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1、第四章力学量用算符表第四章力学量用算符表示与表象变换示与表象变换1第1页，此课件共61页哦线性算符：如果算符满足下列条件则算符是线性算符2第2页，此课件共61页哦刻画可观测物理量的算符都是线性算符。（通常）3第3页，此课件共61页哦这是算符最基本的运算。对于任意的波函数任意的波函数都成立4第4页，此课件共61页哦5第5页，此课件共61页哦（4）算符对易 讨论两个算符是否对易，一般是将它们作用在任意波函数上，看它们是否相等。若相等,则对易。即比如将要讨论的位置算符6第6页，此课件共61页哦而因为对任意波函数：那么7第7页，此课件共61页哦若一力学量有经典对应，可用这个关系导出其对易式。对易关系的
2、运算性质：8第8页，此课件共61页哦角动量算符的对易关系角动量 在直角坐标系中的分量表达式 9第9页，此课件共61页哦其中10第10页，此课件共61页哦类似可得角动量分量与动量分量的对易关系：下面证明与角动量平方有关的一个对易式。11第11页，此课件共61页哦12第12页，此课件共61页哦得证。13第13页，此课件共61页哦有关角动量的升降算符及其对易关系引进升降算符（希望会证）下面看角动量算符在球坐标中的表示14第14页，此课件共61页哦在球坐标中，以及利用15第15页，此课件共61页哦 从而有16第16页，此课件共61页哦可以理解吗？17第17页，此课件共61页哦显然得证。（课下证）18第
3、18页，此课件共61页哦由于由于又由于又由于所以所以上述算符方程两边同左乘以上述算符方程两边同左乘以所以所以19第19页，此课件共61页哦算符的复共轭算符 将表达式中的所有量，都换写成其复共轭。例 动量算符的复共轭算符（4）转置算符20第20页，此课件共61页哦利用内积的定义，有则转置算符的表达式也可以写为即：去掉“”，换位复共轭。要会转换！一维粒子 三维粒子 其中对体积元：21第21页，此课件共61页哦对任意满足标准条件的波函数、？22第22页，此课件共61页哦（5）厄米共轭算符显然在坐标表象中同样可以证明作业：1.P87 练习1 2.P90 练习323第23页，此课件共61页哦按照转置算符
4、按照转置算符A的定义，有的定义，有则有则有即即故对任意态故对任意态和和，有，有但是但是24第24页，此课件共61页哦利用转置的性质，可以证明：下面介绍一个特别重要的算符厄米算符：满足下列关系的算符是厄米算符或所以提示：可以首先证两个算符的关系25第25页，此课件共61页哦利用厄米共轭算符的定义式结合上页定义可以得到因此，厄米算符的定义式也可以写为26第26页，此课件共61页哦（已经知道 ）27第27页，此课件共61页哦在体系的任何状态下，其厄米算符的平均值必为实数。证明：介绍个定理:28第28页，此课件共61页哦在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。证明：存在逆定理:29第29
5、页，此课件共61页哦所以即30第30页，此课件共61页哦上面两式分别相加减，得满足厄米算符的定义在物理实验中所用的物理量与厄米算符有何关系？在物理实验中所用的物理量与厄米算符有何关系？31第31页，此课件共61页哦因此相应的算符对应于厄米算符物理可观测量要求在任何状态下的平均值为实数即物理可观测量用厄米算符表示。而在体系的任何状态下，平均值均为实数的算符必为厄米算符。即 厄米算符平方的平均值必是不小于零的数。32第32页，此课件共61页哦前面我们介绍了几个算符：复共轭算符厄米共轭算符逆算符转置算符单位算符厄米算符算符都有的属性：单位算符复共轭算符转置算符算符可能有的属性：逆算符厄米共轭算符厄米
6、算符要注意区别使用。33第33页，此课件共61页哦（6）算符的函数类似地，可定义算符的函数34第34页，此课件共61页哦例：不难看出，利用泰劳展开，有先对算符求先对算符求n次导数次导数再令算符为再令算符为0求值求值35第35页，此课件共61页哦两个或多个算符的函数可类似地定义,类似于多元函数作业：作业：p131-132 1,2 p162 336第36页，此课件共61页哦4.2 厄米算符的本征值与本征函数 1、本征值与本征函数处于 态中，测量力学量A，可得到各种值，这些值有一定的几率分布。对于都用来描述其状态的大量相同体系进行多次测量，所得结果进行统计平均将趋向于一个确定的值。见下表：37第37
7、页，此课件共61页哦多次测量定义每一次测量结果范围绕平均值的涨落-38第38页，此课件共61页哦即由上式得39第39页，此课件共61页哦 上述方程加上相应的数学和物理要求（边界条件），构成了量子力学的本征值问题，解此问题可得力学量的本征值和本征函数。由此有此时40第40页，此课件共61页哦量子力学的又一基本原理：41第41页，此课件共61页哦下面介绍两个定理：定理1 厄米算符的本征值必为实数 （要会证）定理2 厄米算符的属于不同本征值的本征函数 彼此正交。证明：42第42页，此课件共61页哦以上两式相减，得对方程43第43页，此课件共61页哦2、举例解：这是个定轴转动问题，z为转轴，变量为本征
8、值方程为44第44页，此课件共61页哦解之得利用周期性边界条件45第45页，此课件共61页哦所以，相应的本征函数为46第46页，此课件共61页哦解：与以上问题的区别这里求的是能量的本征值和本征态考虑绕z轴转动的平面转子(如右图)。式中I为转动惯量。其Hamiltonian为47第47页，此课件共61页哦或简写为其正交归一化的解可取为Lz的本征态相应的本征能量为与第一章习题4(p14)结果进行比较。48第48页，此课件共61页哦也就是说，能量是二度简并的。发现：平面转子的角动量z分量本征态和能量本征态可具有相同的函数形式。为什么？49第49页，此课件共61页哦解：动量的x分量的本征值方程动量的本
9、征值上式改写为 其解为50第50页，此课件共61页哦若粒子位置不受限制，则可以取一切实数值。归归一化的平面波一化的平面波，与连续的本征值相应的波函数所表示的是不能习惯上取则有平面波的“归一化”就用函数的形式表示了出来。51第51页，此课件共61页哦在三维情况下，动量算符的本征值方程是动量算符的本征值 在直角坐标系中的三个分量px,py 和pz均为实数。动量本征值方程的解是为的单色平面波。52第52页，此课件共61页哦 在量子力学中，平面波代表粒子处在动量一定、在空间各处出现的概率都相同的状态，这是一种理想化的模型。它不能用通常的办法归一化，而是采用函数的形式“归一化”。53第53页，此课件共6
10、1页哦一维自由粒子的Hamiltonian为或简写为54第54页，此课件共61页哦相应的能量本征值为问题：为啥具有相同的本征态？一维粒子动量与能量算符具有相同的本征态发现：有何意义？有何意义？55第55页，此课件共61页哦2、简并度问题如果属于本征值的本征态是即力学量A的本征值方程为在出现简并时，简简并并态态的选择并不是唯一的。则称本征值是重简并的。称fn为简并度简并度。56第56页，此课件共61页哦而且一般说这些简并态不一定彼此正交。下面介绍的Schmidt正交化方法就是经常采用的方法。但是，可以证明，总可以把它们适当地线性叠加使之彼此正交。57第57页，此课件共61页哦58第58页，此课件共61页哦对于正交条件取组合59第59页，此课件共61页哦 尽管如此，我们总可以说，厄米算符的本征函数彼此正交，不管它们是否简并。60第60页，此课件共61页哦 在常见的一些问题中，当出现简并时，为了把某力学量A的简并态确定下来，往往可以用A以外的其他力学量的本征值来对简并态进行分类，此时正交性正交性问题将自动得到解决。这就涉及到了两个或多个力学量的共同本征态问题。下节课予以介绍。作业：P94 Ex.5 P133 1261第61页，此课件共61页哦