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1、第六节线性微分方程解的结构第1页，此课件共23页哦一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消当重力与弹性力抵消时时,物体物体处于平衡处于平衡状态状态,例例 质量质量为为m的的物体自由悬挂在一端固定的弹簧物体自由悬挂在一端固定的弹簧上上,力作用下作往复运动力作用下作往复运动,解解阻力的大小与运动速度阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开下拉物体使它离开平衡位置后放开平衡位置后放开,若用手向若用手向物体在弹性力与阻物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点取平衡时物体的位置为坐标原点,如图建立坐标系如图建立坐标系.设时刻设时刻 t 物物体体位移为位移为x=x(t).1.弹
2、性弹性恢复力恢复力物体所受的力有物体所受的力有:成成正比正比,方向方向相反相反.建立位移满足的微分方程建立位移满足的微分方程.2.阻力阻力第2页，此课件共23页哦据牛顿第二定律得据牛顿第二定律得则得有阻尼则得有阻尼自由振动方程自由振动方程:第3页，此课件共23页哦二阶线性微分方程二阶线性微分方程二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程;二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程.n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为的一般形式为 n 阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程;n 阶线性非齐次微分方程阶线性非齐次微分方程.复习复习:一阶线性方程一阶线性方程通解通解:非齐次方程特解非齐次方程特
3、解齐次方程通解齐次方程通解Y Y第4页，此课件共23页哦二、线性齐次微分方程的解的结构二、线性齐次微分方程的解的结构定理定理1 1问题问题:例：设例：设 y1 为为(1)的解的解,则则 y2=2 y1 是是(1)的解的解,但是但是,y=C1 y1+C2 y2 不为不为(1)的通解的通解.(解得叠加原理解得叠加原理)为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引入下面引入函数的线性相关函数的线性相关与线性无关与线性无关概念概念.第5页，此课件共23页哦证证代入方程左边代入方程左边,得得第6页，此课件共23页哦定义定义是定义在是定义在区间区间 I 上上的的 n 个函数个函数,使得使得则称则称这这
4、 n个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关,否则称为否则称为线性无关线性无关.例如：例如：在在(,)上都有上都有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如：又如：若在某若在某区间区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个则根据二次多项式至多只有两个零点零点,必需必需全为全为 0,可见可见在任何在任何区间区间 I 上都上都线性线性无关无关.若存在若存在不全不全为为 0 的常数的常数第7页，此课件共23页哦线性相关线性相关存在不全存在不全为为 0 的的使使线性无关线性无关常数常数思考思考:中有一个恒为中有一个恒为 0,则则必线性必线性相关相关两个两个函数在区间函数在区
5、间 I 上线性上线性相关与线性无关的相关与线性无关的充要条件充要条件:第8页，此课件共23页哦例如例如推论推论是是 n 阶线性齐次微分方程阶线性齐次微分方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解,则方程的通解为则方程的通解为第9页，此课件共23页哦三、线性非齐次微分方程解的结构三、线性非齐次微分方程解的结构 是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个特解的一个特解,Y(x)是相应是相应齐次方程的通解齐次方程的通解,定理定理 3则则是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解.证证 将将代入方程代入方程左端左端,得得第10页，此课件共23页哦是非齐次方程的解是非齐次方程的解,又又Y 中含有中含有两个独立任意常
6、数两个独立任意常数,例如例如,方程方程有特解有特解对应齐次方程对应齐次方程有通解有通解因此该方程的通解为因此该方程的通解为因而因而 是通解是通解.第11页，此课件共23页哦例例2 设设 是二阶线性非齐次方程的三个是二阶线性非齐次方程的三个线性无关的解，试用线性无关的解，试用 表示方程的通解表示方程的通解.第12页，此课件共23页哦例例3已知已知 y=x 及及 y=sinx 为某二阶线性齐次为某二阶线性齐次 方程的解方程的解,求该方程求该方程.解解第13页，此课件共23页哦例例4 4解解(1)由题设可得：由题设可得：解此方程组，得解此方程组，得第14页，此课件共23页哦(2)原方程为原方程为由解
7、的结构定理得方程的通解为由解的结构定理得方程的通解为第15页，此课件共23页哦(非齐次方程之解的叠加原理非齐次方程之解的叠加原理)第16页，此课件共23页哦n 阶线性微分方程阶线性微分方程二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广二阶非齐次线性方程的解的结构可以推广:第17页，此课件共23页哦四、小结四、小结主要内容主要内容2、二阶线性微分方程解的结构定理、二阶线性微分方程解的结构定理1、函数的线性相关与线性无关；、函数的线性相关与线性无关；第18页，此课件共23页哦思考题思考题解解都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,常数常数所求通解为所求通解为第19页，此课件共23页哦补充内容补充内容可观察出一个特解可观察出一个特解第20页，此课件共23页哦练练 习习 题题 第21页，此课件共23页哦第22页，此课件共23页哦练习题答案练习题答案第23页，此课件共23页哦