第五讲动量传递过程选论.ppt

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1、第五讲动量传递过程选论现在学习的是第1页，共70页 4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题（1 1）迄今为止，我们求解的流动问题都是一维问题，只包含一个非零速度分量。但大量实际流动问题涉及多维流动，需要运用特殊的数学方法和技巧求解。求解不可压缩流体二维流动问题的一种广泛应用的数学技巧是流函数方法。在此方法中，通过引进一个新的变量流函数，减少了控制方程组里的因变量数目，从而使数学模型比原有形式大大简化，更易于求解，尤其是更有利于用数值方法求解。现在学习的是第2页，共70页在直角坐标系下，常物性牛顿流体二维流动的变化方程组为：4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题(2)(2)包含了

2、三个自变量(t,x,y)和三个因变量(vx,vy,P)。(b.1)(b.2)(b.3)现在学习的是第3页，共70页在微分方程课程中，我们曾学习过一类称为全微分方程(exact differential equation)的变系数常微分方程:4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题(3)(3)则必然存在二元连续函数f(x,y)满足其系数满足判别式(b.4)(b.5)(b.6,7)现在学习的是第4页，共70页函数 f 的全微分为4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题(4)回到常物性牛顿流体二维流动问题，令由方程定义的yx隐函数即是全微分方程的解。则有(b.8)(b.9)(b.10,1

3、1)(b.12,13)现在学习的是第5页，共70页以及4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题(5)(5)根据连续性方程，上式右侧的值等于零。于是必然存在二元连续函数(x,y)满足如果我们得到了 的表达式，通过求偏导数很容易得到vx和vy。函数 被称为流函数。很显然，我们可以用求解 来代替同时求解vx和vy。(b.14)(b.15,16)现在学习的是第6页，共70页把 与vx和vy的关系代入变化方程组,有4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题(6)连续性方程自动满足，可以从方程组中删去。(b.17)(b.18)(b.19)现在学习的是第7页，共70页将式(b.18)对y求导和将式

4、(b.19)对x求导，有4.2 应用流函数方法求解二维流动问题(7)(7)(b.20)(b.21)从式(b.21)中减去式(b.20)，得到(b.22)现在学习的是第8页，共70页 由上可见：控制方程已经从包含三个因变量(vx,vy,P)的三个方程(b.1b.3)减少为只含一个因变量()的单个方程(b.22)。这是一个巨大的简化！通过求解这个简化的数学模型得到流函数后，只需对流函数求导就能得到速度函数。教材第123页的表4.2-1列出了不同坐标系下应用流函数得到的控制方程形式，我们可根据具体案例按需选用。4.2 4.2 应用流函数方法求解二维流动问题(8)(8)现在学习的是第9页，共70页三个

5、坐标系下的流函数方程现在学习的是第10页，共70页问题描述:一个球体在大空间中的牛顿流体中缓慢下落。求解当球体以恒定速度下落时流体和球体的运动状态。例 4.2-1 环绕球体的爬流(1)1.物理模型:1)由于球体运动引起的流体物性变化很小，因而可以有效地假设流体的密度 和粘度 为常数。现在学习的是第11页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(2)2)当从固定在地球上的参考系观察时，这个过程是非稳态流动。但如果从固定在球体上的参考系观察，则表现为稳态流动。由于后者仍然是一个惯性参考系，因而前面所导出的运动方程在该参考系中依然成立。通过选择固定在球体上的参考系，我们将问题转化成为环绕一个固定球体

6、的稳态流动。现在学习的是第12页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(3)3)因为过程在大空间中进行，在有限的时间里，球体引起的流体扰动并没有到达空间的外边界，我们不妨把外边界延拓到无限远处。4)因为流体流动的速度很小(即所谓爬流)，所以运动方程中的惯性项(与速度平方有关的项)均可省略。5)流动具有轴对称性。现在学习的是第13页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(4)2.数学模型:1)选用右图所示的球坐标系。2）根据物理模型中的第1)点和第5)点，可以从表4.2-1中的最后一行得到此问题的控制方程：现在学习的是第14页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(5)根据物理模型中的第2

7、)点，方程左侧的第一项等于零。根据物理模型中的第4)点，方程左侧色其它项均可省略，于是(4.2-2)式中的微分算子 E 可以展开成表达式(4.2-3)现在学习的是第15页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(6)式(4.2-3)的边界条件应该从边界处的速度导出：根据关系式我们得到球表面的边界条件：(4.2-4)(4.2-5)现在学习的是第16页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(7)(4.2-6)对B.C.3积分得到比较两式，我们有式中C是一个任意常数，不妨取为零。对B.C.4积分得到现在学习的是第17页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(8)分离变量法3.数学模型求解1)分离

8、变量 B.C.3 提示我们流函数可能具有以下形式：(*)其中将其代入式(4.2-3)，我们有(4.2-7)现在学习的是第18页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(9)分离变量法所以式(*)可以写作(4.2-9)这是一个欧拉方程，其通解为将其展开，我们有(4.2-8)现在学习的是第19页，共70页根据B.C.3,(4.2-10)及然后(4.2-11)(4.2-12)根据B.C.1和B.C.2,及例 4.2-1 环绕球体的爬流(10)分离变量法现在学习的是第20页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(11)分离变量法(4.2-13)于是我们得到了速度场的表达式如下：(4.2-14)以及相

9、应的流线方程现在学习的是第21页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(12)(4.2-16)4.过程参数(4.2-15)1)压力场把速度表达式代入N-S方程，我们可以得到修正压力场的控制方程组该方程组的解为(4.2-17)即现在学习的是第22页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(13)(B.1-18)2)剪切应力场根据教材的附录B，作用在坐标面r=const.上的剪切应力（即沿r-方向的 -动量通量）为把速度场的表达式(4.2-13,14)代入上式，我们有(*)现在学习的是第23页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(14)(B.1-16)3)拉伸应力场根据教材的附录B，作用在坐

10、标面r=const.上的拉伸应力（即沿r-方向的r-动量通量）为 把速度场的表达式(4.2-13,14)代入上式，我们有(*)现在学习的是第24页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(15)4)作用在球体上的曳力流体施加在球体上的总作用力必然在z-方向，并且应该等于法向应力和切向应力在整个球体表面上的积分值。其中法向应力的贡献为(*)现在学习的是第25页，共70页例 4.2-1 环绕球体的爬流(16)总作用力包含浮力和动力学曳力两部分：而切向应力的贡献为动力学曳力的表达式被称为Stokes定律现在学习的是第26页，共70页 由于在物理模型中省略了惯性项，上述结果仅对非常缓慢的流动有效。通过

11、与实验数据进行比较，应用Stokes定律计算动力学曳力的适用场合局限于Re 0.1的情况。例 4.2-1 环绕球体的爬流(17)5.结果分析现在学习的是第27页，共70页 边界层理论在1819世纪的航海时代，谁能拥有海洋控制权谁就能拥有世界贸易权和殖民地控制权。因此个发达国家都竞相发展海军舰队和商船队。而提高舰船的航速是首屈一指的关键技术。当人们顺里成章地增大发动机功率来提高船速时，却失望地发现速度的增加远未达到预期的幅度。速度的增加完全不是正比于发动机功率的提升。为什么呢？直到Prandtl在1904年提出边界层概念后，才对此问题给出合理的解释。现在学习的是第28页，共70页 边界层的概念

12、(1)(1)当流体流经固体物体的前端时(参见右图)，由于粘性效应，紧靠壁面区域的流体的速度将显著减小，形成一个速度梯度较大的区域，流体的动量经 由 这 一 区 域传递给固体表面。随着流体沿壁面向前流动，这个区域的厚度沿流动方向逐渐增大。这个区域被称为流动边界层或速度边界层。现在学习的是第29页，共70页边界层的概念 (2)(2)流动边界层具有以下特点：1)边界层的外边界 v=0.99v 理论上讲，边界层的外边界应该是流体速度未减小的临界点，此处速度在垂直于壁面方向上的变化率为零。但实际上在边界层外缘区速度变化很缓慢，很难判断何处v=v。因此人为约定v=0.99v 处为边界层的外边界，此处到壁面

13、的垂直距离为边界层厚度。2)边界层很薄 x距前沿x处的边界层厚度远小于x。现在学习的是第30页，共70页边界层的概念 (3)(3)3)边界层内的横向速度梯度dvx/dy很大，动量分子传递不能忽略；边界层外dvx/dy很小，粘性效应可忽略。4)边界层内的流态有层流湍流之分，判据是边界层雷诺数Rex。湍流边界层内的近壁区仍有一层流底层。5)在凸表面上可发生 边界层分离现象。现在学习的是第31页，共70页边界层的概念 (4)则紧靠壁面区域的流体的浓度将会受到影响而改变，形成一个厚度沿流动方向逐渐增大的浓度边界层。与此类似，当流体流经固体表面时，如果从某一处开始，某个化学组分在固体表面处的浓度与来流流

14、体中的浓度不同，现在学习的是第32页，共70页边界层的概念 (5)则紧靠壁面区域的流体的浓度将会受到影响而改变，形成一个厚度沿流动方向逐渐增大的浓度边界层。与此类似，当流体流经固体表面时，如果从某一处开始，某个化学组分在固体表面处的浓度与来流流体中的浓度不同，现在学习的是第33页，共70页 边界层坐标系 (1)(1)为了简单且不失普遍性，我们取二维边界层作为讨论对象。参见右图，令x代表从固体物体前端开始沿固体表面的弧长，y代表距固体表面的距离，我们就在近壁区域建立起了一个正交曲线坐标系。现在学习的是第34页，共70页 边界层坐标系 (2)令dS为从点a到点b的弧长微元，R为固体壁面在点(x,0

15、)的曲率半径，我们有现在学习的是第35页，共70页,则在边界层内有 。边界层坐标系 (3)在正交坐标系中，对比前一公式，我们得到了尺度因子(Scale Factor，i A.7，p.115116)的表达式：如果此结果表明，只要固体壁面的曲率半径远大于边界层的厚度，边界层坐标系就可以近似处理为直角坐标系。现在学习的是第36页，共70页边界层方程 (1)边界层方程是在 的条件下采用量阶分析法对变化方程组进行化简而得。量阶分析法的要点是在评估各个物理量对某一现象影响的总体重要性时，主要依据各个物理量在所涉及区域中的平均值的相对大小，而并不关注这些物理量在该区域中少数空间点上的特定值的大小。现在学习的

16、是第37页，共70页边界层方程 (2)二元体系的二维稳态过程的变化方程组可写为：(a1)(a2)(a3)(a5)(a4)现在学习的是第38页，共70页边界层方程 (3)选取以下五个物理量作为量阶分析中比较各类物理量相对大小的标尺长度标尺的相对量阶大小为：长度类：速度类：温度类：浓度类：现在学习的是第39页，共70页边界层方程 (4)1)速度分量vx及其各个偏导数的量阶现在学习的是第40页，共70页边界层方程 (5(5)2)速度分量vy及其各个偏导数的量阶根据连续性方程 式(a1),现在学习的是第41页，共70页边界层方程 (6(6)现在学习的是第42页，共70页边界层方程 (7(7)3)修正压

17、强P的偏导数的量阶考虑边界层外部的无粘流动在边界层的外边界处现在学习的是第43页，共70页边界层方程 (8(8)把上式代入式(a2)，得到由于边界层很薄，在边界层内部压力梯度沿y方向的变化不可能很大。于是我们假设(a6)现在学习的是第44页，共70页边界层方程 (9(9)将其带入式(a3)中，我们得到此方程要成立就必然有：这一结果表明式(a6)中的假设成立。此方程要成立就必然有：现在学习的是第45页，共70页边界层方程 (10(10)由于压力及压力梯度可以根据边界层外部的流动求出，边界层内部的未知变量就可以减少一个，由式(a1)(a5)组成的方程组中的方程式就可以消去一个。我们选择消去式(a3

18、)并忽略式(a2)中的 ，就得到边界层运动方程于是 以及(4.4-11)现在学习的是第46页，共70页边界层方程 (11)式(4.4-11)是在 =const.的条件下导出的。如果我们需要考虑由于温度差或浓度差引起密度变化所导致的自然对流现象，则必须在该方程中增加两项：式中 代表热膨胀系数，代表浓度膨胀系数，gx是重力加速度的x分量。(20.2-2)现在学习的是第47页，共70页边界层方程 (12(12)对式(a4)(a5)应用量阶分析，我们有式中 T和 C分别是温度边界层厚度和浓度边界层厚度。现在学习的是第48页，共70页边界层方程 (13(13)于是这两个方程可简化为很显然，；(20.2-

19、3)(20.2-4)现在学习的是第49页，共70页边界层方程 (14(14)对于自然对流、粘性耗散、化学反应和偏摩尔焓差可忽略的系统，我们得到边界层方程组：速度场方程温度场方程浓度场方程(4.4-11)(20.2-22)(20.2-23)现在学习的是第50页，共70页边界层方程 (15)边界层方程的基本边界条件在外边界处还可以给出一系列附加边界条件现在学习的是第51页，共70页边界层方程 (16(16)小结:运用量阶分析法，我们主要获得了两个结果：1)在平行于固体表面方向上，三个边界层 中的所有分子传递项都可以忽略；2)在边界层内，横向压力梯度 的 影 响可以忽略。将此结果代入变化方程组，就得

20、到三个边界层方程。现在学习的是第52页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (1)(1)考虑流经平板表面的边界层，采用以下物理简化：1.物理模型1)稳态过程；2)常物性；3)沿一个方向均匀；4)边界层外部流动的压力梯度为零；现在学习的是第53页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (2)(2)5)无化学反应；6)重力是唯一的外力场；7)粘性效应可以忽略；8)混合热可以忽略；9)热辐射可以忽略；10)扩散焓通量可以忽略；11)壁面处的法向速度远小于外流速度。现在学习的是第54页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (3)(3)2.数学模型(20.2-20)(20.2-21

21、)(20.2-22)(20.2-23)现在学习的是第55页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (4)(4)(20.2-24)(20.2-26)(20.2-25)上述数学模型有一个明显的特点：式(20.2-21)(20.2-23)具有相似的数学结构和边界条件，因而可以采用共同的方法求解。现在学习的是第56页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (5)(5)(20.2-28)式(20.2-21)(20.2-23)可以表达成一个共同的形式。3.求解数学模型定义以下无因次变量和无因次传递系数(20.2-29)现在学习的是第57页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (6)(6

22、)于是有根据式(20.2-20)，(20.2-27)(20.2-30)(20.2-31)(20.2-32)现在学习的是第58页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (7)(7)代入式(20.2-30)，有 在y趋近于无穷大处的边界条件提示我们可以运用变量组合法求解。通过类似于4.1的方法，以下无因次组合变量是一个有利的选择：(20.2-33)(20.2-34)现在学习的是第59页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (8)(8)考虑式.(20.2-37)能够被满足的情况。通过引入下列函数很显然，式(20.2-34)的解可以表示成 的一元函数的充分必要条件是壁面处的速度满足下式：

23、(20.2-37)(20.2-38)现在学习的是第60页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (9)(9)式(20.2-34)可写为此式可以直接积分得到现在学习的是第61页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (10)(10)根据 B.C.1,代入前式，得到特解根据 B.C.2,此特解是一个隐函数，因为被积函数f中包含有因变量函数 v=(;1,K).(20.2-43)现在学习的是第62页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (11)(11)1)无因次分布剖形 从式(20.2-43)可以看出，无因次速度、无因次温度和无因次浓度具有相同的分布剖形的充分必要条件是无因次传递系

24、数相同4.结果分析及结果的应用现在学习的是第63页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (12)(12)2)传质对边界层的影响 式(20.2-43)可以改写为 很显然，当K0时，收敛得比K=0时更慢，相应的边界层厚度就增大。现在学习的是第64页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (13)(13)(2)因为以及所以当K0时有可能出现K+f|K=0=0，对应于无因次分布剖形具有一个拐点，如图20.2-3所示。(1)当xA0-xA 0时，传质的方向是从流 体到壁面，对应于K0；当质量从壁面传向流 体时，则有 w(0)0，对应于K0。现在学习的是第65页，共70页动量、能量 和质量同

25、时传递的边界层 (14)(14)图20.2-3 无因次分布剖形现在学习的是第66页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (15)(15)3)分子传递速率 参照 的定义，流体到壁面的分子传递通量可表为(20.2-45)(20.2-46)(20.2-47)现在学习的是第67页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (16)(16)式中的无因次分布剖形在壁面处的导数为(20.2-44)是无因次传递系数 和无因次壁面传质通量 的二元函数，其具体数值可以采用数值积分法计算(Table 20.2-1)。现在学习的是第68页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (17)(17)式(20.2-45)(20.2-47)构成了平板边界层中三种传递现象之间类比关系的基础。对于三个无因次传递系数相等的情况：式(20.2-4547)可改写为这就是著名的雷诺类比。现在学习的是第69页，共70页动量、能量 和质量同时传递的边界层 (18)(18)无因次梯度(0;,K)可以被展开为K的泰勒级数：对于K 0的情况，我们仅保留级数的第一项并取a=0.4696，式(20.2-4547)可改写为这就是常用的查尔顿柯尔本类比。(20.2-57)现在学习的是第70页，共70页