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1、中考常考几何模型专题16 角平分线四大模型1、角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是MON 的平分线上一点，过点 P 作 PAOM 于点 A，PBON 于点 B。结论：PB=PA。2、截取构造对称全等如图，P 是MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。结论：OPBOPA。3、 角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P 是MO 的平分线上一点，APOP 于 P 点，延长 AP 于点 B。结论：AOB 是等腰三角形。4、角平分线+平行线如图，P 是MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQON，交 OM 于点 Q。结论：POQ 是等腰三角形。模型
2、精练：1（2019东平县二模）如图，ABC的外角ACD的平分线CP与内角ABC的平分线BP交于点P，若BPC40°，则CAP（）A40°B45°C50°D60°【点睛】根据外角与内角性质得出BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出CAPFAP，即可得出答案【解析】解：延长BA，作PNBD，PFBA，PMAC，设PCDx°，CP平分ACD，ACPPCDx°，PMPN，BP平分ABC，ABPPBC，PFPN，PFPM，BPC40°，ABPPBCPCDBPC（x40）°，BACACDAB
3、C2x°（x°40°）（x°40°）80°，CAF100°，在RtPFA和RtPMA中，PA=PAPM=PF，RtPFARtPMA（HL），FAPPAC50°故选：C2（2019桂平市期末）如图，在ABC中，C90°，AD平分CAB，BC12cm，BD8cm，那么点D到直线AB的距离是（）A2cmB4cmC6cmD10cm【点睛】先求出CD的长，过点D作DEAB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DECD，从而得解【解析】解：如图，过点D作DEAB于点E，BC12cm，BD8cm，CD
4、BCBD1284cm，C90°，AD平分CAB，DECD4cm，即点D到直线AB的距离是4cm故选：B3（2020浙江自主招生）如图，在ABC中，AD是A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PBm，PCn，ABc，ACb，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）Am+nb+cBm+nb+cCm+nb+cD无法确定【点睛】在BA的延长线上取点E，使AEAC，连接EP，证明ACP和AEP全等，推出PEPC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+nb+c【解析】解：在BA的延长线上取点E，使AEAC，连接EP，AD是A的外角平分线，CADEAD，在ACP和AEP中，AE=AC
5、CAD=EADAP=AP，ACPAEP（SAS），PEPC，在PBE中，PB+PEAB+AE，PBm，PCn，ABc，ACb，m+nb+c故选：A4（2019兰山区一模）如图，在ABC中，ABC和ACB的平分线交于点E，过点E作MNBC交AB于M，交AC于N，若BM+CN11，则线段MN的长为11【点睛】根据平行线的性质得出MEBEBC，NECECB，根据角平分线定义得出MBEEBC，NCEECB，求出MEBMBE，NECNCE，推出MEBM，ENCN即可【解析】解：MNBC，MEBEBC，NECECB，ABC和ACB的平分线交于点E，MBEEBC，NCEECB，MEBMBE，NECNCE，M
6、EBM，ENCN，BM+CN11，EM+EN11，即MN11，故答案为：115如图，已知等腰直角三角形ABC中，ABAC，BAC90°，BF平分ABC，CDBD交BF的延长线于点D，试说明：BF2CD【点睛】作BE的中点E，连接AE、AD，根据直角三角形得到性质就可以得出AEBEEF，由BD平分ABC就可以得出ABEDBC22.5°，从而可以得出BAEBAEACD22.5°，AEF45°，由BAC90°，BDC90°就可以得出A、B、C、D四点共圆，求出ADDC，证ADCAEB推出BECD，从而得到结论【解析】解：取BF的中点E，连接
7、AE，AD，BAC90°，AEBEEF，ABDBAE，CDBD，A，B，C，D四点共圆，DACDBC，BF平分ABC，ABDDBC，DACBAE，EAD90°，ABAC，ABC45°，ABDDBC22.5°，AED45°，AEAD，在ABE与ADC中，ABE=DACBAE=ACDAE=AD，ABEADC，BECD，BF2CD6如图，在ABC中，ABE2C，AD是BAC的平分线，BEAD，垂足为E（1）若C30°，求证：AB2BE（2）若C30°，求证：BE=12（ACAB）【点睛】（1）由BEAD，得到AEB90°
8、，根据已知条件得到ABE60°，根据三角形的内角和得到BAE30°，根据直角三角形的性质即刻得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到ABAF，根据等腰三角形的性质得到AFEABE2C，根据三角形外角的性质得到CCBF，得到BFCF，于是得到结论【解析】解：（1）BEAD，AEB90°，ABE2C，C30°，ABE60°，BAE30°，AB2BE；（2）AD是BAC的平分线，BEAD，ABAF，AFEABE2C，AFEC+CBF，CCBF，BFCF，BF2BE，CFACABBE2BE，BE=12（ACAB）7（2019沂源县期末）如图，
9、在ABC中，ABAC，ABC40°，BD是ABC的平分线，延长BD至E，使DEAD，求证：ECA40°【点睛】在BC上截取BFAB，连DF，根据SAS可证明ABDFBD，得出DFDADE，证明DCEDCF，故ECADCB40°【解析】证明：在BC上截取BFAB，连DF，BD是ABC的平分线，ABDFBD，ABDFBD（SAS），DFDADE，又ACBABC40°，DFC180°A80°，FDC60°，EDCADB180°ABDA180°20°100°60°，DCEDCF（SA
10、S），故ECADCB40°8（2019临洮县期末）已知ABC中，ABAC，A108°，BD平分ABC，求证：BCAC+CD【点睛】在线段BC上截取BEBA，连接DE则只需证明CDCE即可结合角度证明CDECED【解析】证明：在线段BC上截取BEBA，连接DEBD平分ABC，ABDEBD=12ABC在ABD和EBD中，BE=BAABD=EBDBD=BD，ABDEBD（SAS）BEDA108°，ADBEDB又ABAC，A108°，ACBABC=12×（180°108°）36°，ABDEBD18°ADBEDB1
11、80°18°108°54°CDE180°ADBEDB180°54°54°72°DEC180°DEB180°108°72°CDEDECCDCEBCBE+ECAB+CD9（2019自贡期中）如图，在四边形ABCD中，BCBA，ADDC，（1）若BDCD，C60°，BC10，求AD的长；（2）若BD平分ABC，求证：A+C180°【点睛】（1）由含30°角的直角三角形的性质求出DC，即可得出答案；（2）在BC上截取BEBA，连接DE，推出AB
12、DEBD，推出ABED，ADDEDC，推出BED+C180°，即可得出答案【解析】（1）解：BDCD，C60°，CBD30°，DC=12BC5，ADDC5；（2）证明：在BC上截取BEBA，连接DE，如图所示：BD平分ABC，ABDEBD，在ABD和EBD中，AB=BEABD=EBDBD=BD，ABDEBD（SAS），ABED，ADDE，ADDC，DEDC，CDEC，BED+DECA+DECA+C180°，即A+C180°10（2019宜昌期中）（1）已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，B90°，AD是BAC的外角平分线，交CB边的
13、延长线于点D求证：BDAB+AC；（2）对于任意三角形ABC，ABC2C，AD是BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图2，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系并加以证明【点睛】（1）在CA的延长线上截取AEAB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出EADBAD，得出AEDABD90°，DBDE，就可以得出DBAB+AC；（2）在CA的延长线上取一点E，使AEAB，连接DE，由角平分线的性质就可以得出AEDABD，就可以得出DEDB，AEDABD，就可以得出DEFABC，就可以得出EDCC，进而得出结论【解析】证明：（1）在CA的延长线上截取AEAB，连接DEAD平分E
14、AB，EADBAD，在EAD和BAD中，EA=BAEAD=BADAD=AD，EADBAD（SAS）AEDABD，DBDE，ABBC，ABC90°C45°，ABD90°，AED90°，EDC45°，EDCC，DEECBDECECAE+AC，BDAE+ACDBAE+ACAB+AC；（2）BDAB+AC，理由如下：在CA的延长线上取一点E，使AEAB，连接DE，AD平分EAB，EADBAD，在EAD和BAD中，EA=BAEAD=BADAD=AD，EADBAD（SAS）AEDABD，DBDEAED+FED180°，ABD+ABC180
15、6;，FEDABCABC2C，FED2CFEDEDC+C，2CEDC+C，CEDC，DECEBDECECAE+AC，BDAE+ACDBAE+ACAB+AC11（2019潮南区期中）在ABC中，BD是ABC的平分线，ADBD，垂足是D（1）求证：21+C；（2）若EDBC，ABD28°，求ADE的度数【点睛】（1）如图延长AD交BC于H证明BDABDH（ASA）即可解决问题（2）求出AHC，再利用平行线的性质即可解决问题【解析】解：（1）如图延长AD交BC于HBDAH，BDABDH90°，ABDHBD，BDBD，BDABDH（ASA），BABH，2BHA，BHA1+C，21+
16、C（2）ABD28°，BDA90°，262°，AHB262°，AHC180°62°118°，DEEC，ADEAHC118°12（2019蔡甸区校级月考）如图，在ABC，AD平分BAC，E、F分别在BD、AD上，且DECD，EFAC，求证：EFAB【点睛】过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，可证明DEGDCA，可得EGEF，可证明EFAB【解析】解：过E作AC的平行线于AD延长线交于G点，EGAC在DEG和DCA中，ADC=GDECD=EDDEG=DCA，DEGDCA（ASA），EGEF，GCAD，又EFAC故E
17、GACAD平分BAC，BADCAD，EGEF，GEFD，EFDBAD，EFAB13（2019崇安区校级月考）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AE平分BAD，BE平分ABC，且AE、BE交CD于点E试说明ADABBC的理由【点睛】在AB上找到F使得AFAD，易证AEFAED，可得AFAD，AFED，根据平行线性质可证CBFE，即可证明BECBEF，可得BFBC，即可解题【解析】证明：在AB上找到F使得AFAD，AE平分BAD，EADEAF，在AEF和AED中，AD=AFEAD=EAFAE=AE，AEFAED，（SAS）AFAD，AFED，ADBC，D+C180°，AFE+BFE180
18、°CBFE，BE平分BAD，FBEC，在BEC和BEF中，BFE=CFBE=CBEBE=BE，BECBEF，（AAS）BFBC，ABAF+BF，ABAD+BC，即ADABBC14（2019江夏区校级月考）如图1，ABCD，P为AB、CD之间一点（1）若AP平分CAB，CP平分ACD求证：APCP；（2）如图（2），若BAP=25BAC，DCP=25ACD，且AE平分BAP，CF平分DCP，猜想E+F的结果并且证明你的结论；（3）在（1）的条件下，当BAQ=13BAP，DCQ=13DCP，H为AB上一动点，连HQ并延长至K，使QKAQAK，再过点Q作CQH的平分线交直线AK于M，问当点
19、H在射线AB上移动时，QMK的大小是否变化？若不变，求其值；若变化，求其取值范围【点睛】（1）依据平行线的性质，以及角平分线的定义，即可得到P180°90°90°，进而得到APCP；（2）过E作EGAB，过F作FHCD，依据平行线的性质即可得到AECBAE+DCE，AFCBAF+DCF，再根据BAP=25BAC，DCP=25ACD，AE平分BAP，CF平分DCP，即可得到E+F108°；（3）过Q作QEAB，依据平行线的性质可得AQCAQE+CQEBAQ+DCQ，依据BAQ=13BAP，DCQ=13DCP，即可得出AQC30°，再根据MMQHK
20、进行计算，即可得出QMK的大小不变，是定值15°【解析】解：（1）ABCD，BAC+ACD180°，又AP平分CAB，CP平分ACD，CAP=12CAB，ACP=12ACD，CAP+ACP=12（BAC+ACD）=12×180°90°，ACP中，P180°90°90°，即APCP；（2）E+F108°证明：如图2，过E作EGAB，过F作FHCD，ABCD，EGABFHCD，BAC+DCA180°，BAEAEG，DCECEG，BAFAFH，DCFCFH，AECBAE+DCE，AFCBAF+DCF，
21、BAP=25BAC，DCP=25ACD，AE平分BAP，CF平分DCP，BAE=15BAC，DCF=15DCA，AEC=15BAC+25ACD，AFC=25BAC+15DCA，AEC+AFC=15BAC+25ACD+25BAC+15DCA=35ACD+35BAC=35（BAC+DCA）=35×180°108°；（3）如图，过Q作QEAB，ABCD，QECD，BAQAQE，DCQCQE，AQCAQE+CQEBAQ+DCQ，由（1）可得BAP+DCP180°90°90°，又BAQ=13BAP，DCQ=13DCP，AQCBAQ+DCQ=13
22、BAP+13DCP=13（BAP+DCP）30°，AQH是AQK的外角，QAQK，K=12AQH，QM是CQH的平分线，MQH=12CQH，MQH是MQK的外角，MMQHK=12CQH-12AQH=12（CQHAQH）=12AQC=12×30°15°，即QMK的大小不变，是定值15°15（2019东湖区校级月考）（1）如图1，已知：在ABC中，ABAC10，BD平分ABC，CD平分ACB，过点D作EFBC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有5个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是BE+CFEF，AEF的周长是20（2）如图2，若将
23、（1）中“ABC中，ABAC10”改为“若ABC为不等边三角形，AB8，AC10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出AEF的周长（3）已知：如图3，D在ABC外，ABAC，且BD平分ABC，CD平分ABC的外角ACG，过点D作DEBC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明【点睛】（1）根据角平分线的定义可得EBDCBD，FCDBCD，再根据两直线平行，内错角相等可得EDBCBD，FDCBCD，然后求出EBDEDB，FDCBCD，再根据等角对等边可得BEDE，CFDF，然后解答即可
24、；（2）根据角平分线的定义可得EBDCBD，FCDBCD，再根据两直线平行，内错角相等可得EDBCBD，FDCBCD，然后求出EBDEDB，FDCBCD，再根据等角对等边可得BEDE，CFDF，然后解答即可；（3）由（2）知BEED，CFDF，然后利用等量代换即可证明BE、CF、EF有怎样的数量关系【解析】解：（1）BE+CFEF理由如下：ABAC，ABCACB，BD平分ABC，CD平分ACB，EBDCBD，FCDBCD，DBCDCB，DBDCEFBC，AEFABC，AFEACB，EDBCBD，FDCBCD，EBDEDB，FDCBCD，BEDE，CFDF，AEAF，等腰三角形有ABC，AEF，DEB，DFC，BDC共5个，BE+CFDE+DFEF，即BE+CFEF，AEF的周长AE+EF+AFAE+BE+AF+FCAB+AC20故答案为：5；BE+CFEF；20；（2）BE+CFEF，BD平分ABC，CD平分ACB，EBDCBD，FCDBCD，EFBC，EDBCBD，FDCBCD，EBDEDB，FDCBCD，BEDE，CFDF，等腰三角形有BDE，CFD，BE+CFDE+DFEF，即BE+CFEF可得AEF的周长为18（3）BECFEF，由（1）知BEED，EFBC，EDCDCGACD，CFDF，又EDDFEF，BECFEF