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1、专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用 类型之一 一次函数的图象的应用 【经典母题】 如图 Z51，由图象得5x2y40，3x2y120的解是 x2，y3 图 Z51 【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数，于是也对应着两条直线从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标； (2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着独立的概念，但在本质上，后者是前者的特殊情况，从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题，体现出数形结合的思想 【中考变形】 1高铁的开通，给衢州市民出行
2、带来了极大的方便五一期间，乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩，乐乐乘私家车从衢州出发 1 h 后，颖颖乘坐高铁从衢州出发，先到杭州火车东站，然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计)，两人恰好同时到达游乐园，他们离开衢州的距离 y(km)与乘车时间 t(h)的关系如图 Z52 所示请结合图象解决下列问题： 图 Z52 (1)高铁的平均速度是每小时多少千米？ (2)当颖颖到达杭州火车东站时，乐乐距离游乐园还有多少千米？来源:学科网 ZXXK (3)若乐乐要提前 18 min 到达游乐园，问私家车的速度必须达到多少？ 解：(1)v24021240(km/h)， 答：高铁的平均速度为 240 km/
3、h； (2)设乐乐离开衢州的距离 y 与时间 t 的函数关系为 ykt，则 1.5k120，k80，函数表达式为 y80t， 当 t2 时，y160，21616056(km) 答：乐乐距离游乐园还有 56 km； (3)把 y216 代入 y80t，得 t2.7， 2718602.4(h)，2162.490(km/h) 答：乐乐要提前 18 min 到达游乐园，私家车的速度必须达到 90 km/h. 22017 宿迁小强与小刚都住在安康小区，在同一所学校读书，某天早上，小强 7：30 从安康小区站乘坐校车去学校，途中需停靠两个站点才能到达学校站点，且每个站点停留 2 min，校车行驶途中始终保
4、持匀速，当天早上，小刚7：39 从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发，出租车匀速行驶，比小强乘坐的校车早 1 min 到学校站点，他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程 y(km)与行驶时间 x(min)之间的函数图象如图 Z53 所示 图 Z53 (1)求点 A 的纵坐标 m 的值； (2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程 解：(1)校车的速度为 3 40.75(km/min)， 点 A 的纵坐标 m 的值为 30.75(86)4.5. 答：点 A 的纵坐标 m 的值为 4.5； (2)校车到达学校站点所需时间为 9 0.75416(min
5、)， 出租车到达学校站点所需时间为 16916(min)， 出租车的速度为 9 61.5(km/min)， 两车相遇时出租车出发时间为 0.75(94) (1.50.75)5(min)， 相遇地点离学校站点的路程为 91.551.5(km) 答：小刚乘坐出租车出发后经过 5 min 追到小强所乘坐的校车，此时他们距学校站点的路程为 1.5 km.来源:学*科*网 3方成同学看到一则材料：甲开汽车，乙骑自行车从 M 地出发沿一条公路匀速前往 N 地设乙行驶的时间为 t(h)，甲乙两人之间的距离为 y(km)，y 与 t 的函数关系如图 Z54所示方成思考后发现了图的部分信息：乙先出发1 h；甲出
6、发 0.5 h 与乙相遇 请你帮助方成同学解决以下问题： (1)分别求出线段 BC，CD 所在直线的函数表达式； (2)当 20y30 时，求 t 的取值范围； (3)分别求出甲，乙行驶的路程 s甲，s乙与时间 t 的函数表达式，并在图所给的直角坐标系中分别画出它们的图象； (4)丙骑摩托车与乙同时出发， 从 N 地沿同一公路匀速前往 M 地， 若丙经过43 h与乙相遇，问丙出发后多少时间与甲相遇？ 图 Z54 解：(1)设直线 BC 的函数表达式为 yktb， 把32，0 ，73，1003分别代入，得032kb，100373kb， 解得k40，b60， 直线 BC 的表达式为 y40t60.
7、 设直线 CD 的函数表达式为 y1k1tb1，来源:学科网 ZXXK 把73，1003，(4，0)分别代入，得100373k1b1，04k1b1， 解得k120，b180，直线 CD 的函数表达式为 y120t80； (2)设甲的速度为 a km/h，乙的速度为 b km/h，根据题意，得 0.5a1.5b，a731 73b1003，解得a60，b20， 甲的速度为 60 km/h，乙的速度为 20 km/h， OA 的函数表达式为 y20t(0t1)， 点 A 的纵坐标为 20，OA 段，AB 段没有符合条件的 t 值； 当 20y30 时， 即 2040t6030 或 2020t8030
8、， 解得 2t94或52t3； (3)根据题意，得 s甲60t601t73， s乙20t(0t4)，所画图象如答图所示； 中考变形 3 答图 (4)当 t43时，s乙803，此时丙距 M 地的路程 s丙与时间 t 的函数表达式为 s丙40t80(0t2)， 当40t8060t60 时，解得 t75， 答：丙出发75 h 与甲相遇 【中考预测】 2017 义乌模拟甲、乙两组同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的 2 倍两组各自加工零件的数量 y(件)与时间 x(h)的函数图象如图 Z55 所示 图 Z55 (1)直接写出甲组加工零件的数量 y 与时间
9、x 之间的函数关系式_y60 x(0 x6)_； (2)求乙组加工零件总量 a 的值； (3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每满 300 件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第 1 箱？ 解：(1)图象经过原点及(6，360)， 设表达式为 ykx，6k360，解得 k60， y60 x(0 x6)； (2)乙 2 h 加工 100 件， 乙的加工速度是每小时 50 件， 更换设备后，乙组的工作速度是每小时加工 100 件， a100100(4.82.8)300； (3)乙组更换设备后， 乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y100100(x2.8)100 x
10、180， 当 0 x2 时，60 x50 x300， 解得 x3011(不合题意，舍去)； 当 2x2.8 时，10060 x300， 解得 x103(不合题意，舍去)； 当 2.8x4.8 时，60 x100 x180300， 解得 x3，符合题意 答：经过 3 h 恰好装满第 1 箱 类型之二 一次函数的性质的应用 【经典母题】 某商场要印制商品宣传材料，甲印刷厂的收费标准是：每份材料收 1 元印制费， 另收 1 500 元制版费； 乙印刷厂的收费标准是： 每份材料收 2.5 元印制费，不收制版费 (1)分别写出两厂的收费 y(元)与印制数量 x(份)之间的关系式； (2)在同一直角坐标系
11、中画出它们的图象； (3)根据图象回答下列问题：印制 800 份宣传材料时，选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费 3 000 元用于印刷上述宣传材料， 找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？ 解：(1)甲厂的收费函数表达式为 y甲x1 500， 乙厂的收费函数表达式为 y乙2.5x；来源:学科网 ZXXK (2)图略； (3)当 x800 时， y甲x1 5008001 5002 300(元)， y乙2.5x2.58002 000(元)； 当 y3 000 时， y甲x1 5003 000，解得 x1 500， y乙2.5x3 000，解得 x1 200， 答：印制 800 份材料时，选择乙厂合
12、算；花费 3 000 元时，甲厂印制的宣传材料多一些 【思想方法】 解此类一次函数在实际生活中的应用的问题，需综合运用方程等知识，体现了数形结合思想 【中考变形】 1某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机，这两种手机的进价和售价如下表所示： 甲 乙 进价(元/部) 4 000 2 500 售价(元/部) 4 300 3 000 该商场计划购进两种手机若干部，共需 15.5 万元，预计全部销售后可获毛利润共 2.1 万元毛利润(售价进价)销售量 (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？ (2)通过市场调研，该商场决定在原计划的基础上，减少甲种手机的购进数量，增加乙种手机的购进数量已知乙种手机增加
13、的数量是甲种手机减少的数量的 2 倍， 而且用于购进这两种手机的总资金不超过 16 万元， 该商场怎样进货，才能使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润 解：(1)设商场计划购进甲种手机 x 部，乙种手机 y 部， 由题意，得0.4x0.25y15.5，0.03x0.05y2.1，解得x20，y30. 答：商场计划购进甲种手机 20 部，乙种手机 30 部； (2)设甲种手机的购进数量减少 a 部，则乙种手机的购进数量增加 2a 部， 由题意，得 0.4(20a)0.25(302a)16，解得 a5.来源:学.科.网 Z.X.X.K 设全部销售后获得的毛利润为 W 万元，由题意，得 W0.
14、03(20a)0.05(302a)0.07a2.1. k0.070，W 随 a 的增大而增大， 当 a5 时，W最大2.45 万元 答：该商场购进甲种手机 15 部，乙种手机 40 部可使获得的毛利润最大，最大毛利润为 2.45 万元 22017 绵阳江南农场收割小麦，已知 1 台大型收割机和 3 台小型收割机 1 h可以收割小麦 1.4 公顷，2 台大型收割机和 5 台小型收割机 1 h 可以收割小麦2.5 公顷 (1)每台大型收割机和每台小型收割机 1 h 收割小麦各多少公顷？ (2)大型收割机每小时费用为 300 元，小型收割机每小时费用为 200 元两种型号的收割机一共有 10 台，要
15、求 2 h 完成 8 公顷小麦的收割任务，且总费用不超过 5 400 元有几种方案？请指出费用最低的一种，并求出相应的费用 解：(1)设 1 台大型收割机每小时收割小麦 a 公顷，1 台小型收割机每小时收割小麦 b 公顷， 根据题意，得a3b1.4，2a5b2.5，解得a0.5，b0.3. 答：1 台大型收割机每小时收割小麦 0.5 公顷，1 台小型收割机每小时收割小麦 0.3 公顷 (2)设需要大型收割机 x 台，则需要小型收割机(10 x)台，根据题意， 得600 x400（10 x）5 400，x0.6（10 x）8，解得 5x7， 又x 取整数，x5，6，7，一共有 3 种方案 设费用
16、为 W 元，则 W600 x400(10 x)200 x4 000.由一次函数性质知，W 随 x 增大而增大当 x5 时，W 值最小，即大型收割机 5 台，小型收割机 5 台时，费用最低， 此时，所有费用 W600540055 000(元) 答：采用大型、小型收割机各 5 台时费用最低，最低费用为 5 000 元 【中考预测】 某商店销售 10 台 A 型和 20 台 B 型电脑的利润为 4 000 元， 销售 20 台 A 型和10 台 B 型电脑的利润为 3 500 元 (1)求每台 A 型电脑和 B 型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共 100 台，其中 B 型电
17、脑的进货量不超过 A 型电脑的 2 倍，设购进 A 型电脑 x 台，这 100 台电脑的销售总利润为y 元 求 y 关于 x 的函数关系式； 该商店购进 A 型，B 型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？ 解：(1)设每台 A 型电脑销售利润为 m 元，每台 B 型电脑的销售利润为 n 元， 根据题意，得10m20n4 000，20m10n3 500，解得m100，n150. 答： 每台 A 型电脑的销售利润为 100 元， 每台 B 型电脑的销售利润为 150 元； (2)根据题意，得 y100 x150(100 x)， 即 y50 x15 000. 根据题意，得 100 x2x，解得 x3313， y50 x15 000，y 随 x 的增大而减小， x 为正整数， 当 x34 时，y 有最大值，则 100 x66. 答：商店购进 34 台 A 型电脑和 66 台 B 型电脑时，销售利润最大