《《中考课件初中数学总复习资料》专题5 抛物线上面积类综合问题的转化与探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《中考课件初中数学总复习资料》专题5 抛物线上面积类综合问题的转化与探究-备战2020年中考数学压轴题专题研究.doc（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、专题五 抛物线上面积类综合问题的转化与探究知识讲解专题导例阅读材料：如图 1，过ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC 的“水平宽”（a），中间的这条直线在ABC 内部线段的长度叫ABC 的“铅垂高（h）”我们可得出一种计算三角形面积的新方法：SABCah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半解答下列问题：如图 2，抛物线顶点坐标为点 C（1，4），交 x 轴于点 A（3，0），交 y 轴于点 B（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求CAB 的铅垂高 CD及 SCAB；（3）抛物线上是否存在一点 P，使 SPAB SCAB？若存在，求出 P 点
2、的坐标；若不存在，请说明理由。【分析】（1）已知了顶点 C 坐标，可用顶点式的二次函数通式设出这个二次函数，然后根据 A 点的坐标可求出二次函数的解析式然后根据求出的二次函数的解析式，求出 B 点的坐标，然后可用待定系数法用 B、A 的坐标求出 AB 所在直线的解析式；（2）要求三角形 CAB 的面积，根据题中给出的求三角形面积的求法，那么要先求出水平宽和铅垂高，求铅垂高就要求出 C，D 两点纵坐标，C 点的坐标已知，可用（1）中的一次函数求出 D 点的纵坐标，那么 C，D 两点的纵坐标的差的绝对值就是三角形 CAB 的铅垂高，而水平宽是 A 点的横坐标，这样可根据题中给出的求三角形的面积的方
3、法得出三角形 CAB 的面积；（3）可先根据（2）中三角形 CAB 的面积得出三角形 PAB 的面积，三角形 PAB 中，水平宽是 A 的横坐标为定值，因此根据三角形 PAB 的面积可得出此时的铅垂高，然后用抛物线的解析式以及一次函数的解析式，先表示出铅垂高，然后根据由三角形 PAB 的面积求出的铅垂高可得出关于 x 的方程，即可得出 x 的值，然后代入二次函数式中即可得出此点的坐标。典例剖析1、 类型一：利用面积关系式求解最值问题例1.如图，在直角坐标系中，点 A的坐标为（2，0），连接 OA，将线段 OA 绕原点O顺时针旋转 120°，得到线段 OB（1）求经过 A、O、B三点的
4、抛物线的解析式；（2）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C，使BOC 的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由（注意：本题中的结果均保留根号）【分析】（1）由已知得 OA2，将线段 OA绕原点 O顺时针旋转120°，则 OB与 x轴的正方向夹角为60°，过点 B作 BDx 轴于点 D，解直角三角形可得 OD、BD的长，可表示 B点的坐标；将 A、O、B 三点坐标代入抛物线解析式的一般式，可求解析式；（2）
5、因为点 A，O关于对称轴对称，连接 AB 交对称轴于 C点，C点即为所求，求直线AB的解析式，再根据 C 点的横坐标值，求纵坐标；（3）设 P（x，y）（2x0，y0），用割补法可表示PAB的面积，根据面积表达式再求取最大值时，x的值二：类型二：由已知面积来定未知面积类问题例2. 如图，菱形ABCD的边长为4cm，B60°，CEAB于E，动点P从出发点以1cm/s的速度沿BC边向终点C运动，同时动点Q从点C出发以4cm/s的速度沿CD边向点D运动，当点Q到达D时立即以原来的速度沿射线DA运动，连接PQ，当点P到达C点时，点P、点Q同时停止运动，设点P，Q运动时间为t秒（1）当t时，点
6、Q到达点D；（2）如图1，当点Q在CD上运动时，若PCQ的面积等于BEC的面积，求t的值；（3）如图2，当点Q在DA的延长线上运动时，PQ与AB相交于点F，若AF：BF3：2，求t的值，并判断此时PQ与CE的位置关系；（4）在整个运动过程中，是否存在将菱形ABCD的周长和面积同时平分的情形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，简要说明理由【分析】（1）根据时间即可求解；（2）首先求得BCE的面积，然后利用t表示出PC和CQ的长，则PCQ的面积即可用t表示，则列方程即可求解；（3）易证AQFBPF，根绝相似三角形的对应边的比相等即可列方程求解；（4）PQ同时把菱形ABCD的周长和面积同时平分，则
7、PQ一定经过菱形的中心，则一定有DQBP，据此即可求解类型三：与面积倍分有关的综合题例3. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若点P在直线x2上运动，当点P到直线AD的距离d等于点P到x轴的距离时，求d得值；（3）如图2，直线AC：yx+m经过点A，交y轴于点C探究：在x轴上方的抛物线上是否存在点M，使得SCDA2SACM？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（1）根据A、B两点的坐标直接算出a，b即可，配成顶点式，得出顶点坐标；（2）设出P点的纵坐标，过P作PMAD于点
8、M，设直线AD与直线x2交于点G，将PG用P点的纵坐标表示；分两种情况讨论：若点P在第一象限，则PG6d；若点P在第四象限，则PG6+d分别算出d的值（3）要使得SCDA2SACM，则只需M点到直线AC的距离是点D到直线AC的距离的一半即可，过点D作DEAC，交y轴于点E，过EC的中点F且平行于AC的直线与抛抛物的交点就是所求的点，联立方程组解之即可专题突破1.如图已知：直线 yx+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，抛物线 yax2+bx+c 经过 A、B、C（1，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点 D 的坐标为（1，0），在直线 yx+3 上有一点 P，使ABO 与ADP
9、相似，求出点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在 x 轴下方的抛物线上，是否存在点 E，使ADE 的面积等于四边形 APCE 的面积？如果存在，请求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线yax2+bx+8与x轴相交于点A（2，0）和点B（4，0），与y轴相交于点C，顶点为点P点D（0，4）在OC上，连接BC、BD（1）求抛物线的解析式并直接写出点P的坐标；（2）点E为第一象限内抛物线上一点，如果COE与BCD的面积相等，求点E的坐标；（3）点Q在抛物线对称轴上，如果BCDCPQ，求点Q的坐标3. 如图，抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A
10、（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OAOB），与y轴交于点C，且满足x12+x22x1x213 （1）求抛物线的解析式； （2）以点B为直角顶点，BC为直角边作RtBCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若ECED，求点E的坐标； （3）在抛物线上是否存在点Q，使得SACQ2SAOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由4. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2bxc经过A(0，3)，B(1，0)两点，顶点为M.(1)求b、c的值；(2)将OAB绕点B顺时针旋转90°后，点A落到点C的位置，该抛物线沿y轴上下平移后经过点C，求平移后所得抛物线的解析式；(3)设
11、(2)中平移所得的抛物线与y轴的交点为A1，顶点为M1，若点P在平移后的抛物线上，且满足PMM1的面积是PAA1面积的3倍，求点P的坐标第4题图5. 如图，四边形OABC是矩形，OA4，OC8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在点D处，AD交OC于点E.(1)求OE的长；(2)求过O，D，C三点的抛物线的解析式；(3)若F为过O，D，C三点的抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间T(秒)为何值时，直线PF把FAC分成面积之比为13的两部分专题五 抛物线上面积类综合问题的转化与探究答案专题导例（1）设抛物线的解析式为：y1a（x1）2+4把
12、 A（3，0）代入解析式求得 a1所以 y1（x1）2+4x2+2x+3设直线AB的解析式为：y2kx+b由 y1x2+2x+3 求得B点的坐标为（0，3） 把 A（3，0），B（0，3）代入 y2kx+b 中解得：k1，b3 所以 y2x+3；因为C点坐标为（1，4） 所以当 x1 时，y14，y22 所以 CD422SCAB×3×23（平方单位）；SPAB SCAB ×3 设 P（m，m2+2m+3）过点 P 作 PEx 轴交 AB 于 F则 F（m，m+3）当 P 在 AB 上方时，SPAB ×3×（m2+2m+3+m3）m1m2 P1（
13、 ， ）当 P在AB下方时SPAB ×3×（m+3+m22m3）P2（ ， ），P3（ ， ）。例1.解：（1）过点 B 作 BDx 轴于点 D，由已知可得：OBOA2，BOD60°，在RtOBD中，ODB90°，OBD30°OD1，DB点 B 的坐标是（1，）设所求抛物线的解析式为 yax2+bx+c（a0）由已知可得：，解得：a，b，c0，所求抛物线解析式为 yx2+ x（2）存在，由 yx2+ x 配方后得：y（x+1）2 抛物线的对称轴为 x1（也可用顶点坐标公式求出）点 C 在对称轴 x1 上，BOC 的周长OB+BC+CO；OB2，
14、要使BOC 的周长最小，必须 BC+CO 最小，点 O 与点 A 关于直线 x1 对称，有 COCABOC 的周长OB+BC+COOB+BC+CA当 A、C、B 三点共线，即点 C 为直线 AB 与抛物线对称轴的交点时，BC+CA 最小，此时BOC 的周长最小设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则有：，解得：k ，b ，直线 AB 的解析式为 yx+， 当 x1 时，y，所求点 C 的坐标为（1，），（3）设 P（x，y）（2x0，y0），则 yx2+ x过点 P 作 PQy 轴于点 Q，PGx 轴于点 G，过点 A 作 AFPQ 轴于点 F，过点 B 作BEPQ 轴于点 E，则 PQx，P
15、Gy，由题意可得：SPABS 梯形 AFEBSAFPSBEP （AF+BE）FE AFFP PEBE（y+y）（1+2）（y）（x+2）（1x）（y） 将代入，化简得：SPABx2 x+ （x+ ）2+当 时，PAB 得面积有最大值，最大面积为 此时点 P 的坐标为例2.解：（1）t1（s），故答案是：1s；（2）在直角BCE中，ECBCsinB4×2（cm），BEBC2（cm），则SBECBEEC×2×22（cm2），运动的时间是ts，则BPt，PC4t，CQ4t，则SPCQPCCQsin60°（4t）4tt2+4t，则t2+4t2，解得：t1或（舍去
16、）故t1（3）ADBC，AQFBPF，解得：t则BP，又BFAB，BE2，PQCE；（4）PQ同时把菱形ABCD的周长和面积同时平分，则PQ一定经过菱形的中心，则Q在AD上，且DQBP，则t4t，此时无解，则t不存在例3.解：（1）抛物线yax2+bx+3（a0）经过点A（1，0）和点B（3，0），解得：，yx2+2x+3（x1）2+4，D（1，4）（2）如图，设P（2，yP），过P作PMAD于点M，设直线AD与直线x2交于点G，则PMd|yP|，直线AD的解析式为y2x+2，G（2，6），PG6yP，PG|yP|d，若点P在第一象限，则PG6d，d6d，d，若点P在第四象限，则PG6+d，d
17、6+d，d，（3）直线AC过点A，所以可求得直线AC：yx1过点D作DEAC，交y轴于点E，如图，可求得直线DE：yx+5E（0，5），EC的中点F（0，2）过点F平行于AC的直线为yx+2，解得，或（舍去）M（，）专题突破答案1. 解：（1）由题意得，A（3，0），B（0，3）抛物线经过 A、B、C 三点，把 A（3，0），B（0，3），C（1，0）三点分别代入 yax2+bx+c，得方程组解得：抛物线的解析式为 yx24x+3（2）由题意可得：ABO 为等腰三角形，如答图 1 所示， 若ABOAP1D，则 DP1AD4，P1（1，4）若ABOADP2 ，过点 P2 作 P2 Mx 轴于 M
18、，AD4，ABO 为等腰三角形，ADP2 是等腰三角形，由三线合一可得：DMAM2P2M，即点 M 与点 C 重合，P2（1，2）综上所述，点 P 的坐标为 P1（1，4），P2（1，2）；（3）不存在理由：如答图 2，设点 E（x，y），则 SADE当P1（1，4）时，S四边形 AP1CESACP1+SACE4+|y|2|y|4+|y|，|y|4点 E 在 x 轴下方，y4，代入得：x24x+34，即 x24x+70，（4）24×7120此方程无解当 P2（1，2）时，S四边形 AP2CESACP2+SACE2+|y|，2|y|2+|y|，|y|2点 E 在 x 轴下方，y2，代入
19、得：x24x+32，即 x24x+50，（4）24×540此方程无解综上所述，在 x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E2（1）将点A（2，0），B（4，0）代入yax2+bx+8，得：4a-2b+8=016a+4b+8=0解得a=-1,b=2.抛物线的解析式为yx2+2x+8yx2+2x+8（x1）2+9，点P的坐标为（1，9）（2）当x0时，yx2+2x+88，点C的坐标为（0，8）设点E的坐标为（x，x2+2x+8）（0x4），SCOESBCD，12×8x12×4×4，解得x2点E的坐标为（2，8）（3）过点C作CMx轴，交抛物线对称轴于点M，如图所
20、示点B（4，0），点D（0，4），OBOD4ODB45°，BD42BDC135°点C（0，8），点P（1，9），点M的坐标为（1，8）CMPM1CPM45°，CP2点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方CPQCDB135°BCDCPQ，CPCD=PQDB或CPBD=PQDCCPCD=PQDB时，24=PQ42，解得PQ2点Q的坐标为（1，11）；当CPBD=PQDC时，242=PQ4，解得：PQ1，点Q的坐标为（1，10）综上所述，点Q的坐标为（1，11）或（1，10）3.解：（1）抛物线yx2mx（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于
21、点B（x2，0），x1+x2m，x1x2（m+1），x12+x22x1x213，（x1+x2）23x1x213，m2+3（m+1）13，即m2+3m100，解得m12，m25OAOB，抛物线的对称轴在y轴右侧，m2，抛物线的解析式为yx22x3；（2）连接BE、OE在RtBCD中，CBD90°，ECED，BECDCE令yx22x30，解得x11，x23，A（1，0），B（3，0），C（0，3），OBOC，又BECE，OEOE，OBEOCE（SSS），BOECOE，点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，m），将E（m，m）代入yx22x3，得mm22m3，解得m，点E在第四象限
22、，E点坐标为（，）；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，则SACQSACFSACQ2SAOC，SACF2SAOC，AF2OA2，F（1，0）A（1，0），C（0，3），直线AC的解析式为y3x3ACFQ，设直线FQ的解析式为y3x+b，将F（1，0）代入，得03+b，解得b3，直线FQ的解析式为y3x+3联立，解得，点Q的坐标为（3，12）或（2，3）4.(1)抛物线yx2BxC经过A(0，3)，B(1，0)两点，1+b+c=0，c=3.，解得b=-4，c=3.(2)由(1)知，抛物线的解析式为yx24x3.A(0，3)，B(1，0)，OA3，OB1C点坐标为(4，1) 当x4时
23、，由yx24x3得y3则抛物线yx24x3经过点(4，3)，来源:学&科&网将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点C平移后的抛物线的解析式为yx24x1；(3)点P在yx24x1上，可设P点的坐标为(x0，x4x01)，将yx24x1配方得y(x2)23抛物线的对称轴为直线x2SPMM1|x02|·MM1，SPAA1|x0|·AA1，SPMM13SPAA1，MM1AA12，x0<2，|x02|3|x0|.分情况讨论：0<x0<2时，则有2x03x0，解得x0，则x4x01，点P的坐标为(，)；当x0<0时，则有2x03x0，解得x01
24、，则x4x016，点P的坐标为(1，6)故满足PMM1的面积是PAA1面积的3倍时，点P的坐标为(，)或(1，6)5. (1)四边形OABC是矩形，CDEAOE90°，OABCCD.又CEDOEA，CDEAOE，OEDE，OE2OA2(ADDE)2，即OE242(8OE)2，解得OE3；(2)EC835，如解图，过D作DGEC于G，易得DGECDE，.DG，EG，OG3.D(，) O点为坐标原点，故可设过O，C，D三点的抛物线的解析式为yAx2Bx，将C(8，0)与D(，)代入yax2bx，得，64a+8b=0，（245）2a+245b=125.，解得a=-532,b=54.所求抛物
25、线的解析式为；第13题解图(3)，设直线AC的解析式为yKxB(K0)，将A(0，4)与C(8，0)代入yKxB，得8k+b=0，b=-4.解得k=12，b=-4.直线AC的解析式为y12x4.如解图，设直线FP交直线AC于H(M，12M4)，过H作HMOA于点MAMHAOC，MHOCAHAC.SFAHSFHC13或31，AHHC13或31=14或MHOCAHAC=34HM2或6,即M2或6H1(2，3)，H2(6，1) 直线FH1的解析式为y114x172令y4，x1811；直线FH2的解析式为y74x192，令y4，x547当T1811或547时，直线PF把FAC分成面积之比为13的两部分。