每年最高气温序列的平稳性返回本节首页下一页上一页第12页，此课件共89页哦例例1 居民消费价格指数时序图居民消费价格指数时序图返回例题第13页，此课件共89页哦例例1居民消费价格指数自相关图居民消费价格指数自相关图返回例题第14页，此课件共89页哦例例2 GIP时序图时序图返回例题第15页，此课件共89页哦例例2 GIP相关图相关图返回例题第16页，此课件共89页哦例例3 北京市最高气温时序图
7、北京市最高气温时序图返回例题第17页，此课件共89页哦例例3 北京市最高气温自相关图北京市最高气温自相关图返回例题第18页，此课件共89页哦二、二、纯随机性检验纯随机性检验（一）纯随机序列的定义（一）纯随机序列的定义（二）纯随机性的性质（二）纯随机性的性质（三）纯随机性检验（三）纯随机性检验返回本节首页下一页上一页第19页，此课件共89页哦（一）纯随机序列的定义（一）纯随机序列的定义纯随机序列也称为纯随机序列也称为白噪声序列白噪声序列，它满足如，它满足如下两条性质下两条性质 并不是所有平稳序列都值得建模！并不是所有平稳序列都值得建模！纯随机序列无法预测，无法进一步建模！纯随机序列无法预测，无法
8、进一步建模！返回本节首页下一页上一页第20页，此课件共89页哦标准正态白噪声序列时序图标准正态白噪声序列时序图 第21页，此课件共89页哦（二）白噪声序列的性质（二）白噪声序列的性质 纯随机性纯随机性 各序列值之间没有任何相关关系，即为各序列值之间没有任何相关关系，即为 “没有记忆没有记忆”的序列的序列 方差齐性方差齐性(平稳平稳)根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用根据马尔可夫定理，只有方差齐性假定成立时，用最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有最小二乘法得到的未知参数估计值才是准确的、有效的效的返回本节首页下一页上一页第22页，此课件共89页哦（三）纯随机性检验（三）纯随机性
9、检验 1.1.检验原理检验原理2.2.假设条件假设条件3.3.检验统计量检验统计量 4.4.判别原则判别原则5.5.应用举例应用举例返回本节首页下一页上一页第23页，此课件共89页哦1.1.检验原理检验原理:Barlett定理定理 如果一个时间序列是纯随机的，得到一个如果一个时间序列是纯随机的，得到一个观察期数为观察期数为 的观察序列，那么该序列的的观察序列，那么该序列的延迟非零期的样本自相关系数将近似服延迟非零期的样本自相关系数将近似服从均值为零，方差为序列观察期数倒数从均值为零，方差为序列观察期数倒数的正态分布的正态分布返回本节首页下一页上一页第24页，此课件共89页哦2.2.假设条件假设
10、条件原假设：延迟期数小于或等于原假设：延迟期数小于或等于 期的序列期的序列值之间相互独立值之间相互独立备择假设：延迟期数小于或等于备择假设：延迟期数小于或等于 期的序期的序列值之间有相关性列值之间有相关性 返回本节首页下一页上一页第25页，此课件共89页哦3.3.检验统计量检验统计量Q统计量统计量（大样本）（大样本）LB统计量统计量（小样本）（小样本）返回本节首页下一页上一页第26页，此课件共89页哦4.4.判别原则判别原则拒绝原假设拒绝原假设当检验当检验统计量大于统计量大于 分位点分位点，或该统计量，或该统计量的的P值小于值小于 时时，则可以以，则可以以 的置信水平的置信水平拒绝原假设，认为
11、该序列为非白噪声序列拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列接受原假设接受原假设当检验统计量小于当检验统计量小于 分位点，或该统计量分位点，或该统计量的的P值大于值大于 时，则认为在时，则认为在 的置信水平的置信水平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定纯随机序列的假定 返回本节首页下一页上一页第27页，此课件共89页哦5.5.应用举例应用举例例4：标准正态白噪声序列纯随机性检验。例3 续 对19491998年北京市最高气温序列做白噪声检验。例5 对1950年1998年北京市城乡居民定期储蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验。返回本节首页下
12、一页上一页第28页，此课件共89页哦例例4：标准正态白噪声序列纯随机性检验标准正态白噪声序列纯随机性检验样本自相关图样本自相关图返回例题第29页，此课件共89页哦检验结果检验结果延迟Q统计量检验Q统计量值P值延迟6期4.34350.63延迟12期14.1710.29由于P值显著大于显著性水平 ，所以该序列不能拒绝纯随机的原假设。返回例题第30页，此课件共89页哦例3 续 对19491998年北京市最高气温序列做白噪声检验。自相关图返回例题第31页，此课件共89页哦例例3续续 白噪声检验结果白噪声检验结果延迟阶数Q统计量检验Q检验统计量的值P值65.3840.496126.17210.907由于
13、P值显著大于显著性水平 ，所以不能拒绝序列纯随机的原假设。因而可以认为北京市最高气温的变动属于纯随机波动。这说明我们很难根据历史信息预测未来年份的最高气温。返回例题第32页，此课件共89页哦例例5 时序图时序图返回例题第33页，此课件共89页哦例例5自相关图自相关图返回例题第34页，此课件共89页哦例例5 白噪声检验结果白噪声检验结果延迟阶数Q统计量检验Q检验统计量的值P值665.1510.00011271.7730.0001由于P值显著小于显著性水平 ，所以我们可以以很大的把握断定北京是城乡居民定期储蓄比例序列属于非白噪声序列。返回例题第35页，此课件共89页哦结合前面的平稳性检验结果，说明
14、该序列不仅可以视为是平稳的，而且还蕴含着值得我们提取的相关信息。这种平稳非白噪声序列是目前最容易分析的一种序列。返回本节首页下一页上一页第36页，此课件共89页哦第二节 建立线性时序模型的原理 动态性返回本节首页下一页上一页第37页，此课件共89页哦动态性：就是指时间序列各观测值之间的相关性。从系统的观点看：动态性即指系统的记忆性，也就是某一时刻进入系统的输入对系统后继行为的影响，图示如下：系统输入输出（响应）第38页，此课件共89页哦例（1）某人在某一天打了一针，如果当天的反应是疼痛 ，而以后没有其它反应，那么系统的输入、输出如下：时间 t：1 2 3 4 5输入 at:0 1 0 0 0输
15、出 xt：0 0 0 0 这种状况可用模型概括为：第39页，此课件共89页哦（2）如果此人在打针后当天没有什么感觉，而第二天出现了红肿 ，那么系统的输入、输出如下：时间 t：1 2 3 4 5输入 at:0 1 0 0 0输出 xt：0 0 0 0 这种状况可用模型概括为：第40页，此课件共89页哦（3）如果当天的反应是疼痛 ，第二天出现了红肿 ，那么：时间 t：1 2 3 4 5输入 at:0 1 0 0 0输出 xt：0 0 0 这种状况可用模型概括为：第41页，此课件共89页哦（4）如果打针以后各个时刻都存在相应的反应，那么，关于该刺激的总的概括为：第42页，此课件共89页哦上式中：总称
16、为记忆函数，其中 为at-j对xt 的影响程度，输入与输出是由记忆函数联结起来的。由于系统具有记忆性，我们可以用过去的数据预测未来。第43页，此课件共89页哦第三节 线性平稳时间序列模型的种类一、自回归模型二、移动平均模型三、自回归移动平均模型四、求和自回归移动平均模型返回本节首页下一页上一页第44页，此课件共89页哦(一).一阶自回归模型，AR(1)1.设xt为零均值的平稳过程，如果关于xt的合适模型为：其中：(1)at是白噪声序列是白噪声序列（Eat=0,Var(at)=2,cov(at,at+k)=0,k0）,(2)假定：假定：E(xt,as)=0(ts)，那么我们就说xt遵循一个一阶自
17、回归或AR(1)随机过程。一、自回归模型(Auto regressive model,AR）返回本节首页下一页上一页第45页，此课件共89页哦可见,AR(1)模型中，xt在t时刻值依赖于两部分，一部分依赖于它的前一期的值xt-1；另一部分是依赖于与xt-1不相关的部分at第46页，此课件共89页哦2.可将AR(1)模型写成另一种形式：通过这一种形式可以看出，AR(1)模型通过消除xt中依赖于xt-1的部分，而使相关数据转化成了独立数据。第47页，此课件共89页哦3.随机游走模型如果一个时间序列xt的合适的模型为如下的形式：其中：at为白噪声序列，那么就称该模型为随机游走模型，这样的时间序列称随
18、机游走过程。第48页，此课件共89页哦注意：随机游走过程是非平稳时间序列非平稳时间序列非平稳时间序列非平稳时间序列。证明：第49页，此课件共89页哦随机游走通常被比作一个醉汉的游走。BAR第50页，此课件共89页哦虽然随机游走过程是非平稳的，但是我们看到，它的一阶差分却是平稳的：有些研究表明，许多经济时间序列呈现出随机游走或至少有随机游走的成分，如股票价格，这些序列虽然是非平稳的，但它们的一阶(或高阶)差分却是平稳的。BoxJenkins就是利用差分这种数学工具来使非平稳序列转化为平稳序列的。有关随机走的单位根(Unit root)检验,我们以后将作介绍第51页，此课件共89页哦1.设xt为零
19、均值的平稳过程，如果关于xt的合适模型为（二）二阶自回归模型，AR(2)其中：(1)at是白噪声序列是白噪声序列,(2)假定：假定：E(xt,as)=0(tq)无关。第59页，此课件共89页哦三、自回归移动平均模型，ARMA（p,q）1.自回归移动平均模型的一般形式如果xt即有AR模型特性，又有MA模型的特性，那么它可以用如下的线性模型来描述：其中：(1)at是白噪声序列是白噪声序列,(2)假定：假定：E(xt,as)=0(ts)，那么我们就说xt满足自回归移动平均模型，记为ARMA(p,q)。返回本节首页下一页上一页第60页，此课件共89页哦例如例如ARMA(2,1)ARMA(3,2)第61
20、页，此课件共89页哦 从以上可以看出AR、MA、ARMA(p,q)等模型均可以看作是 ARMA(p,p-1)模型的特例，这为我们提供了一种很好的建模策略，即建模时，可以通过逐渐增加ARMA(p,p-1)模型的阶数，逐渐找到最有效的模型。参见课本P41第62页，此课件共89页哦思考：如果思考：如果xt是一个非零均值的平稳时是一个非零均值的平稳时间序列，怎么对其建立模型？间序列，怎么对其建立模型？第63页，此课件共89页哦2.ARMA(p,q)模型的另一种表示方式 用Bk表示k步线性推移算子或延迟算子(backward shift operator,delay operator),则有并令：第64
21、页，此课件共89页哦那么，ARMA(p,q)可简写为：把 看作算子B的多项式，通常假定它们之间不出现公共因子。第65页，此课件共89页哦例如例如第66页，此课件共89页哦四、求和自回归移动平均模型（ARIMA,Integrated Autoregressive Moving average model）前面我们讨论的都是对平稳时间序列建立模型。如果序列xt是非平稳的，那么我们必须对其进行d次差分，把它变为平稳的序列dxt，然后用ARMA(p,q)作为它的模型，此时就称对原始序列xt建立了ARIMA(p,d,q)模型。其中：p为自回归部分项数，q指移动平均项数d为使序列平稳之前必须对其差分的次数
22、返回本节首页下一页上一页第67页，此课件共89页哦ARIMA(2,1,2)表示先对时间序列进行一阶差分，使之转化为平稳序列，然后对平稳序列建立ARMA(2,2)模型。例如：例如：ARIMA(p,0,q)就相当于ARMA(p,q)。ARIMA(p,0,0)就相当于AR(p)。ARIMA(0,0,q)就相当于MA(q)。第68页，此课件共89页哦对于一个ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下其中第69页，此课件共89页哦一、时间序列模型的平稳性二、时间序列模型的可逆性三、自回归模型的平稳性条件四、移动平均模型的可逆性条件第四节 ARMA模型的平稳性和可逆性返回本节首页下一页上一页第70
23、页，此课件共89页哦一、时间序列模型的平稳性（Stationarity）平稳性的定义：如果一个时间序列模型可以写成如下形式：其中，xt为零均值平稳序列，at为白噪声，且满足条件 就称该模型是平稳的。（上式又称Wold展开式）返回本节首页下一页上一页第71页，此课件共89页哦第72页，此课件共89页哦对于一个有限阶的MA(q)模型总有：所以，一个有限阶有限阶的MA(q)模型总是平稳的。第73页，此课件共89页哦二、时间序列模型的可逆性(ivertibility)如果一个时间序列（未必平稳）的模型可以写成如下形式：其中：at为白噪声，且有那么，就称这个模型是可逆的。返回本节首页下一页上一页第74页
24、，此课件共89页哦对于一个有限阶的自回归模型AR(P)总有：所以，一个有限阶有限阶的AR(P)模型总是可逆的。第75页，此课件共89页哦自回归表示有助于理解预测机制，Box和Jenkins证明，在预测时，一个非可逆过程是毫无意义的。第76页，此课件共89页哦一个可逆过程不一定是平稳的，对于一个有限阶的AR(P)模型：三、自回归过程的平稳性条件(stationarity condition)它是平稳过程的必要条件是:的根都在单位圆外，即如果1，2，p是 的根，那么它们的绝对值必须大于1返回本节首页下一页上一页第77页，此课件共89页哦注注第78页，此课件共89页哦移项得推导过程如下由 根据数学知
25、识，上式可以展开为幂级数，即第79页，此课件共89页哦根据平稳性的条件有：即级数 必须收敛。而要满足这个条件，则必须有:的根都在单位圆外。第80页，此课件共89页哦通过上述推导，可以得出如下结论：通过上述推导，可以得出如下结论：一个有限阶的一个有限阶的AR(P)模型，可以模型，可以表示成一个无限阶的表示成一个无限阶的MA模型模型第81页，此课件共89页哦例如对于一阶自回归过程：它的特征方程为：它的特征根为：则平稳性条件为：第82页，此课件共89页哦四、移动平均过程的可逆性条件(invertibility condition)类似前面的结论，一个平稳的过程也不一定是可逆的。同样，对于一个有限阶的
26、MA(q)模型：它是可逆过程的必要条件是:的根都在单位圆外，即如果B1，B2，Bq是 的根，那么它们的绝对值都必须大于1返回本节首页下一页上一页第83页，此课件共89页哦移项得推导过程同前由 根据数学知识，上式可以展开为幂级数，即第84页，此课件共89页哦根据可逆性的条件有：即级数 必须收敛。而要满足这个条件，则必须有:的根都在单位圆外，第85页，此课件共89页哦例如对于一阶移动平均过程：它的特征方程为：它的特征根为：则可逆性条件为：第86页，此课件共89页哦同样也可以得出如下结论：同样也可以得出如下结论：一个有限阶的一个有限阶的MA(q)模型，可以模型，可以表示成一个无限阶的表示成一个无限阶的AR模型模型第87页，此课件共89页哦对于一个ARMA(p,q)模型只有当特征方程：和 的根都在单位圆外，那么这个模型才既是平稳的又是可逆的。第88页，此课件共89页哦Thank you very much!第89页，此课件共89页哦