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1、二次函数的综合应用要题随堂演练1(2018·莱芜中考)如图，抛物线yax2bxc经过A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DEBC于E.(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，求线段DE长度的最大值；(3)如图2，设AB的中点为F，连接CD，CF，是否存在点D，使得CDE中有一个角与CFO相等？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由2如图，在平面直角坐标系中，RtABC的顶点A，C分别在y轴，x轴上，ACB90°，OA，抛物线yax2axa经过点B(2，)，与y轴交于点D.(1)求抛物线的表达式；(2)点B关于直线AC的对称点
2、是否在抛物线上？请说明理由；(3)延长BA交抛物线于点E，连接ED，试说明EDAC的理由3(2018·自贡中考)如图，抛物线yax2bx3过A(1，0)，B(3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为2，点P(m，n)是线段AD上的动点(1)求直线AD及抛物线的表达式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由参考答案1解：(1)由已知得解得yx2x3.(2)设直线BC的表达式为
3、ykxb，解得yx3.设D(a，a2a3)，(0<a<4)如图，过点D作DMx轴，交BC于点M，M(a，a3)，DM(a2a3)(a3)a23a.DMEOCB，DEMCOB，DEMBOC，.OB4，OC3，BC5，DEDM，DEa2a(a2)2，当a2时，DE取最大值，最大值是.(3)假设存在这样的点D，使得CDE中有一个角与CFO相等F为AB的中点，OF，tanCFO2.如图，过点B作BGBC，交CD的延长线于G，过点G作GHx轴，垂足为H.若DCECFO，tanDCE2，BG10.GBHBCO，GH8，BH6，G(10，8)设直线CG的表达式为ykxb，解得yx3，解得x或x0
4、(舍)若CDECFO，同理可得BG，GH2，BH，G(，2)同理可得直线CG的表达式为yx3，解得x或x0(舍)综上所述，存在D使得CDE中有一个角与CFO相等，其横坐标是或.2解：(1)把点B的坐标代入抛物线的表达式得a×222aa，解得a.抛物线的表达式为yx2x.(2)如图，连接CD，过点B作BFx轴于点F，则BCFCBF90°.ACB90°，ACOBCF90°，ACOCBF.AOCCFB90°，AOCCFB，.设OCm，则CF2m，则有 ，解得m1，OCCF1.当x0时，y，OD，BFOD.DOCBFC90°，OCDFCB，D
5、CCB，OCDFCB，点B，C，D在同一直线上，点B与点D关于直线AC对称，点B关于直线AC的对称点在抛物线上(3)如图，过点E作EGy轴于点G，设直线AB的表达式为ykxb，则解得直线AB的表达式为yx.代入抛物线的表达式得xx2x.解得x2或x2.当x2时，yx，点E的坐标为(2，)tanEDG，EDG30°.tanOAC，OAC30°，OACEDG，EDAC.3解：(1)把(1，0)，(3，0)代入函数表达式得解得抛物线的表达式为yx22x3.当x2时，y(2)22×(2)3，解得y3，即D(2，3)设AD的表达式为ykxb，将A(1，0)，D(2，3)代入
6、得解得直线AD的表达式为yx1.(2)设P点坐标为(m，m1)，Q(m，m22m3)，l(m1)(m22m3)，化简得lm2m2，配方得l(m)2，当m时，l最大.(3)由(2)可知，0PQ.当PQ为边时，DRPQ且DRPQ.R是整点，D(2，3)，PQ是正整数，PQ1或PQ2.当PQ1时，DR1，此时点R的横坐标为2，纵坐标为312或314，R(2，2)或(2，4)当PQ2时，DR2，此时点R的横坐标为2，纵坐标为321或325，即R(2，1)或(2，5)当PQ为对角线时，PDQR，且PDQR.设点R的坐标为(n，nm2m3)，则QR22(mn)2.又P(m，m1)，D(2，3)，PD22(m2)2，(m2)2(mn)2，解得n2(不符合题意，舍去)或n2m2，点R的坐标为(2m2，m23m1)R是整点，2m1，当m1时，点R的坐标为(0，3)；当m0时，点R的坐标为(2，1)综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(2，2)或(2，4)或(2，1)或(2，5)或(0，3)或(2，1)