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1、关于高中数学柯西不等式现在学习的是第1页，共27页说教材说教材说学情说学情 说目标说教法说教法说学法说学法 说教学过程说教学过程柯西不等式（一）柯西不等式（一）现在学习的是第2页，共27页 柯西不等式是人教柯西不等式是人教A版选修版选修45不等不等式选讲中第三讲的内容，是学生继平均值不式选讲中第三讲的内容，是学生继平均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用：一方面可以巩固学中起着承前启后的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打面又为后面
2、学习三角不等式、排序不等式打下了基础。运用柯西不等式可以解决中学数下了基础。运用柯西不等式可以解决中学数学中一些比较典型的数学问题，例如：证明学中一些比较典型的数学问题，例如：证明不等式、求最值等。不等式、求最值等。本节课是柯西不等式的第一课时，主本节课是柯西不等式的第一课时，主要内容是柯西不等式的二维形式的推导和应要内容是柯西不等式的二维形式的推导和应用。用。（一）、教材的地位和作用：（一）、教材的地位和作用：一、说教材一、说教材现在学习的是第3页，共27页教学重点：教学重点：教学难点：教学难点：1、柯西不等式的二维形式的推导和应用；、柯西不等式的二维形式的推导和应用；2、通过运用柯西不等式
3、的二维形式来解决一些简单问题，、通过运用柯西不等式的二维形式来解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法体会运用经典不等式的一般方法发现具体问题与经典发现具体问题与经典不等式之间的联系，经过适当变形，以经典不等式为依据不等式之间的联系，经过适当变形，以经典不等式为依据得出具体问题的不等关系。得出具体问题的不等关系。柯西不等式的二维形式的应用柯西不等式的二维形式的应用关键点：关键点：理解柯西不等式的二维形式的结构特点理解柯西不等式的二维形式的结构特点一、说教材一、说教材（二）、教学重点、难点（二）、教学重点、难点现在学习的是第4页，共27页（三）、教材处理（三）、教材处理 一、说教材一、说教
4、材 向量的数量积的性质向量的数量积的性质 正是正是柯西不等式的向量柯西不等式的向量形式，是这节课内容最佳的形式，是这节课内容最佳的“知识生长点知识生长点”。根据根据“最近发展区最近发展区”的教学理论，我将课本中通过让学生的教学理论，我将课本中通过让学生类比不等式类比不等式 猜想关于猜想关于 的不等关的不等关系得出柯西不等式的二维形式的处理方法改为先让学生证明不系得出柯西不等式的二维形式的处理方法改为先让学生证明不等式等式 ，通过对该不等式作进一步探究，通过对该不等式作进一步探究,发现了柯西发现了柯西不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深入地设计问题不等式的二维形式，并由此顺着学生思路层层深
5、入地设计问题来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式来展开教学，使学生在探究活动中掌握了柯西不等式二维形式的推导和应用。的推导和应用。现在学习的是第5页，共27页二、说学情二、说学情 该班学生基础比较扎实，该班学生基础比较扎实，求知欲较强，具备一定的观察、求知欲较强，具备一定的观察、分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明不等式的基分析、逻辑推理能力。在学习本课前已掌握证明不等式的基本方法，以及向量的数量积的性质本方法，以及向量的数量积的性质 。这个性质正这个性质正是柯西不等式的向量形式，是这节课内容最佳的是柯西不等式的向量形式，是这节课内容最佳的“知识生长点知识生长点”。现在
6、学习的是第6页，共27页三、说目标三、说目标通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法，通过创设情境，提出问题，然后探索解决问题的办法，培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。培养学生独立思考、积极探索的习惯和逻辑推理能力。1 1、知识目标：、知识目标：（1）理解柯西不等式的二维形式和）理解柯西不等式的二维形式和 向向量形式；量形式；（2）能运用柯西不等式的二维形式解）能运用柯西不等式的二维形式解决一些简单问题；决一些简单问题；（3）让学生了解柯西的主要贡献，贯穿数）让学生了解柯西的主要贡献，贯穿数学史教育。学史教育。2 2、能力目标：、能力目标：现在学习的是第7页，共27页四、说
7、教法四、说教法 因因为为学学生生学学习习数数学学的的过过程程实实际际上上是是学学生生完完善善数数学学认认知知结结构构的的过过程程，教教师师的的职职责责就就是是引引导导学学生生形形成成良良好好的的数数学学认认知知结结构构，“教教是是为为了了不不教教”就就是是这这一一思思想想的的反反映映，而而探探究究式式学学习习的的本本质质就就是是学学生生的的自自主主建建构构，所所以以我我在在柯柯西西不不等等式式的的发发现现、证证明明以以及及例例题题的的讲讲解解中中均均采采用用问问题题探探究究式式教教学学法法：通通过过精精心心设设置置问问题题链链，使使教教学学过过程程活活动动化化，促促使使学学生生积积极极主主动动
8、地地参参与与教教学学活活动动。在在整整个个教教学学过过程程中中我我鼓鼓励励学学生生互互相相讨讨论论，合合作作交交流流。另另外外我我采采用用了了多多媒媒体体进进行行教教学学，既既提提高高了了教教学学效效率率，使使得得课课堂堂各各个个环环节节紧紧凑凑，学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的平台。学生思维连贯顺畅；又为师生、生生之间的交流提供了广阔的平台。现在学习的是第8页，共27页五、说学法五、说学法 教是为了不教。教是为了不教。在教学过程中我注意指导学生学会学习，在教学过程中我注意指导学生学会学习，通过启发教给学生获取知识的途径，思考问题的方法通过启发教给学生获取知识的途径，思考
9、问题的方法。在教学在教学活动中，我通过肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生揭活动中，我通过肯定学生的正确，指出学生的错误，引导学生揭示知识内涵，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。培养学示知识内涵，帮助学生养成独立思考，积极探索的习惯。培养学生主动探究的学习方式。生主动探究的学习方式。现在学习的是第9页，共27页六、说教学过程六、说教学过程创设情境创设情境初步运用初步运用实施探究实施探究设置悬念设置悬念归纳小结归纳小结理解深化理解深化现在学习的是第10页，共27页（一）、创设情境设计意图 1、有效的问题能创设出、有效的问题能创设出一个充满张力的情境，能一个充满张力的情境，能激发学生的探究
10、欲望。激发学生的探究欲望。2、向量的数量积的这向量的数量积的这个性质正是柯西不等式的个性质正是柯西不等式的向量形式，是这节课内容向量形式，是这节课内容最佳的最佳的“知识生长点知识生长点”，是，是学生思维的学生思维的“最近发展区最近发展区”。师：师：前面我们学习了哪几种证明不等式的前面我们学习了哪几种证明不等式的方法？方法？师：师：在运用这些方法解题时需要注意哪些在运用这些方法解题时需要注意哪些方面？方面？（要注意每种方法的特点、适用范围、及（要注意每种方法的特点、适用范围、及 解题格式）解题格式）(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)现在学习的是第11
11、页，共27页（一）、创设情境设计意图 1、有效的问题能创设出、有效的问题能创设出一个充满张力的情境，能一个充满张力的情境，能激发学生的探究欲望。激发学生的探究欲望。2、向量的数量积的这向量的数量积的这个性质正是柯西不等式的个性质正是柯西不等式的向量形式，是这节课内容向量形式，是这节课内容最佳的最佳的“知识生长点知识生长点”，是，是学生思维的学生思维的“最近发展区最近发展区”。师：师：前面我们学习了哪几种证明不等式的前面我们学习了哪几种证明不等式的方法？方法？师：师：在运用这些方法解题时需要注意哪些在运用这些方法解题时需要注意哪些方面？方面？（要注意每种方法的特点、适用范围、及（要注意每种方法的
12、特点、适用范围、及 解题格式）解题格式）(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法)问题问题1：当满足什么条件时，不等式当满足什么条件时，不等式取等号？取等号？问题问题2 2：取消已知中的取消已知中的“非零非零”，不等式，不等式还成立吗？还成立吗？问题问题 3：现在学习的是第12页，共27页（二）、实施探究设计意图 用数学家成才的故事，用数学家成才的故事，鼓励学生要有敢于克鼓励学生要有敢于克服困难的决心和勇气，服困难的决心和勇气，提高学生提高学生学习数学学习数学的能动性。的能动性。柯西（柯西（Cauchy,Augustin-Louis,1789-1857）是
13、法国数学家、力学）是法国数学家、力学 家。家。1811及及1812年向法国科学院年向法国科学院 提交了提交了 两篇关于多面体的论文，在两篇关于多面体的论文，在 数学界造成了极大的影响。数学界造成了极大的影响。1816年年（27岁）成为巴黎岁）成为巴黎 综合工科学校教授，并当选为综合工科学校教授，并当选为法国科学院法国科学院 院士院士.柯西对高等数学的大量贡献包柯西对高等数学的大量贡献包括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论括：无穷级数的敛散性，实变和复变函数论,微微分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究分方程，行列式，概率和数理方程等方面的研究目前我们所学的极限和连续性的定义，导数的定目前
14、我们所学的极限和连续性的定义，导数的定义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的义，以及微分、定积分用无穷多个无穷小的和的极限定义，实质上都是柯西给出的。他的临终名极限定义，实质上都是柯西给出的。他的临终名言是言是“人总是要死的，但是，他们的业绩永存人总是要死的，但是，他们的业绩永存人总是要死的，但是，他们的业绩永存人总是要死的，但是，他们的业绩永存”现在学习的是第13页，共27页（二）、实施探究设计意图 因为不同的学生因为不同的学生在认知方式和思维策在认知方式和思维策略上存在着差异。学略上存在着差异。学生间的交流是学生完生间的交流是学生完善认知建构的催化剂。善认知建构的催化剂。所以我这样设计
15、来激所以我这样设计来激发学生参与数学思维发学生参与数学思维活动。活动。问题问题4：能否用不同的方法能否用不同的方法证明柯西不等式的二维形式证明柯西不等式的二维形式？(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影学生中出现的各种典型证法用投影仪投影出来，让学生比较、分析、评价出来，让学生比较、分析、评价)现在学习的是第14页，共27页（二）、实施探究设计意图1、掌握柯西不等式的、掌握柯西不等式的二维形式的结构特点是二维形式的结构特点是突破本节难点的关键。突破本节难点的关键。2、可以培养学生的观、可以培养学生的观察、分析，归纳能力，
16、察、分析，归纳能力，同时，让学生成为发同时，让学生成为发现者，可以增加学生现者，可以增加学生的成就感，提高学生的成就感，提高学生学习的积极性。有助学习的积极性。有助于学生学习情绪的进于学生学习情绪的进一步高涨。一步高涨。问题问题5：请仔细观察柯西不等式的请仔细观察柯西不等式的二维形式，想一想，它的结构有二维形式，想一想，它的结构有什么特点？什么特点？（引导学生通过类比基本不等式的结构特点，观察、引导学生通过类比基本不等式的结构特点，观察、分析，相互探讨，归纳出：分析，相互探讨，归纳出：“平方的和的乘积平方的和的乘积不不小于小于乘积的和的平方乘积的和的平方”的特点）的特点）现在学习的是第15页，
17、共27页（三）、初步运用设计意图1、通过比较各种证明通过比较各种证明方法，凸显柯西不等方法，凸显柯西不等式在解题中的优越性。式在解题中的优越性。(要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将要求学生写出完整的证明过程，巡堂，将 学生中出现的各种典型证法用投影仪投影学生中出现的各种典型证法用投影仪投影出来，让学生比较、分析、评价出来，让学生比较、分析、评价)现在学习的是第16页，共27页（三）、初步运用设计意图 1、让学生在解决问题、让学生在解决问题的过程中体会用柯西不等的过程中体会用柯西不等式的二维形式解决问题的式的二维形式解决问题的方法。方法。2、培养数学能力是数学、培养数学能力是数学教学的根本点，
18、也是形成教学的根本点，也是形成良好认知结构的核心成分良好认知结构的核心成分这样设计既突出了教学重这样设计既突出了教学重点又化解了教学难点，还点又化解了教学难点，还使学生的思维得到了锻炼使学生的思维得到了锻炼 (留给学生足够的思考时间，鼓励学生合作留给学生足够的思考时间，鼓励学生合作交流。一段时间后，请做出来的同学谈谈是怎交流。一段时间后，请做出来的同学谈谈是怎样找到解题思路的，再让未做出来的学生谈谈样找到解题思路的，再让未做出来的学生谈谈思路障碍之处，其他同学进行补充，教师适时思路障碍之处，其他同学进行补充，教师适时点拨，最终体会到解题的方法。点拨，最终体会到解题的方法。)现在学习的是第17页
19、，共27页（四）、理解深化设计意图1、让学生在反思中加深、让学生在反思中加深了对用柯西不等式的二维了对用柯西不等式的二维形式解题的方法的理解。形式解题的方法的理解。2、让学生在历练中暴露、让学生在历练中暴露了思维障碍之处，教师在了思维障碍之处，教师在此适当加予点拨，就能取此适当加予点拨，就能取得很好的教学效果。这是得很好的教学效果。这是本节课的升华之处。本节课的升华之处。问题问题6：例例1和例和例2都可以用柯西不等式都可以用柯西不等式进行证明，但证明过程有何区别？进行证明，但证明过程有何区别？（引导学生思考、交流，然后个别提问，（引导学生思考、交流，然后个别提问，再和其他学生分析、评价）再和其
20、他学生分析、评价）（引导学生思考、交流，然后个别提问，（引导学生思考、交流，然后个别提问，再和其他学生分析、评价）再和其他学生分析、评价）不等式不等式：不等式不等式：问题问题7：现在学习的是第18页，共27页（四）、理解深化设计意图及时巩固所学知及时巩固所学知识和方法体会识和方法体会现在学习的是第19页，共27页（五）、归纳小结设计意图 让学生在归纳小结的过让学生在归纳小结的过程中将所学的知识条理程中将所学的知识条理化、系统化。而注重数学化、系统化。而注重数学方法的提炼，可帮助学方法的提炼，可帮助学生逐渐把经验内化成能生逐渐把经验内化成能力。力。问题问题8 8：通过本节课的学习，你学到了什么？
21、体验到什么？1、知识总结：、知识总结：2 2、思想方法总结：、思想方法总结：认识事物的过程实质就是认识事物的过程实质就是“观察发现、猜想观察发现、猜想论证应用再发现再论证再应用论证应用再发现再论证再应用”的过程的过程现在学习的是第20页，共27页（六）、设置悬念设计意图这是本节课的一个升华这是本节课的一个升华之处。以问题的形式引之处。以问题的形式引出柯西不等式的三维、出柯西不等式的三维、n维形式的推导，为下节课维形式的推导，为下节课作好了铺垫。既使学生掌作好了铺垫。既使学生掌握基础知识，又使学有余握基础知识，又使学有余力的学生有所提高。力的学生有所提高。问题问题9 9：柯西不等式的三维、四维、
22、柯西不等式的三维、四维、n n维的形式是怎样的？如何推导？维的形式是怎样的？如何推导？问题问题1010：还有没有其他方法来证明还有没有其他方法来证明柯西不等式的二维形式？柯西不等式的二维形式？现在学习的是第21页，共27页七、评价分析七、评价分析 在教学过程中我始终面对全体学生，尊重学生的个体在教学过程中我始终面对全体学生，尊重学生的个体差异。在教学中我选择了问题探究的教学方法，鼓励与差异。在教学中我选择了问题探究的教学方法，鼓励与提倡学生用多样化的策略解决问题。对于问题的设计、教提倡学生用多样化的策略解决问题。对于问题的设计、教学过程的展开、练习的安排等都尽可能地让所有学生主动学过程的展开、
23、练习的安排等都尽可能地让所有学生主动参与，提出各自解决问题的方法，并引导学生合作交流，参与，提出各自解决问题的方法，并引导学生合作交流，吸取他人的经验，从而丰富了学生的数学活动，提高他们吸取他人的经验，从而丰富了学生的数学活动，提高他们的思维水平。同时这节课也是我对个性化教育的初步尝试。的思维水平。同时这节课也是我对个性化教育的初步尝试。现在学习的是第22页，共27页1、附板书设计、附板书设计不等式：不等式：现在学习的是第23页，共27页现在学习的是第24页，共27页（一）、创设情境设计意图探究的第一步是有效探究的第一步是有效的问题。有效的问题能的问题。有效的问题能创设出一个充满张力的创设出一
24、个充满张力的情境，能激发学生学习情境，能激发学生学习的极大兴趣。的极大兴趣。向量的数量积的这个向量的数量积的这个性质正是柯西不等式的向性质正是柯西不等式的向量形式，是这节课内容最量形式，是这节课内容最佳的佳的“知识生长点知识生长点”。根据。根据知识建构理论和知识建构理论和“最近发展最近发展区区”的教学理论我设计了这的教学理论我设计了这样的引入。样的引入。先让学生证明不等式先让学生证明不等式 ，然后通过引导学生对，然后通过引导学生对该不等式进行探究该不等式进行探究,发现了柯发现了柯西不等式的二维形式，西不等式的二维形式，问题问题1：当满足什么条件时，不等式当满足什么条件时，不等式取等号？取等号？
25、问题问题2 2：取消已知中的取消已知中的“非零非零”，不等式，不等式还成立吗？还成立吗？问题问题 3：现在学习的是第25页，共27页（三）、初步运用设计意图1、让学生在反思中加深、让学生在反思中加深了对用柯西不等式的二维了对用柯西不等式的二维形式解题的方法的理解。形式解题的方法的理解。2、学生在反思中暴露的、学生在反思中暴露的问题真实体现了学生的思问题真实体现了学生的思维障碍，教师在此稍加点维障碍，教师在此稍加点拨，就能取得很好的教学拨，就能取得很好的教学效果。效果。（引导学生思考、交流，然后个别提问，（引导学生思考、交流，然后个别提问，再和其他学生分析、评价）再和其他学生分析、评价）不等式不等式：不等式不等式：问题问题7：现在学习的是第26页，共27页感谢大家观看现在学习的是第27页，共27页