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1、第八讲竞赛培训讲稿统计检验随机模型1现在学习的是第1页，共75页Outline1.简单的随机性模型简单的随机性模型2.报童的卖报问题报童的卖报问题3.传染病的随机感染传染病的随机感染4.为什么航空公司要超订机票为什么航空公司要超订机票现在学习的是第2页，共75页确定性因素和随机性因素确定性因素和随机性因素随机因素可以忽略随机因素可以忽略随机因素影响可以简单随机因素影响可以简单地以平均值的作用出现地以平均值的作用出现随机因素影响必须考虑随机因素影响必须考虑概率模型概率模型统计回归模型统计回归模型马氏链模型马氏链模型随机模型随机模型确定性模型确定性模型随机性模型随机性模型现在学习的是第3页，共75
2、页1 简单的随机性模型一、取球问题问题：盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的，第一次比赛时从盒中任取3个，用后仍放回盒中，第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的球都是新球的概率。分析：第二次取球是在第一次比赛之后，所以当第二次取球时盒中就不一定有9个新球了，因为第一次用的3个球可能有0、1、2、3个新球，所以第二次全取新球直接受这四种可能性的影响，可用全概率公式求解。现在学习的是第4页，共75页设A表示“第二次取出的球都是新球”的事件；（i0,1,2,3）表示“第一次比赛时用了i个新球”的事件则由题意得：|于是由全概率公式|现在学习的是第5页，共75页二、电能供应问题二、电能供应问题问
3、题：某车间有耗电为5KW的机床10台，每台机床使用时是各自独立地且间隙地工作，平均每台每小时工作12min。该车间配电设备的容量为32KW，求该车间配电设备超载的概率。每台耗电量为5KW，而配电设备容量为32KW，显然，有七台或七台以上的机床同时工作时，设备会发生超载现象。下面求出现这种现象的概率。观察10台完全相同的机床在同一时刻的工作情况与观察一台机床在10个时刻的工作情况是一样的。我们关心的问题是机床是否正在工作。现在学习的是第6页，共75页对于任一时刻，机床要么工作，要么不工作，只有两个结果，而10台机床的工作是相互独立的，每台机床正在工作的概率相同且，这是贝努利概型；所以由二项分布知
4、，“在同一时刻不少于七台机床同时工作”的概率可见，该车间设备超载的可能性概率是非常小的。现在学习的是第7页，共75页三、客车停站问题三、客车停站问题问题：一辆送客汽车载有20位乘客从起点站开出，沿途有10个车站可以下车，若到达一个车站没有乘客下车就不停车，设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。设随机变量X表示停车次数则由题意可知：因为每位乘客在每一车站下车是等可能的，所以每一位乘客在第i站不下车的概率为，现在学习的是第8页，共75页于是20位乘客在第i站都不下车的概率为，在第i站有人下车的概率为；所以从而得汽车平均停车次数：现在学习的是第9页，共75页四、蒲丰(Buffo
5、n)投针问题问题：平面上画有等距离为 的一些 平行线，向此平面任投一长为 的针，试求此针与任一平行线相交的概率。有两种可能：针与这些平行线中的某一根相交，或都不相交。没有理由认为这两种可能性是一样大的，故用古典概型无法求解。用几何概率去解决。以M表示针落下后的中点，表示中点M到最近一条平行线的距离，表示针与平行线的交角，如图 现在学习的是第10页，共75页那么基本事件区域它为平面上的一个矩形，其面积为：为使针与平行线（这线必定是与M最近的一条平行线）相交，其充要条件是 现在学习的是第11页，共75页显然A是 中的一个区域，如图 而A的面积为,现在学习的是第12页，共75页从而所求概率为 现在学
6、习的是第13页，共75页2 报童的卖报问题问题：报童每天清晨从邮局购进报纸零售，晚上卖不出去的退回，设报纸每份的购进价为b，零售价为a，退回价为c，当然应有abc。请你给报童筹划一下，他应如何确定每天购进报纸的数量，以获得最大的收入。现在学习的是第14页，共75页分析：报童购进数量应根据需求量确定，但需求量是随机的，所以报童每天如果购进的报纸太少，不够买的，会少赚钱；如果购进太多，卖不完就要赔钱，这样由于每天报纸的需求量是随机的，致使报童每天的收入也是随机的，因此衡量报童的收入，不能是报童每天的收入，而应该是他长期（几个月、一年）卖报的日平均收入。从概率论大数定律的观点看，这相当于报童每天收入
7、的期望值，以下简称平均收入。假设报童已经通过自己的经验或其它渠道掌握了需求量的随机规律，即在他的销售范围内每天报纸的需求量为r份的概率是f(r)，（r0,1,2,）。现在学习的是第15页，共75页设报童每天购进n份报纸，因为需求量r是随机的，r可以小于n、等于n或大于n；由于报童每卖出一份报纸赚ab，退回一份报纸赔bc，所以当这天的需求量rn，则他售出r份，退回nr份，即赚了(ab)r，赔了(bc)(nr)；而当rn时，则n份全部售出，即赚了(ab)n。记报童每天购进n份报纸时平均收入为G(n)，考虑到需求量为r的概率是f(r)，所以现在学习的是第16页，共75页问题归结为在f(r)、a、b、
8、c已知时，求n使G(n)最大。通常需求量r的取值和购进量n都相当大，将r视为连续变量，这时f(r)转化为概率密度函数P(r)，这样(2-1)式变为：计算现在学习的是第17页，共75页使报童日平均收入达到最大的购进量n应满足(2-3)所以(2-3)式可变为现在学习的是第18页，共75页即有根据需求量的概率密度P(r)的图形（如图）很容易从(2-4)式确定购进量n。在图中，用分别表示曲线P(r)下的两块面积，则(2-3)式又可记作：因为当购进n份报纸时：是需求量r不超过n的概率，即卖不完的概率；现在学习的是第19页，共75页是需求量r超过n的概率，即卖完的概率；所以(2-3)式表明：购进的份数n应
9、该使卖不完与卖完的概率之比，恰好等于卖出一份赚的钱ab与退回一份赔的钱bc之比。显然，当报童与邮局签订的合同使报童每份赚钱与赔钱之比越大时，报童购进的份数就应该越多。例如：若每份报纸的购进价为0.15元，售出价为0.2元，退回价为0.12元，需求量服从均值500份均方差50份的正态分布，报童每天应购进多少份报纸才能平均收入最高，这个最高收入是多少？现在学习的是第20页，共75页解：按(2-4)式，因为ab0.05bc0.03,rN(其中500,50查表可得n0.32516即每天购进516份报纸。按照(2-2)式，可得最高收入G23.484元现在学习的是第21页，共75页 问题：问题：人群中有病
10、人（带菌者）和健康人（易感染者）人群中有病人（带菌者）和健康人（易感染者）.任何两人之间的接触是随机的任何两人之间的接触是随机的.当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是随机的.通过实际数据或经验掌握了这些随机规律通过实际数据或经验掌握了这些随机规律.怎样估计怎样估计平均每天有多少健康人被感染，平均每天有多少健康人被感染，这种估计的这种估计的准确性准确性有多大？有多大？3传染病的随机感染 一个完整的建模介绍一个完整的建模介绍现在学习的是第22页，共75页 模型假设模型假设注：注：符号说明符号说明现在学习的是第23页，共75页 排列与组合，概率计算排
11、列与组合，概率计算 随机变量与分布函数，离散型随机变量的分布律随机变量与分布函数，离散型随机变量的分布律二项分布二项分布预备预备知知识识建模时可能用到的一些物理定律、数学公式或方法等建模时可能用到的一些物理定律、数学公式或方法等建模目的是建模目的是寻寻找健康人中每天平均被感染的人数找健康人中每天平均被感染的人数与已知参数与已知参数 的关系的关系.模型分析模型分析现在学习的是第24页，共75页 模型建立模型建立利用利用二二项项分布的性分布的性质质并注意到人群并注意到人群总总数数为为n,有有记记假假设设2中中任何二人任何二人接触的概率接触的概率为为一健康人与一名指定病人接触的概率。一健康人与一名指
12、定病人接触的概率。一健康人每天接触的人数服从一健康人每天接触的人数服从二项分布二项分布.（2）再再记记一健康人与一名指定病人接触并感染的概率一健康人与一名指定病人接触并感染的概率为为（3）现在学习的是第25页，共75页 模型建立模型建立(4)一健康人（每天）被感染的概率一健康人（每天）被感染的概率 现在学习的是第26页，共75页 模型建立模型建立与求解与求解为了得到简明的便于解释的结果，需对（为了得到简明的便于解释的结果，需对（4）式进行）式进行简化简化。（7）最后得到最后得到（8）（9）方法、推导方法、推导现在学习的是第27页，共75页 模型求解模型求解数据处理数据处理现在学习的是第28页，
13、共75页 模型解释模型解释结果分析结果分析现在学习的是第29页，共75页 模型评注模型评注（模型推广、或模型优缺点模型推广、或模型优缺点）现在学习的是第30页，共75页 模型评注模型评注注注:参赛论文除摘要外，还要附上参考文献、程序、数据处理情况等参赛论文除摘要外，还要附上参考文献、程序、数据处理情况等现在学习的是第31页，共75页4 为什么航空公司要超订机票1问题介绍 你备好行装准备去旅行，访问New York城的一位挚友。在检票处登记之后，航空公司职员告诉说，你的航班已经超员订票。乘客们应当马上登记以便确定他们是否还有一个座位。航空公司一向清楚，预订一个特定航班的乘客们只有一定的百分比将实
14、际乘坐那个航班。因而，大多数航空公司超员订票?也就是，他们办理超过飞机定员的订票手续。而有时，需要乘坐一个航班的乘客是飞机容纳不下的，导致一位或多位乘客被挤出而不能乘坐他们预订的航班。航空公司安排延误乘客的方式各有不同。有些得不到任何补偿，有些改订到其他航线的稍后航班，而有些给予某种现金或者机票折扣。Airline Overbooking 现在学习的是第32页，共75页1问题介绍 根据当前情况，考虑超员订票问题：航空公司安排较少的从A地到B地航班 机场及其外围加强安全性 乘客的恐惧 航空公司的收入迄今损失达数千万美元 建立数学模型，用来检验各种超员订票方案对于航空公司收入的影响，以求找到一个最
15、优订票策略，就是说，航空公司对一个特定的航班订票应当超员的人数，使得公司的收入达到最高。确保你的模型反映上述问题，而且考虑处理“延误”乘客的其他办法。此外，书写一份简短的备忘录给航空公司的CEO（首席执行官），概述你的发现和分析。Airline Overbooking 现在学习的是第33页，共75页1问题介绍2记号某次班机的飞行费用,飞行中飞机所载旅客数,每一旅客所偿付旅行费,飞行飞机的容量,对于一次飞行来说“未到”旅客的人数,k人未到的概率,某次班机订票的人数,S飞行所产生的结余（利润）现在学习的是第34页，共75页留下（例如挤掉）一名已订票旅客的耗费,订票旅客到达的概率,一次班机售出的低费
16、票数目,低费票相对于全费票的低费率。2记号现在学习的是第35页，共75页3模型建立一、首次尝试一、首次尝试若一次飞行载有个旅客，则产生的结余应为，这里g是每一个旅客所付的费用，十分明显，这个简单的模型有我们所期望它的那种特性，当所载旅客数增加时，利润相应增加，能够取得的最大利润是（），其中是飞机的旅客容量。这里有一个奇点，在奇点处，正好由所载旅客所支付抵消了飞行费用，此时，比此更少的载客飞机将赔钱。所有这些都是所期望的比此更少的载客飞机将赔钱。所有这些都是所期望的。现在学习的是第36页，共75页观察这个简单模型有：为了取得尽量多的利润，航空公司把目光盯在填满每次飞行上。一旦接受订票为，飞机视为
17、满载，不能再接受更多的订票。但问题又出来了：某些旅客也许会在飞机起飞时未到达现场，对于客机来讲，标准条件下，对于全费旅客的这种行为可以不受惩罚，他们可以迟到，并且其机票对另一次飞行来说仍有效，而对于某些其它客舱的旅客来讲，却没有这种优惠，下面我们将这点考虑在内。不能到达的每一个旅客在某种程度上都有潜在的经济损失。这种旅客在生意上被称为“未到”。现在学习的是第37页，共75页二、一个较好模型二、一个较好模型让我们以下列方式来改进上述提出的简单模型假定人“未到”的概率为，而表示某次航班订票的旅客数，且允许超过，当有人有未到时，航空公司将从飞行中得到的利润为：现在学习的是第38页，共75页载有m-k
18、个旅客时的结余对于此次飞行来讲，未到的旅客人数为一种偶然事件，因此，所获得利润的适当表达方式为期望利润，我们用表示之，则有：现在学习的是第39页，共75页若mN，则第一个和式不出现，而由下降为零的第二个和式给定，显然，订票上机的旅客数也许由于需求缺乏而很小。在这种情况下，航空公司不需要确定多少旅客订票或超订多少，而我们所要考虑的问题是超过供应情况下航空公司的表现行为。现假定为这种情况，且无论航空公司设置多高的订票水平m，都可以完成预订。这相当于白天航线的情形。现在学习的是第40页，共75页现在我们能将（2）改写为：现在学习的是第41页，共75页因此，我们可以看到，因为带有和式的那部分全为正，要
19、取得接近于期望利润的最大值，唯一方法是减少一切00，pk=0）来检查一下结果，这相当于旅客不能到达的偶然性为零，即所有订票上机的旅客都到达了。现在学习的是第48页，共75页这表明，若飞机客容量为N，m个旅客订了机票，且他们全到，利润将是从满员飞行利润中去掉被挤掉留下的那部分旅客的耗费。在这种情况下，当m=N时，可得到最大平均利润，这与第一个简单模型一致。为从已提炼了的模型获取更多的东西，对这些概率做出似乎合理的假定是有效力的，也许，最简单的假定莫过于取任一旅客出现的概率为，而“未到”的概率为。进一步假定旅客到达是相互独立的，这将会有二项分布的：现在学习的是第49页，共75页当然，这种“未到”为
20、相互独立的假定并不完全有效。事实上，部分旅客会成双或成群到达（或未到）。然而，让我们暂不考虑这种附带的困难，这样会有=qm，而（4）变成：现在所要做的是如何使平均飞行利润最大。（6）式中，平均利润的表达式依赖于,和N，支付与赔偿费不受航空公司短期控制的影响（这些费用是由IATA来规定的），和N为外部限制，而只有订票水平为航空公司的可控参数。要求出（6）式中部分和，最好由数值方法求解。现在学习的是第50页，共75页不过很明显，最优订票水平至少为飞机客容量N。因为由(3a)式可知，时，期望利润退化为：它是m的一个增函数。现在学习的是第51页，共75页（6）式中部分和是的函数，可写一个计算机程序来计
21、算q，N，m给定值下的部分和，由于期望利润是q，m，g，f，b和N的函数，航空公司要求以近似于60%的一个奇异载重因子来计算，也就是假定0.6Ng=f，则对于客容量为300的一个飞机，假定=0.05，0.1，而，可编程并用计算机计算期望利润，且我们还可以计算j个或更多个旅客被挤掉的概率：现在学习的是第52页，共75页四、再进一步的提炼四、再进一步的提炼假定j个旅客以票价rg订了低价机票，那么，由j个低费旅客和m-k-j个全费旅客产生的利润为：而k人未到的概率现在为个全费旅客中未到k人的概率，例如飞行期望利润为：现在学习的是第53页，共75页这个式子能编程计算而用来解决和N变化的影响，如果我们对
22、飞行耗费f比全比率费用g的关系做出一个近乎实际的假设，这里的计算困难也可能减小，现在学习的是第54页，共75页假定奇点载重时以适当比例混合的全费与低费旅客占了座位60%，从而，当低费旅客比例增时，因偿付全费的旅客比例减少了，全费用基数应相应增加，相应奇异条件就是：因此，由（10）与此方程结合有等价于（7）的式子：现在学习的是第55页，共75页同样编程即可用来计算这种情况下的。现在，模型已被提炼成为这里的一个有充分多变量及参量的式了，并且表达方式实用而清楚。本文建立了模型却没有给出任何确定的结论，这只因为对许多外部参量没有做进一步的研究而不能定出其确定值。然而，本文着重说明了成功提炼而建立模型的
23、过程，以及用模型来获取定量结果（如：趋势的与直觉的）并组织观察多变量函数参量变化的方法。现在学习的是第56页，共75页4进一步建模工作的建议本文所考虑的正是大量相似问题之一。同样，一个资料拥有者可以公开出借、雇佣或出售，但其必须考察可以实现或不可实现的顾客预订问题。下面列出几个类似问题，要建模还应为这些问题提供丰富的背景材料。1、旅馆旅馆接受将来订单大大依赖于信誉，他们必须给不能践诺的顾客以很小的惩处。有些旅馆要求付订金以保证较高的旅客到达率（这往往在价格低而住客人较小的旅馆用）；另一些旅馆也许提供较小的长期订票或预付订票；一些所谓讨价还价的间歇处提供较低级住处，根本没有预付一说。我们在此要考
24、虑这种多等级系统的运行情况。现在学习的是第57页，共75页2出租汽车公司出租汽车公司有定量的汽车（至少短期内是这样的）以提供给客户，它可以通过降低租金以优惠频繁用车的顾客（主要是团体）；对于较长时间租赁（成周或成月的）也给以降低租金，因为这种生意给出了至少至将来几天都已确定的租赁。尽管某公司可能提供不了太多的汽车给客户，但其往往还是要多预订一些。3图书馆图书馆可能购买许多本大众化书籍。特别地，对于学院或大学里教科书的那种情况。为了让学生利用率高些，图书馆就要限制册数，这就需要建立书的利用率模型。房屋租房屋租赁赁现在学习的是第58页，共75页6 机票预定问题的机票预定问题的多阶段决策模型多阶段决
25、策模型（略）1问题介绍问题介绍 对于航空客运来说，旅客所购机票具有一定的有效对于航空客运来说，旅客所购机票具有一定的有效期，因此当旅客未赶上本次航班时，他可以再乘坐下一期，因此当旅客未赶上本次航班时，他可以再乘坐下一次航班，但对于航空公司来说，本次航班不管旅客来多次航班，但对于航空公司来说，本次航班不管旅客来多少，它都必须按时起飞，因此航空公司为了提高满载率，少，它都必须按时起飞，因此航空公司为了提高满载率，往往超额预订机票。往往超额预订机票。现在学习的是第59页，共75页 由此产生了这样的问题，旅客本已订上了某次班机由此产生了这样的问题，旅客本已订上了某次班机的机票，但当到达机场而在接待室接
26、受检查时，却听到的机票，但当到达机场而在接待室接受检查时，却听到可怕消息；可怕消息；“对不起先生，您的航班已满员，我们将不对不起先生，您的航班已满员，我们将不得不让您乘坐下次班机了得不让您乘坐下次班机了”。这种事情常会引起旅客诸。这种事情常会引起旅客诸多不便甚至怨愤，那么采取什么样的订票方法才能既减多不便甚至怨愤，那么采取什么样的订票方法才能既减少旅客的抱怨，又使得航空公司的经济效益最高呢？少旅客的抱怨，又使得航空公司的经济效益最高呢？2问题的分析问题的分析 由于机场售出的预定票中，有一部分乘客由于个人原由于机场售出的预定票中，有一部分乘客由于个人原因，不能及时登机。这样飞机在起飞时可能并未满
27、员，造因，不能及时登机。这样飞机在起飞时可能并未满员，造成浪费。采取超额订票措施后，在提高满载率的同时，也成浪费。采取超额订票措施后，在提高满载率的同时，也带来了一个问题：有一部分乘客可能由于飞机满员而无法带来了一个问题：有一部分乘客可能由于飞机满员而无法如期搭乘班机。如期搭乘班机。现在学习的是第60页，共75页 作为航空公司，要对这部分乘客负责，一般在返还作为航空公司，要对这部分乘客负责，一般在返还机票费用的基础上，还要支付一定的赔偿费用。这样就机票费用的基础上，还要支付一定的赔偿费用。这样就造成了航空公司利润的下降。所以，航空公司的利润与造成了航空公司利润的下降。所以，航空公司的利润与票价
28、、乘客人数、票价、乘客人数、“被抛弃被抛弃”的乘客数、赔偿金额等因的乘客数、赔偿金额等因素有关。素有关。因此建立航空公司的利润与上述各因素的函数关系，并寻因此建立航空公司的利润与上述各因素的函数关系，并寻求一种有效的订票方案，提高飞机满载率，减少求一种有效的订票方案，提高飞机满载率，减少“被抛弃被抛弃”乘乘客数量，对提高航空公司的利润具有现实意义。客数量，对提高航空公司的利润具有现实意义。现在学习的是第61页，共75页3符号说明符号说明：飞飞机上的座位数机上的座位数：飞飞行一次的收益行一次的收益：飞飞机出行一次的机出行一次的费费用用：第：第个个时间时间段段：订订票票过过程的程的总时间总时间 ：
29、退款数：退款数额额与票价的比率与票价的比率 ：一：一张张机票的价格机票的价格 ：航空公司：航空公司对对被被挤挤掉的乘客的掉的乘客的赔赔款（含票价）款（含票价）：表示航空公司的形象：表示航空公司的形象值值，规规定在定在0100之之间间，公众公众对对航空公司的信任程度越高，航空公司的信任程度越高，越大。越大。现在学习的是第62页，共75页4多阶段决策模型多阶段决策模型我们考察这样两个问题：我们考察这样两个问题：1）、如果对预订不加控制，在预订之前你知道将有多少）、如果对预订不加控制，在预订之前你知道将有多少人订你航空公司的机票吗？人订你航空公司的机票吗？2）、如果乘客要求订票，你是否应该接受订票？
30、）、如果乘客要求订票，你是否应该接受订票？（1）建模的思想建模的思想我们知道这样一个事实：我们知道这样一个事实：如果检票后发现到机场的乘客数目和飞机上的座位数目一如果检票后发现到机场的乘客数目和飞机上的座位数目一样多的话，那么这无疑是最好的。因为它一方面使得航空公样多的话，那么这无疑是最好的。因为它一方面使得航空公司的本次飞行收益达到最大，另一方面它可以避免被挤掉的司的本次飞行收益达到最大，另一方面它可以避免被挤掉的乘客对航空公司所带来的负面影响乘客对航空公司所带来的负面影响现在学习的是第63页，共75页 而为了做到这些，我们在每一个时间段根据已有的而为了做到这些，我们在每一个时间段根据已有的
31、订票数目来预测未来的预期订票数目，并决定是否接受订票数目来预测未来的预期订票数目，并决定是否接受乘客的预订请求，以达到在机场检票时的人数与飞机的乘客的预订请求，以达到在机场检票时的人数与飞机的容量相当。容量相当。（2）模型的假设模型的假设乘客在乘客在订订票票时时付款，且付款，且订订票延票延续续 个小个小时时，飞飞机机起起飞飞前前2个小个小时时开始开始检检票，且同票，且同时时停止停止订订票。票。对这对这N个小个小时时按按时间顺时间顺序序编编号：号：在第在第个小个小时时内内“要求要求订订票的人数票的人数”服从参数服从参数为为的泊松分布，即：的泊松分布，即：，且不同的人，且不同的人“要求要求订订票票
32、”这这一事件相互独立。一事件相互独立。现在学习的是第64页，共75页在第在第 个小个小时时内，已内，已经订经订票的人中每个人要求票的人中每个人要求“取消取消订订票票”的概率的概率为为不同的人不同的人“取消订票取消订票”这一事件相互独立。这一事件相互独立。在第在第1个小时内无人取消订票，个小时内无人取消订票，第第个小个小时时内要求内要求“取消取消订订票票”的人数的人数服从二服从二项项分布分布约约定定。在整个在整个订订票票过过程中，程中，和和都是随机都是随机过过程。程。现在学习的是第65页，共75页（3）模型的建立）模型的建立1）假设飞机有两种座位票（即高价票和低价票），）假设飞机有两种座位票（即
33、高价票和低价票），分分别别有有和和个。个。对对低价票，票价低价票，票价为为，将将总订总订票票时间时间分分为为个个时间时间段段在在时间段乘客退票时，时间段乘客退票时，退款退款为为原票价的原票价的对对于高价票，票于高价票，票额额，只要乘客在检票前要求只要乘客在检票前要求退票，则退全票价。退票，则退全票价。现在学习的是第66页，共75页对对于于购买购买低价票的被低价票的被挤挤掉的乘客退掉的乘客退元，元，对对于于购买购买高价票的被高价票的被挤挤掉的乘客退掉的乘客退元。元。用用代表第代表第个小个小时时内低价票内低价票预订预订的数目，的数目，假假设设，用用代表第代表第个小个小时时内高价票内高价票预订预订的
34、数目，的数目，假假设设，用用代表第代表第个小个小时时内取消低价票内取消低价票预订预订的数目，的数目，假假设设，现在学习的是第67页，共75页用用代表第代表第个小个小时时内取消高价票内取消高价票预订预订的数目，的数目，假假设设，用用和和分分别别代表代表对购买对购买低价票和高价票但低价票和高价票但未能登机乘客的赔偿。未能登机乘客的赔偿。那么，航空公司本次航行的收益应该由那么，航空公司本次航行的收益应该由3部分组成：部分组成：票房收益（订票取得的收益和取消订票对收益的影响）票房收益（订票取得的收益和取消订票对收益的影响）运营成本和对被挤掉的乘客的赔偿，即：运营成本和对被挤掉的乘客的赔偿，即：现在学习
35、的是第68页，共75页其中其中 现在学习的是第69页，共75页2)设设在第在第小小时结时结束束时时，已有已有张订张订票。票。根据前面的讨论，我们知道，根据前面的讨论，我们知道，剩下的剩下的个小个小时时中中还还有有 有效的订票数：有效的订票数：记记=,它表示从第它表示从第个个时间时间段开始，到段开始，到检检票票为为止，止，准备预期登机的期望人数；准备预期登机的期望人数；那么在任意的那么在任意的时间时间段段内，航空公司就可以作出内，航空公司就可以作出这样的决策：这样的决策：如果如果，则则接受接受订订票；票；现在学习的是第70页，共75页如果如果，且，且，则则拒拒绝订绝订票；票；如果如果，但，但+，
36、则则接受接受订订票。票。如下图：如下图：接受订票接受订票接受订票票拒绝订票现在学习的是第71页，共75页在在已知的情况下，已知的情况下，是关于是关于的函数的函数记作：记作：=我们可以编制程序通过上述我们可以编制程序通过上述5个参量的变化去量度个参量的变化去量度航空公司的预期收益。航空公司的预期收益。（4）模型检验）模型检验我我们们假假设设对低价票，不妨假设：对低价票，不妨假设：若乘客在第若乘客在第172小时内退票，退票价的小时内退票，退票价的90%，现在学习的是第72页，共75页在在7396小时内退票，退票价的小时内退票，退票价的50%，在在97120小时内退票，不予退票。小时内退票，不予退票
37、。则本次航班的收益为：则本次航班的收益为：其中其中现在学习的是第73页，共75页当当（为为比例系数），比例系数），并并设对设对被被挤挤掉乘客都按高价票掉乘客都按高价票处处理，即都理，即都对对其退款其退款元。元。航空公司的形象和航空公司的形象和给给予被予被挤挤掉的乘客的掉的乘客的赔赔款款额对额对和和会会产产生影响。生影响。根据实际情况根据实际情况应该应该是是的的单调单调有界非减的凸函数，有界非减的凸函数，现在学习的是第74页，共75页比如比如应应是是的的单调单调减函数且保减函数且保证证比如比如下面我们设定一些数据下面我们设定一些数据(常数常数)，模拟某航空公司的，模拟某航空公司的订票决策过程（见表订票决策过程（见表1）（略）（略）现在学习的是第75页，共75页