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1、第四章压弯构件第1页，此课件共46页哦第2页，此课件共46页哦本章主要研究的问题本章主要研究的问题压弯构件弹性稳定分析；横向荷载的影响规律；压弯构件的弹塑性极值点失稳问题；平面内M与N的相关公式；第3页，此课件共46页哦压弯构件的荷载-挠度曲线Py-屈服荷载；PE,a-欧拉临界力，小挠度理论；e-一阶弹性分析；d-一阶刚塑性分析；Pp-形成塑性铰时的承载力；b-二阶弹性分析；oAB-二阶弹塑性分析；f，f-侧向约束不足时发生的弹性、弹塑性弯扭失稳；第4页，此课件共46页哦4-1 有横向荷载作用的压杆的弹性弯曲变有横向荷载作用的压杆的弹性弯曲变形和稳定临界力形和稳定临界力横向荷载集中荷载均布荷载
2、第5页，此课件共46页哦1）横向集中荷载作用的压弯构件当0 xl/2时，平衡方程为：即：所以方程的通解为：第6页，此课件共46页哦边界条件为：y(0)=0,y(l/2)=0利用上述条件可得：则变形曲线的通解为(0 xl/2)：当l/2xl时，与此对称。当xl/2时，跨中挠度最大，为：第7页，此课件共46页哦令ukl/2，并把系数中的k代入，得到：其中：y0=Ql 3/(48EI)跨中集中荷载作用时简支梁的最大挠度；3(tgu-u)/u3有轴向压力时的最大挠度放大系数。把tgu用幂级数展开：第8页，此课件共46页哦注意到：则跨中最大位移可以表示为：为最大挠度放大系数。说明有轴力说明有轴力P P作
3、用后，跨中挠度将有所增大。作用后，跨中挠度将有所增大。作用后，跨中挠度将有所增大。作用后，跨中挠度将有所增大。第9页，此课件共46页哦2）横向均布荷载作用的压弯构件在此采用瑞利里兹法求解。压杆应变能：外力势能：qdxy第10页，此课件共46页哦总势能：设变形曲线为：（仅取一项，其中为跨中最大挠度）则则总势能为：令总势能一阶变分为0，得跨中最大挠度：第11页，此课件共46页哦轴力轴力轴力轴力P作用时的放大系数作用时的放大系数3）结果分析两端铰支受轴心压力的杆件，作用在其上的横向荷载若为对称布置，则此压弯构件的弯曲变形由两部分组成：一部分为不考虑轴心力的弯曲变形；二为放大系数第12页，此课件共46
4、页哦与上一章讲的初弯曲、初偏心的影响相类似，0相当于初弯曲和初偏心的影响。第13页，此课件共46页哦弹性分析时，当时，P=PE，即压弯杆件的弹性承载力为PE。下面给出证明：本节为简支的压弯构件，其它边界条件时，求解方法类似，结论类似。第14页，此课件共46页哦4-2 压弯构件的弯矩放大系数和承载力验压弯构件的弯矩放大系数和承载力验算算1）跨中弯矩横向集中荷载作用时，跨中最大弯矩为：第15页，此课件共46页哦弯矩放大系数横向荷载产生的弯矩第16页，此课件共46页哦横向均布荷载作用时，跨中最大弯矩为：第17页，此课件共46页哦弯矩放大系数横向荷载产生的弯矩可见由于轴向力的作用，跨中不但挠度增大，弯
5、矩也有所增大。这里作用效应的增加称为杆件的二阶效应，即P效应。当横向荷载不同时，弯矩的放大系数也有所不同。第18页，此课件共46页哦2）弹性压弯构件平面内弯曲承载力验算以简支轴压杆，有横向均布荷载作用为例当达到杆件边缘纤维屈服时：采用相关方程的形式：相关方程曲线为：MN弹性弹塑性第19页，此课件共46页哦钢结构设计规范中压弯构件稳定验算公式就是由上式而来，只不过规范公式同时还考虑了其它边界条件、荷载形式和初始缺陷等因素的影响。第20页，此课件共46页哦4-3 考虑弹塑性影响的压弯构件整体稳考虑弹塑性影响的压弯构件整体稳定验算定验算1）弹塑性压弯构件的工作性能随着位移的增大，杆件受力最大截面一定
6、会进入弹塑性阶段。本节所要解决的问题就是求解考虑弹塑性时的P曲线。第21页，此课件共46页哦2）几个基本概念Rddxyy点处伸长量为y d取出微元dx，有几何关系即曲率为单位长度上的转角截面上任一点应变为：中和轴以外为拉，以内为压第22页，此课件共46页哦3）数值积分法（压杆挠曲线法）具有初弯曲的压弯构件，假设条件最少，可适用于任意情况。截面上内弯矩：拉，压有正负第23页，此课件共46页哦具体求解过程如下：1.将压杆沿长度分成n段；2.给定压力P；3.假定A端由外荷载产生的转角为a，由AB逐段计算；4.计算第一段中点(1/2)处的曲率1/2，过程如下：1)将截面分成m块小单元；2)假定形心处
7、和截面曲率第24页，此课件共46页哦3)求解各小块中心点的应变4)由5)判断截面上的轴力 是否满足？否则调整 重复3)5)过程。6)判断截面上的弯矩 是否等于第25页，此课件共46页哦其它外荷载引起由P引起y1/2的由来的由来：（挠曲线用泰勒级数展开，：（挠曲线用泰勒级数展开，x点位移、转角已知，点位移、转角已知，求求x点的位移）点的位移）第26页，此课件共46页哦 如果1/2点处的内外弯矩相等不能满足，调整 重复3)6)。5.计算第一段末的位移、转角：对上式求1的一阶导数6.转入对下一段计算，重复第4步2)第5步，直到最后一段。7.根据最后一段末的边界条件(vB=0)是否满足，否则调整A重复
8、第4步 第7步。第27页，此课件共46页哦8.完成第1步 第7步后，则得到Pv曲线图中的一点。9.给定下一级P（压力），重复第3步第8步，可得Pv曲线。10.若到达某一级荷载时，第7步的调整不能完成，即达到了弯曲失稳的极限承载力。11.为了得到Pv曲线的下降段，可以改用给定A，调整P的办法，完成第4步第7步。（位移加载方式）Pv第28页，此课件共46页哦4）简化计算方法（耶硕克Jezek法）基本假定：a、材料理想弹塑性。b、杆件两端简支，构件变形曲线为正弦半波曲线，即：c、只考虑构件中央截面的内外力平衡。PPzyum第29页，此课件共46页哦PPzyum计算步骤：a、平衡方程：其中Mi为内弯矩
9、，与杆件轴向力P和曲率有关：b、由基本假设第二条得到：由横向荷载产生某点的挠度内弯矩第30页，此课件共46页哦 c、由基本假设第三条，平衡方程可以表达为：d、P的最大值可由 得到，即为弯矩作用平面内的稳定承载力。第31页，此课件共46页哦5）等效弯矩的概念：考虑受不等端弯矩作用的压弯构件平衡方程：通解为：第32页，此课件共46页哦利用边界条件：可得通解为：产生同号曲率，弯矩为正；产生异号曲率，弯矩为负；第33页，此课件共46页哦通过上述办法可以求得各种端弯矩作用下杆件内部截面上的最大弯矩。但这种方法不适合于设计人员使用。故提出等效弯矩的概念。等效弯矩Meq：将求出的两端弯矩不等的构件中的最大弯
10、矩，等于两端弯矩相等时的最大弯矩，此两端相等的弯矩成为等效弯矩。等效弯矩系数：两端相等的弯矩与两端不等弯矩中大值之比 1。通过等效弯矩以端弯矩相等的情况代替端弯矩不等的情况，以适用于任何情况。第34页，此课件共46页哦PPM1M2M1M2MmaxM1M2MmaxPPMeqMeqMeqMeqMmax任意端弯矩作用的情况，无法统一求解。端弯矩相等时，求解简单，通过等效弯矩系数，将各种情况统一化。第35页，此课件共46页哦4-4 考虑有限变形的实用方法考虑有限变形的实用方法1）基本假定：钢材理想弹塑性杆轴为正弦半波变形曲线平截面假定有限小变形，(1/4h1/8h)部分发展塑性用等效初始偏心考虑缺陷的
11、影响第36页，此课件共46页哦2）实用方法介绍考虑初偏心e0的杆，其相关方程为：其中：NNMMe0第37页，此课件共46页哦考虑截面塑性发展(1/4h1/8h)，用Mp=xMs=xW1xfy代替Ms，（x为塑性发展系数），得到：以下变换的目的是把初始偏心e0代换掉。当M0时，相当于有初偏心e0的轴压杆，设此时：把上式代入相关公式得：第38页，此课件共46页哦把求得的e0回代入相关公式得到：即：考虑端弯矩不等和有任意横向荷载作用的压弯构件，对十一种截面形式，适当考虑残余应力的影响，按精确理论计算，对上式进行修正，得：第39页，此课件共46页哦mx各种情况的等效弯矩系数。这个公式即为我国钢结构规范
12、中压弯构件稳定计算的相关公式。第40页，此课件共46页哦（1）悬悬臂臂构构件件和和在在内内力力分分析析中中未未考考虑虑二二阶阶效效应应的的无无支支撑撑框框架架和弱支撑框架柱，和弱支撑框架柱，mx=1.0。（2 2）框框架架柱柱和和两两端端支支承承的的构构件件：无无横横向向荷荷载载作作用用时时，mxmx=0.65+0.35=0.65+0.35M M2 2/M M1 1，M M1 1和和M M2 2是是构构件件两两端端的的弯弯矩矩，|M M1 1|M M2 2|；当当两两端端弯弯矩矩使使构构件件产产生生同同向向曲曲率率时时取取同同号号，使使构构件件产产生生反反向向曲曲率率（有有反反弯弯点点）时时取
13、取异异号号。有有端端弯弯矩矩和和横横向向荷荷载载同同时时作作用用时时，使使构构件件产产生生同同向向曲曲率率取取 mxmx=1.0=1.0；使使构构件件产产生生反反向向曲曲率率取取mxmx=0.85=0.85。无端弯矩但有横向荷载作用时，无端弯矩但有横向荷载作用时，mxmx=1.0=1.0。等效弯矩系数的取值方法：第41页，此课件共46页哦压弯构件在弯矩作用平面外压弯构件在弯矩作用平面外的稳定性的稳定性 1.双轴对称工字形截面压弯构件的弹性弯扭屈曲临界力双轴对称工字形截面压弯构件的弹性弯扭屈曲临界力绕绕z轴轴的扭矩平衡方程的扭矩平衡方程为为绕绕y轴轴的的弯弯矩平衡方程矩平衡方程为为对于两端铰接的
14、压弯构件，对于两端铰接的压弯构件，中点处的侧移和转角分别中点处的侧移和转角分别为为um和和 m，变形曲线取为，变形曲线取为u=umsin z/l和和=msin z/l，符合下列边界条件：在符合下列边界条件：在z=0和和z=l处，处，u=u=0。可得到弯扭屈曲的临界力可得到弯扭屈曲的临界力Ncr 的计算方程：的计算方程：第42页，此课件共46页哦其解为其解为如如果果构构件件的的端端弯弯矩矩M=0，可可以以得得到到轴轴心心受受压压构构件件的的临临界界力力Ncr=NEy或或Ncr=N 。这这里里的的NEy是是绕绕截截面面弱弱轴轴弯弯曲曲屈屈曲曲的的临临界界力力，即即NEy=2EIy/ly2，N 是是
15、绕绕截截面面纵纵轴轴扭扭转转屈屈曲曲的的临界力，其值和临界力，其值和Nz相同，即相同，即式式中中ly，l 分分别别是是构构件件的的侧侧向向弯弯曲曲自自由由长长度度和和扭扭转转自自由由长度，对于两端铰接的杆长度，对于两端铰接的杆ly=l 。第43页，此课件共46页哦实腹式压弯构件在弯矩作用平面外的实用计算公式实腹式压弯构件在弯矩作用平面外的实用计算公式 受纯弯矩作用的双轴对称截面构件，其弹性弯扭屈曲的临界弯矩受纯弯矩作用的双轴对称截面构件，其弹性弯扭屈曲的临界弯矩以以NEy 和和N 值值代入上式后得代入上式后得N/NEy 和和M/Mcr 之间的相关关系式之间的相关关系式 如如图图所所示示，曲曲线
16、线受受比比值值N/NEy 的的影影响响很很大大。N/Ney愈愈大大，压压弯弯构构件件弯弯扭扭屈屈曲曲的的承承载载能能力力愈愈高高。当当N=Ney时时，相关曲，相关曲线变为线变为直直线线式：式：N/NEy+M/Mcr=1第44页，此课件共46页哦考虑到不同的受力条件，在公式中引进了非均匀弯矩作用的等效弯矩系数考虑到不同的受力条件，在公式中引进了非均匀弯矩作用的等效弯矩系数 tx。对于悬臂构件对于悬臂构件 tx=1.0；对于在弯矩作用平面外有支承的构件，根据两个相邻支承点之内杆段的受力条对于在弯矩作用平面外有支承的构件，根据两个相邻支承点之内杆段的受力条 件，如无横向荷载作用时，件，如无横向荷载作
17、用时，tx=0.65+0.35M2/M1，杆段的端弯矩，杆段的端弯矩M1和和M2使它使它 产生同向曲率时取同号，产生反向曲率时取异号，而且产生同向曲率时取同号，产生反向曲率时取异号，而且 M1 M2；如果在杆段内只有横向荷载作用，如果在杆段内只有横向荷载作用，tx=1.0；如果在杆段内既有端弯矩又有横向荷载作用，则杆段产生同向曲率时如果在杆段内既有端弯矩又有横向荷载作用，则杆段产生同向曲率时 tx=1.0，产生反向曲率时产生反向曲率时 tx=0.85。在式中在式中NEy用用 yAfy，Mcr用用 bW1xfy代入后，压弯构件在弯矩作用平面外的计算公式是：代入后，压弯构件在弯矩作用平面外的计算公
18、式是：式式中中：b为为均均匀匀弯弯矩矩作作用用时时构构件件的的整整体体稳稳定定系系数数，对对于于一一般般工工字字形形截截面面和和T形形截截面面压压弯弯构构件件均均可可直直接接用用近近似似公公式式计计算算 b值值。对对于于闭闭口口截截面面，式式左左端端第第二二项项应应乘乘以以系系数数=0.7，b则则取取为为1.0。第45页，此课件共46页哦格构式压弯构件的设计格构式压弯构件的设计 1.在弯矩作用平面内格构式压弯构件的在弯矩作用平面内格构式压弯构件的 受力性能和计算受力性能和计算格构式压弯构件对虚轴的弯曲失稳采格构式压弯构件对虚轴的弯曲失稳采 用以截面边缘纤维开始屈服作为设计用以截面边缘纤维开始屈
19、服作为设计 准则的计算公式。准则的计算公式。W1x=Ix/y0 需区别对待：需区别对待：当距当距x轴最远的纤维属于肢件的腹板时，如图轴最远的纤维属于肢件的腹板时，如图c所示截面，所示截面，y0为由为由x轴到压力较大分肢腹板边缘的距离；轴到压力较大分肢腹板边缘的距离；当距当距x轴最远的纤维属于肢件翼缘的外伸部分时，如图轴最远的纤维属于肢件翼缘的外伸部分时，如图d所示所示 截面，截面，y0为由为由x轴到压力较大分肢轴线的距离。轴到压力较大分肢轴线的距离。x是由构件绕虚轴的换算长细比是由构件绕虚轴的换算长细比 0 x确定的确定的b类截面轴心压杆类截面轴心压杆 稳定系数。稳定系数。2.单肢计算单肢计算：单肢单肢1 N1=Mx/a+N z2/a 单肢单肢2 N2=N N1第46页，此课件共46页哦