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1、类型一 新定义型例1、对任意一个三位数n，如果n满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为F(n)例如n123，对调百位与十位上的数字得到213，对调百位与个位上的数字得到321，对调十位与个位上的数字得到132，这三个新三位数的和为213321132666，666÷1116，所以F(123)6（1）计算：F(243)，F(617);（2）若s，t都是“相异数”，其中s100x32，t150y(1x9，1y9，x，y都是正整数），规定：k当F(s)F(t)1
2、8时，求k的最大值【解答】解：(1)F(243)(423342234)÷1119；F(617)(167716671)÷11114（2）s，t都是“相异数”，s100x32，t150y，F(s)(30210x230x100x23)÷111x5，F(t)(510y100y5110510y)÷111y6F(t)F(s)18，x5y6xy1118，xy71x9，1y9，且x，y都是正整数，或或或或或s是“相异数”，x2，x3t是“相异数”，y1，y5或或，或或，k或k1或kk的最大值为例2、如图1，在正方形ABCD的内部，作DAEABFBCGCDH，根据三角形全
3、等的条件，易得DAEABFBCGCDH，从而得到四边形EFGH是正方形类比探究如图2，在正ABC的内部，作BADCBEACF，AD，BE，CF两两相交于D，E，F三点(D，E，F三点不重合）（1）ABD，BCE，CAF是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明（2）DEF是否为正三角形？请说明理由（3）进一步探究发现，ABD的三边存在一定的等量关系，设BDa，ADb，ABc，请探索a，b，c满足的等量关系【解答】解：(1)ABDBCECAF;理由如下：ABC是正三角形，CABABCBCA60°，ABBC，ABDABC2，BCEACB3，23，ABDBCE，在ABD和BCE中，ABDBC
4、E(ASA);(2)DEF是正三角形；理由如下：ABDBCECAF，ADBBECCFA，FDEDEFEFD，DEF是正三角形；（3）作AGBD于G，如图所示：DEF是正三角形，ADG60°，在RtADG中，DG在RtABG中例3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数y与y0）的图象性质小明根据学习函数的经验，对函数y与y当k0时的图象性质进行了探究下面是小明的探究过程：（1）如图所示，设函数y与y图象的交点为A，B，已知A点的坐标为(k，1)，则B点的坐标为_；（2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于
5、点N求证：PMPN证明过程如下：设直线PA的解析式为yaxb(a0）则 ，解得 _直线PA的解析式为_请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明当P点坐标为(1，k)(k1）时，判断PAB的形状，并用k表示出PAB的面积【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，A点的坐标为(k，1)，B点的坐标为(k，1)故答案为：(k，1)（2）证明过程如下，设直线PA的解析式为yaxb(a0）则，解得：，直线PA的解析式为y当y0时，xmk，M点的坐标为(mk，0)过点P作PHx轴于H，如图1所示，P点坐标为H点的坐标为(m，0)，MHm(mk)k同理可得：HNkMH
6、HN，PMPN故答案为：；y由可知，在PMN中，PMPN，PMN为等腰三角形，且MHHNk当P点坐标为(1，k)时，PHk，MHHNPH，PMHMPH45°，PNHNPH45°，MPN90°，即APB90°，PAB为直角三角形当k1时，如图1，当0k1时，如图2，例4、问题呈现：如图1，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，AEDG，求证：2S四边形EFGHS矩形ABCD（S表示面积）实验探究：某数学实验小组发现：若图1中AHBF，点G在CD上移动时，上述结论会发生变化，分别过点E、G作BC边的平行线，再分别过点F、H作AB边的
7、平行线，四条平行线分别相交于点、得到矩形如图2，当AHBF时，若将点G向点C靠近(DGAE)，经过探索，发现：2 S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形如图3，当AHBF时，若将点G向点D靠近(DGAE)，请探索S四边形EFGH、S矩形ABCD与S矩形之间的数量关系，并说明理由迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题：（1）如图4，点E、F、G、H分别是面积为25的正方形ABCD各边上的点，已知AHBF，AEDG，S四边形EFGH11，HF求EG的长（2）如图5，在矩形ABCD中，AB3，AD5，点E、H分别在边AB、AD上，BE1，DH2，点F、G分别是边BC、CD上的动点，且
8、FG连接EF、HG，请直接写出四边形EFGH面积的最大值【解答】问题呈现：证明：如图1中，四边形ABCD是矩形，ABCD，A90°，AEDG，四边形AEGD是矩形，S四边形EFGH，同理S矩形BEGC，S四边形EFGHS矩形ABCD实验探究：结论：2 S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形理由： =， =， =， =，S四边形EFGH=+，2S四边形EFGH=2+2+2+22，2S四边形EFGH=S矩形ABCDS矩形迁移应用：解：（1）如图4中，2S四边形EFGH=S矩形ABCDS矩形，S矩形=252×11=3=A1B1A1D1，正方形的面积为25，边长为5，A1D12=HF
9、252=2925=4，A1D1=2，A1B1=，EG2=A1B12+52=，EG=（2）2 S四边形EFGHS矩形ABCDS矩形四边形面积最大时，四边形EFGH的面积最大如图51中，当G与C重合时，四边形面积最大时，四边形EFGH的面积最大此时矩形面积如图52中，当G与D重合时，四边形面积最大时，四边形EFGH的面积最大此时矩形面积212，四边形EFGH的面积最大值例5、定义：点P是ABC内部或边上的点（顶点除外），在PAB，PBC，PCA中，若至少有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC的自相似点例如：如图1，点P在ABC的内部，PBCA，BCPABC，则BCPABC，故点P是ABC的自相
10、似点请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：在平面直角坐标系中，点M是曲线y上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点（1）如图2，点P是OM上一点，ONPM，试说明点P是MON的自相似点；当点M的坐标是点N的坐标是时，求点P的坐标；（2）如图3，当点M的坐标是点N的坐标是(2，0)时，求MON的自相似点的坐标；（3）是否存在点M和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）ONPM，NOPMON，NOPMON，点P是MON的自相似点；过P作PDx轴于D，则tanPODMON60°，当点M的坐标是点N的坐标是MNO90
11、6;，NOPMON，NPOMNO90°，在RtOPN中，OPONcos60°ODOPcos60°OPsin60°（2）作MHx轴于H，如图3所示：点M的坐标是点N的坐标是(2，0)，OM直线OM的解析式为y2，MOH30°，分两种情况：如图3所示：P是MON的相似点，PONNOM，作PQx轴于Q，POPN，OQ1，P的横坐标为1，y如图4所示：由勾股定理得：MN2，P是MON的相似点，PNMNOM，即解得：PN即P的纵坐标为代入y得：解得：x2，综上所述：MON的自相似点的坐标为或（3）存在点M和点N，使MON无自相似点理由如下：OMON，MON60°，MON是等边三角形，点P在MON的内部，PONOMN，PNOMON，存在点M和点N，使MON无自相似点