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1、类型三 其他探究题例1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EFBD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；（2）将图1中BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 （3）将图1中BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）FBACE图3DFBADCEG图2FBADCEG图1【答案】解：（1）CG=EG（2）（1）中结论没有发生变化，即EG=CG证明：连接AG，过G点作MNAD于
2、M，与EF的延长线交于N点FBADCEGMNN图 2在DAG与DCG中， AD=CD，ADG=CDG，DG=DG， DAGDCG AG=CG在DMG与FNG中， DGM=FGN，FG=DG，MDG=NFG， DMGFNG MG=NG FBADCE图3G 在矩形AENM中，AM=EN在RtAMG 与RtENG中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG （3）（1）中的结论仍然成立例2、请阅读下列材料问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2， PB=， PC=1求BPC度数的大小和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是：将BPC绕点B顺时针旋转60
3、6;，画出旋转后的图形（如图2）连接PP，可得PPC是等边三角形，而PPA又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）所以APC=150°，而BPC=APC=150°进而求出等边ABC的边长为问题得到解决请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，BP=，PC=1求BPC度数的大小和正方形ABCD的边长图2图3图1【答案】解：（1）如图，将BPC绕点B逆时针旋转90°，得BPA，则BPCBPAAP=PC=1，BP=BP=连结P P，在RtBPP中， BP=BP=，PBP=90°， P P=2，BPP=45
4、6; 在APP中， AP=1，P P=2，AP=， ，即AP 2 + PP 2 = AP2 APP是直角三角形，即A P P=90° APB=135° BPC=APB=135° （2）过点B作BEAP 交AP 的延长线于点E EP B=45°. EP=BE=1. AE=2. 在RtABE中，由勾股定理，得AB= BPC=135°，正方形边长为例3、如图1，已知ABC=90°，ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F
5、.（1）如图2，当BP=BA时，EBF=°，猜想QFC= °；（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想QFC的度数，并加以证明；图1ACBEQFP（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式图2ABEQPFC【答案】解: （1） 30° = 60° （2）=60°不妨设BP, 如图1所示 BAP=BAE+EAP=60°+EAP EAQ=QAP+EAP=60°+EAP BAP=EAQ 在ABP和AEQ中 AB=AE，BAP=EAQ， AP=AQABPAEQ（SAS） AEQ=ABP=9
6、0°BEF=60° (事实上当BP时，如图2情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）(3)在图1中，过点F作FGBE于点GABE是等边三角形 BE=AB=，由（1）得30°在RtBGF中， BF= EF=2ABPAEQ QE=BP= QF=QEEF过点Q作QHBC，垂足为H在RtQHF中，（x0）即y关于x的函数关系式是：.例4、如图，将OA= 6，AB = 4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NPBC，交OB于点P，
7、连接MP （1）点B的坐标为；用含t的式子表示点P的坐标为；（2）记OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0 < t < 6）；并求t为何值时，S有最大值？（3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由（备用图）【答案】解：（1）（6，4）；（）.（2）SOMP =×OM×，S =×（6 -t）×=+2t （0 < t <6）当时，S有最大值（3）存在由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（
8、3，0），N（3，4），则直线ON的函数关系式为：（备用图）R2T1T2R1D2D1设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：，解方程组得直线ON与MT的交点R的坐标为例5、如图，在RtABC中，ACB90°，A30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ.(1)如图，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系；(2)如图，当点P在CB延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)如图，当点P在BC延长线上时
9、，若BPO45°，AC，请直接写出BQ的长第3题图【答案】解：(1)CPBQ; 【解法提示】如解图，连接OQ，第3题解图由旋转可知，PQOP，OPQ60°，POQ是等边三角形，OPOQ，POQ60°，在RtABC中，O是AB中点，OCOAOB，BOC2A60°POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(2)成立，理由如下：如解图，连接OQ，第3题解图由旋转知PQOP，OPQ60°，POQ是等边三角形，OPOQ，POQ60°，在RtABC中，O是AB中点，OCOAOB，BOC2A60°POQ，COPBOQ，在COP和BOQ中，COPBOQ(SAS)，CPBQ；(3)BQ.【解法提示】在RtABC中，A30°，AC，BCAC·tanA，如解图，过点O作OHBC于点H，第3题解图OHB90°BCA，OHAC，O是AB中点，CHBC，OHAC，BPO45°，OHP90°，BPOPOH，PHOH，CPPHCH，连接OQ，同(1)的方法得，BQCP.