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1、关于三垂线定理和逆定理第1页，讲稿共20张，创作于星期一什么叫平面的斜线、垂线、射影？什么叫平面的斜线、垂线、射影？如果如果a ,aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线,O为斜足为斜足;PA是平面是平面的垂线的垂线,A为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第2页，讲稿共20张，创作于星期一性质判定定理性质线面垂直线线垂直线面垂直线线垂直PO 平面PAOaPO 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内的一条
2、直线，如果和这个平面的三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PAa PAaAOaa平面PAO三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理P Pa aA Ao o 第3页，讲稿共20张，创作于星期一 直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时，bOA 如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但 b不垂直于OP 思考?第4页，讲稿共20张，创作于星期一 1 1
3、、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(斜线斜线)、AO(AO(射射影影)、a(a(直线直线)之间的垂直关系。之间的垂直关系。2 2、a a与与POPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。平面内的一条直线垂直的判定定理。说明：说明：三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第5页，讲稿共20张，创作于星期一例例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)已知：已知：PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的
4、中点 求证：求证：POBD，PCBD(3)已知：已知：在正方体在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD第6页，讲稿共20张，创作于星期一(1)PA正方形正方形ABCD所在平所在平面，面，O为对角线为对角线BD的中点，的中点，求证：求证：POBD，PCBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD 同理，同理，ACACBD ACAC是是PCPC在在ABCDABCD上的射影
5、上的射影 PCBDPOBDAOAO是是POPO在在平面平面ABCD上的射影上的射影PA平面平面ABCDBD 平面平面ABCD又第7页，讲稿共20张，创作于星期一PMCAB(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAM证明证明:PM BCBCAMPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影PA平面平面PBCPB=PCM是是BC的中点的中点BC 平面平面PBC又第8页，讲稿共20张，创作于星期一(3)在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1
6、C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 第9页，讲稿共20张，创作于星期一PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们要学会从纷繁的已知条件中找出我们要学会从纷繁的已知条件中找出或者创造出符合三垂线定理的条件或者创造出符合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾第10页，讲稿共20张，创作于星期一三垂线定理解题的关键：三垂线定理解题的关键：找三垂！找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平
7、面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂由一垂、二垂直接得出第三垂 并不是三垂都作为已知条件并不是三垂都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa第11页，讲稿共20张，创作于星期一 关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面关于三垂线定理的应用，关键是找出平面(基准面基准面基准面基准面)的垂线。的垂线。的垂线。的垂线。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，
8、因而是第二位的。至于射影则是由垂足、斜足来确定的，因而是第二位的。从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明从三垂线定理的证明得到证明abababab的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、的一个程序：一垂、二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即二射、三证。即第一、找平面第一、找平面第一、找平面第一、找平面(基准面基准面基准面基准面)及平面垂线及平面垂线及平面垂线及平面垂线 第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时第二、找射影线，这时a a a a、b b b b便成平面上的一条直线与便成平面上的一条直线与便成平面上的一
9、条直线与便成平面上的一条直线与一条斜线。一条斜线。一条斜线。一条斜线。三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线第三、证明射影线与直线a a a a垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出垂直，从而得出a a a a与与与与b b b b垂直。垂直。垂直。垂直。第12页，讲稿共20张，创作于星期一PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直PAOa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和和平面一条斜线的平面一条斜线的射射影垂直影垂直平
10、面内的直平面内的直线线和和平面的一条平面的一条斜斜线线垂直垂直第13页，讲稿共20张，创作于星期一线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和平和平面的一条斜线在平面面的一条斜线在平面内的内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理？第14页，讲稿共20张，创作于星期一 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PA，PO分分别是平面别
11、是平面 的垂线和斜的垂线和斜线，线，AO是是PO在平面在平面 的射影的射影,a ,a PO求证：求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理第15页，讲稿共20张，创作于星期一例例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：BAC在平面在平面 内，点内，点P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：求证：BAO=CAO分析：分析：要证要证 BAO=CAO只须证只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B
12、A O F E?证明：证明：PO OE、OF是是PE、PF在在 内的射影内的射影 PE=PF OE=OF由由OEOE是是PEPE的射影且的射影且PEAB得得 OEAB同理可得同理可得OFAC结结论论成成立立第16页，讲稿共20张，创作于星期一 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线和这个平面的一条斜线的射影的射影垂直，那么它也垂直，那么它也和这条斜线垂直。和这条斜线垂直。小小 结结三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理 三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条和这
13、个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线斜线的射影的射影垂直。垂直。第17页，讲稿共20张，创作于星期一33操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤“一垂二射三证一垂二射三证”11定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言22应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面”这个参照系这个参照系第18页，讲稿共20张，创作于星期一；http:/ 犹豫豫地往院子四周围仔仔细细地观察一番；之后，就摸索着慢慢地揭开了篷布。把篷布和寿棺上面放着的全部物件轻轻地放在地上之后，这三个黑影就开始鼓捣着想打开棺盖了。他们先在棺盖周围摸了一遍，然后又在自己的身上摸索着什么，最后就围在棺盖周围开始翘棺
14、盖了。没有用多长时间，棺盖就被他们合抬着轻轻地放在了地上。其中最矮小的那个黑影心急，一伸手就把里边的模特儿给抓起来了，臭豆腐和杂七杂八调味粉参杂在一起的难闻气味儿差一点儿熏得这家伙失手扔掉手里的东西。另一个稍微高大一些的黑影赶快和他一起将模特儿放在地上。然后，他俩就将模特儿上上下下仔细摸索了一番，大概认定这只是一个假人，于是不再管它。另一个块头最大的黑影则一直在寿棺里边摸索着。最后，三个黑影索性将寿棺里边的东西全部拿了出来，并且还在所有的衣物和每一条褥子上仔细摸索着 忽然，听到一个家伙低低地说：“真他妈的骗他娘的！”另一个低低的声音传来：“会不会是挪窝了？”第三个低低的声音传来：“不可能的，他
15、们没有这个时间！人定之前我们不是一直轮流观察来着嘛，这院子里不像是有过大动静的，而且看这情况，也不像是动过的样子啊！”第一个说话的家伙又低低地说：“要不咱们再找找？看样子不像是穷困潦倒回来的啊！”三个黑影开始左顾右盼观察起来耿正正要回身推醒爹爹，忽然感觉自己的肩膀被推了一下。原来，耿正只顾全神贯注地观察三个窃贼的一举一动，并没有发现爹爹早就爬在窗帘中间的那一条小缝隙那儿也在专注地观察多时了。耿老爹低声说：“俺说梦话了！”于是离开窗户略远一点儿，断断续续不高不低地说开了：“唉，俺没，没脸，回家啊！啊哈”耿正也离开窗户略远一点儿，赶快不高不低地说：“爹，你醒醒，怎么又说梦话了？”耿老爹换一种语气：
16、“哦，爹又做梦了，正伤心呢。爹只想着发财呢，结果连命也差点儿给丢了，白白害俺娃娃们受苦哇！”耿正说：“爹，你就不要再伤心了，没有发财不打紧，咱父子们能活着回来比什么都强啊！再说啦，咱们不是好歹还赚得了一挂骡车回来了吗！而且你也看到了，这左邻右舍亲戚朋友的，没有人笑话咱们啊，对咱们还是那样好。以后啊，咱们只管安心种地就是了。别人能活，咱也能活啊！你就放宽心哇！”耿老爹长叹一声，用特别悲苦的口气说：“唉，还能怎么着啊，只能是这样了哇。哎呀，丢人哪，真正丢人哪！”父子俩一边说着，一边继续观察院子里三个窃贼的反应。一开始，他们只是停止了左顾右盼，再后来就面面相觑起来。当耿老爹说完最后这几句话以后，那个高个子的黑影一挥手，转身向门道走去。剩下的两个也不再高抬腿轻落脚，而是转身扬长往门道走去了。为了保第19页，讲稿共20张，创作于星期一感谢大家观看第20页，讲稿共20张，创作于星期一