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1、决胜2021中考数学压轴题全揭秘精品专题18创新型与新定义综合问题【考点1】几何综合探究类阅读理解问题【例1】综合与实践：阅读理解：数学兴趣小组在探究如何求的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：如图1，作，使，延长至点，使，连接.设，则，.请解决下列问题：（1）类比求解：求出的值；（2）问题解决：如图2，某住宅楼的后面有一建筑物，当光线与地面的夹角是时，住宅在建筑物的墙上留下高的影子；而当光线与地面的夹角是时，住宅楼顶在地面上的影子与墙角有的距离（，在一条直线上）.求住宅楼的高度（结果保留根号）；（3）探究发现：如图3，小明用硬纸片做了两个直角三角形，在中，；在中，.他将的斜边与的斜边重合
2、在一起，并将沿方向移动.在移动过程中，两点始终在边上（移动开始时点与点重合）.探究在移动过程中，是否存在某个位置，使得？如果存在，直接写出的长度；如果不存在，请说明理由.【变式1-1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，ACBD试证明：AB2+CD2=AD2+BC2；（3）解决问题：如图3，分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE已知AC=4，AB=5
3、，求GE的长【变式1-2】综合与实践正方形内“奇妙点”及性质探究定义：如图1，在正方形中，以为直径作半圆，以为圆心，为半径作，与半圆交于点.我们称点为正方形的一个“奇妙点”过奇妙点的多条线段与正方形无论是位置关系还是数量关系，都具有不少优美的性质值得探究性质探究：如图2，连接并延长交于点，则为半圆的切线证明：连接由作图可知，又，是半圆的切线问题解决：（1）如图3，在图2的基础上，连接.请判断和的数量关系，并说明理由；（2）在（1）的条件下，请直接写出线段之间的数量关系；（3）如图4，已知点为正方形的一个“奇妙点”，点为的中点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，请写出和的数量关系，并说明理由；
4、（4）如图5，已知点为正方形的四个“奇妙点”连接，恰好得到一个特殊的“赵爽弦图”请根据图形，探究并直接写出一个不全等的几何图形面积之间的数量关系【考点2】代数类新定义及阅读理解型问题【例2】阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项排在第一位的数称为第一项，记为a1，排在第二位的数称为第二项，记为a2，以此类推，排在第n位的数称为第n项，记为an所以，数列的一般形式可以写成：a1、a2、a3，an，一般的，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列公差，公差通常用d表示如：数列1，3，5，
5、7，为等差数列，期中a11，a23，公差为d2根据以上材料，解答下列问题：（1）等差数列5，10，15，的公差d为_，第5项是_（2）如果一个数列a1，a2，a3，an，是等差数列，且公差为d，那么根据定义可得到：a2a1d，a3a2d，a4a3d，anan1d，所以a2a1+d，a3a2+d（a1+d）+da1+2d，a4a3+d（a1+2d）+da1+3d，由此，请你填空完成等差数列的通项公式：ana1+（_）d（3）求4039是等差数列5，7，9，的第几项？并说明理由【变式2-1】（2019随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知=10m+n；同理，
6、一个三位数、四位数等均可以用此记法，如=100a+10b+c【基础训练】（1）解方程填空：若+=45，则x=_；若=26，则y=_；若+=，则t=_；【能力提升】（2）交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则+一定能被_整除，一定能被_整除，mn一定能被_整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空）【探索发现】（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出
7、的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”该“卡普雷卡尔黑洞数”为_；设任选的三位数为（不妨设abc），试说明其均可产生该黑洞数【变式2-2】阅读下列材料：小明为了计算的值 ，采用以下方法：设 则 -得 （1）= ;（2） = ;（3）求的和（ ，是正整数，请写出计算过程 ）.【考点3】函数类新定义综合型问题【例3】已知函数与函数定义新函数 （1）若则新函数 ；（2）若新函数的解析式为则 ， ；（3）设新函数顶点为当为何值时，有最大值
8、，并求出最大值；求与的函数解析式；（4）请你探究：函数与新函数分别经过定点，函数的顶点为，新函数上存在一点，使得以点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出的值【变式3-1】特例感知（1）如图1，对于抛物线，下列结论正确的序号是_；抛物线，都经过点；抛物线，的对称轴由抛物线的对称轴依次向左平移个单位得到；抛物线，与直线的交点中，相邻两点之间的距离相等.形成概念（2）把满足（n为正整数）的抛物线称为“系列平移抛物线”.知识应用在（2）中，如图2.“系列平移抛物线”的顶点依次为，用含n的代数式表示顶点的坐标，并写出该顶点纵坐标y与横坐标x之间的关系式；“系列平移抛物线”存在“系列整数点（横、纵坐标均
9、为整数的点）”：，其横坐标分别为：，（k为正整数），判断相邻两点之间的距离是否都相等，若相等，直接写出相邻两点之间的距离；若不相等，说明理由.在中，直线分别交“系列平移抛物线”于点，连接，判断，是否平行？并说明理由.【变式3-1】（2019山东威海）（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数y=的图象上，连接AB，取线段AB的中点C分别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数y=的图象于点D点E，F，G的横坐标分别为n1，n，n+1（n>1）小红通过观察反比例函数y=的图象，并运用几何知识得出结论：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一个关于，之间数量关系的
10、命题：若n>1，则_（2）证明命题小东认为：可以通过“若ab0，则ab”的思路证明上述命题小晴认为：可以通过“若a>0，b>0，且a÷b1，则ab”的思路证明上述命题请你选择一种方法证明（1）中的命题【变式3-2】定义一种新运算：ab（1）请写出函数yx1的解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数图象；（2）观察（1）中图象，探究得到y的最小值是 【考点4】变换操作类阅读型问题【例4】类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”（1） 概念理解：如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件
11、： （2） 问题探究：如图2，小红画了一个，其中，并将沿的平分线方向平移得到，连结、小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？（3） 应用拓展：如图3，“等邻边四边形”中，、为对角线，试探究、的数量关系【变式4-1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边. (1)写出你所学过的特殊的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 、 ；(2)如图1，已知格点（小正方形的顶点）O(0,0)、A(3,0)、B(0,4)，点C 为图中所给方格中的另一个格点，四边形OACB 是以OA
12、 、OB 为勾股边且对角线相等的勾股四边形，求点C 的坐标；(3)如图2，将DABC（ BC > AB ）绕顶点 B 按顺时针方向旋转60°，得到DDBE ，连接 AD 、DC ，四边形 ABCD 是勾股四边形，其中DC 、BC 为勾股边，求ÐDCB 的度数.【变式4-2】根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形相似四边形对应边的比叫做相似比（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）四条边成比例的两个凸四边形相似；（_命题）三个角分别相等的两个凸四边形相似；（
13、_命题）两个大小不同的正方形相似（_命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，ABC=A1B1C1，BCD=B1C1D1，=求证：四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似（3）如图2，四边形ABCD中，ABCD，AC与BD相交于点O，过点O作EFAB分别交AD，BC于点E，F记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求的值1阅读理解：已知两点，则线段的中点的坐标公式为：，如图，已知点为坐标原点，点，经过点，点为弦的中点若点，则有满足等式：设，则满足的等式是（）ABCD2阅读理解：解方程解：（1）当时，原方程可以化为，
14、解得（不合题意，舍去）；（2）当时，原方程可以化为，解得（舍去），原方程的解为那么方程的解为（ ）ABCD3阅读理解：，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）ABCD方程组的解为4将正偶数按照如下规律进行分组排列，依次为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20），我们称“4”是第2组第1个数字，“16”是第4组第2个数字，若2020是第m组第n个数字，则m+n_5观察下列各式：， 请利用你发现的规律，计算：，其结果为_6右表被称为“杨辉三角”
15、或“贾宪三角”其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，则_7阅读理解：对于任意正实数a、b，（a-b）20，a-2ab+b0，a+b2ab，当且仅当a=b时，等号成立结论：在a+b2ab（a、b均为正实数）中，若ab为定值P，则a+b2P，当且仅当a=b时，a+b有最小值2P根据上述内容，回答下列问题：（1）若x0，只有当x= 时，4x+9x有最小值为 （2）探索应用：如图，已知A（-2，0），B（0，-3），点P为双曲线y=6x（x0）上的任
16、意一点，过点P作PCx轴于点C，PDy轴于点D，求四边形ABCD面积的最小值，并说明此时四边形ABCD的形状（3）已知x0，则自变量x为何值时，函数y=xx2-4x+16取到最大值，最大值为多少？8阅读理解：用“十字相乘法”分解因式的方法.（1）二次项系数；（2）常数项验算：“交叉相乘之和”；（3）发现第个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数-1，即，则.像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法.仿照以上方法，分解因式： 9阅读理解题定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么把这条对角线叫做“美妙线”，该四边形叫做“美妙四边形”如图，在四边形ABDC中，对角
17、线BC平分ACD和ABD，那么对角线BC叫“美妙线”，四边形ABDC就称为“美妙四边形”问题：（1）下列四边形：平行四边形、矩形、菱形、正方形，其中是“美妙四边形”的有 个；（2）四边形ABCD是“美妙四边形”，AB=BAD=60°，ABC=90°，求四边形ABCD的面积（画出图形并写出解答过程）10（阅读）如图1，若，且点在同一直线上，则我们把与称为旋转相似三角形（理解）（1）如图2，和是等边三角形，点在边上，连接求证：与是旋转相似三角形（应用）（2）如图3，与是旋转相似三角形，求证：（拓展）（3）如图4，是四边形的对角线，试在边上确定一点，使得四边形是矩形，并说明理由1
18、1（阅读理解）对于任意正实数、，只有当时，等号成立（数学认识）在（、均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值（解决问题）（1）若时，当_时，有最小值为_；（2）如图，已知点在反比例函数的图像上，点在反比例函数的图像上，轴，过点作轴于点，过点作轴于点求四边形周长的最小值12（阅读）如图1，四边形OABC中，OA=a，OC=3，BC=2，AOC=BCO=90°，经过点O的直线l将四边形分成两部分，直线l与OC所成的角设为，将四边形OABC的直角OCB沿直线l折叠，点C落在点D处，我们把这个操作过程记为FZ，a（理解）若点D与点A重合，则这个操作过程为FZ45°，3；（尝
19、试）（1）若点D恰为AB的中点（如图2），求；（2）经过FZ45°，a操作，点B落在点E处，若点E在四边形OABC的边AB上，求出a的值；若点E落在四边形OABC的外部，直接写出a的取值范围13（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法.如图，点是等边三角形内一点，.求的度数.为利用已知条件，不妨把绕点顺时针旋转得，连接，则的长为_；在中，易证，且的度数为_，综上可得的度数为_；（2）类比迁移如图，点是等腰内的一点，.求的度数；（3）拓展应用如图，在四边形中，请直接写出的长.14定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形理解：（1）若四边形是对余四边形，则与的度数之和为_
20、；证明：（2）如图1，是的直径，点在上，相交于点D求证：四边形是对余四边形；探究：（3）如图2，在对余四边形中，探究线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并说明理由15阅读理解：如图，如果四边形ABCD满足AB=AD，CB=CD，B=D=90°，那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形”将一张如图所示的“完美筝形”纸片ABCD先折叠成如图所示形状，再展开得到图，其中CE，CF为折痕，BCE=ECF=FCD，点B为点B的对应点，点D为点D的对应点，连接EB，FD相交于点O简单应用：（1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形”的是 ；（2）当图中的BCD=120&#
21、176;时，AEB= °；（3）当图中的四边形AECF为菱形时，对应图中的“完美筝形”有 个（包含四边形ABCD）拓展提升：（4）当图中的BCD=90°时，连接AB，请探求ABE的度数，并说明理由16阅读理解：如图，在四边形的边上任取一点（点不与、重合），分别连接、，可以把四边形分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把叫做四边形的边上的“相似点”：如果这三个三角形都相似，我们就把叫做四边形的边上的“强相似点”解决问题：如图，试判断点是否是四边形的边上的相似点，并说明理由；如图，在矩形中，、四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为）的格点（即每个小正方形的顶点
22、）上，试在图中画出矩形的边上的强相似点；如图，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，若点恰好是四边形的边上的一个强相似点，试探究与的数量关系17（1）阅读理解：如图，在中，若，求边上的中线的取值范围可以用如下方法：将绕着点逆时针旋转得到，在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_；（2）问题解决：如图，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：；（3）问题拓展：如图，在四边形中，以为顶点作一个的角，角的两边分别交、于、两点，连接，探索线段，之间的数量关系，并说明理由18阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则称这条对角线叫这个四边形的和谐
23、线，这个四边形叫做和谐四边形. 如正方形就是和谐四边形.结合阅读材料，完成下列问题：（1） 下列哪个四边形一定是和谐四边形（ ）A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形（2）在四边形ABCD中，AB=AD=BC，BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，请直接写出BCD的度数.19类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形” 概念理解：如图，在四边形中，添加一个条件使得四边形是“等邻边四边形”请写出你添加的一个条件，你添加的条件是_问题探究：如图，在“等邻边四边形”中，求对角线的长 拓展应用：如图，“等邻边四边形”中，为对角线，试探究，的数
24、量关系20阅读下列材料：我们定义：若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形如正方形就是和谐四边形结合阅读材料，完成下列问题：（1）下列哪个四边形一定是和谐四边形 A平行四边形 B矩形 C菱形 D等腰梯形（2）命题：“和谐四边形一定是轴对称图形”是 命题（填“真”或“假”）（3）如图，等腰RtABD中，BAD90°若点C为平面上一点，AC为凸四边形ABCD的和谐线，且ABBC，请求出ABC的度数21阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法例如，在ABC中，ABAC（如图），怎样证明CB呢？分析：把AC沿A
25、的角平分线AD翻折，因为ABAC，所以点C落在AB上的点处，即，据以上操作，易证明，所以，又因为>B，所以C>B感悟与应用：（1）如图（a），在ABC中，ACB=90°，B=30°，CD平分ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12， 求证：B+D=180°； 求AB的长22如图，梯形ABCD中，DCAB，DEAB于点E阅读理解：在图中，延长梯形ABCD的两腰AD、BC交于点P，过点D作DFCB交AB于点F，得到图；四边形BCDF的面积为，ADF
26、的面积，PDC的面积（1）在图中，若DC=2，AB=8，DE=3，则S= ，S1=_，S2= ；（2）在图中，若，则=_，并写出理由；（3）如图，DEFC的四个顶点在PAB的三边上，若PDC、ADE、CFB的面积分别为2、3、5，试利用（2）中的结论求PAB的面积23阅读理解，并回答问题：若 是方程的两个实数根，则有即，于是，由此可得一元二次方程的根与系数关系：，这就是我们众所周知的韦达定理(1)已知 m ， n 是方程的两个实数根，不解方程求的值；(2)若是关于 x 的方程的三个实数根，且 的值；求的最大值24（1）阅读理解：如图1，在中，若，求边上的中线的取值范围解决此问题可以用如下方法：
27、延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围是_；（2）问题解决：如图2，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：（3）问题拓展：如图3，在四边形中，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于，两点，连接，探索线段，之间的数量关系，并加以证明25阅读材料：已知，如图（1），在面积为S的ABC中， BC=a,AC=b, AB=c,内切圆O的半径为r连接OA、OB、OC，ABC被划分为三个小三角形 （1）类比推理：若面积为S的四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），如图（2），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD
28、=d，求四边形的内切圆半径r；（2）理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=21，CD=11，AD=13，O1与O2分别为ABD与BCD的内切圆，设它们的半径分别为r1和r2，求的值.26阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a0，b0，因为，所以，从而（当ab时取等号）阅读2：函数（常数m0，x0），由阅读1结论可知： ，所以当即时，函数的最小值为阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为，求当x_时，周长的最小值为_问题2：已知函数y1x1（x1）与函数y2x22x17（x1），当x_时， 的最小值为_问题3：某民
29、办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入支出总费用÷学生人数）27（阅读材料）己知，如图1，在面积为S的ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，内切O的半径为r.连接OA、OB、OC，ABC被划分为三个小三角形S=SOBCSOACSOAB=BC·rAC·rAB·r=a·rb·rc·r=（abc）r（1）（类比推理）如图2，若面积为S的
30、四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），各边长分别为AB=a，BC=b，CD=c，AD=d，求四边形的内切圆半径r的值；（2）（理解应用）如图3，在RtABC中，内切圆O的半径为r，O与ABC分别相切于D、E和F，己知AD=3，BD=2，求r的值.28定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形称为奇异四边形（1）概念理解：在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，你认为属于奇异四边形的有_ ；（2）性质探究：如图1，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，求证：CA平分BCD；如图2，四边形ABCD是奇异四边形，AB=AD，BCD=2，试说明：cos=；（3）性质应用：如图3，四边形ABCD是奇异
31、四边形，四条边中仅有BC=CD，且四边形ABCD的周长为6+2，BAC=45°，AC=3，求奇异四边形ABCD的面积29阅读材料：材料一：对实数，定义的含义为：当时，；当时，例如：；材料二：关于数学家高斯的故事，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问：据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，十岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：也可以这样理解：令，则，+：，即根据以上材料，回答下列问题：（1）已知，且，求的值；（2）对于正数，有，求的值30阅读与探究请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质:任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等例如，在图1中，凸四边形的对角线，相交于点，且，的面积分别为，则有，证明过程如下：任务：（1）请将材料中的证明过程补充完整；（2）如图2，任意凸四边形的对角线相交于点，分别记，的面积为，求证；（3）如图3，在四边形中，对角线相交于点，则四边形的面积为_