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1、专题第一讲 规律探索型问题【要点梳理】规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型1数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题2数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容3图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特
2、点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合4数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题【学法指导】规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确【考点解析】数字猜想型问题（2017日照）观察下面“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出a的值为
3、（）A23B75C77D139【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】由图可知：上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，上边的数为连续的奇数，左边的数为21，22，23，26，由此可得a，b【解答】解：上边的数为连续的奇数1，3，5，7，9，11，左边的数为21，22，23，b=26=64，上边的数与左边的数的和正好等于右边的数，a=11+64=75，故选B数式规律型问题（2017贵州）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的详解九章算术一书中，用如图的三角形解释二项和（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”根据“杨辉三角”请计算（a+
4、b）20的展开式中第三项的系数为（）A2017B2016C191D190【考点】4C：完全平方公式【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）20的展开式中第三项的系数；【解答】解：找规律发现（a+b）3的第三项系数为3=1+2；（a+b）4的第三项系数为6=1+2+3；（a+b）5的第三项系数为10=1+2+3+4；不难发现（a+b）n的第三项系数为1+2+3+（n2）+（n1），（a+b）20第三项系数为1+2+3+20=190，故选 D图形规律型问题（2017山东临沂）将一些相同的“”按如图所示摆放，观察每个图形中的“”的个数，若第n个图形中“”的个数是78，则n的值是（）A11B12C1
5、3D14【分析】根据小圆个数变化规律进而表示出第n个图形中小圆的个数，进而得出答案【解答】解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1+2=3个小圆；第3个图形有1+2+3=6个小圆；第4个图形有1+2+3+4=10个小圆；第n个图形有1+2+3+n=个小圆；第n个图形中“”的个数是78，78=，解得：n1=12，n2=13（不合题意舍去），故选：B【点评】此题主要考查了图形变化类，正确得出小圆个数变化规律是解题关键数形结合猜想型问题（2017内江）如图，过点A0（2，0）作直线l：y=x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3l，垂足为点A3，这样依次下去，
6、得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，则线段A2016A2107的长为（）A（）2015B（）2016C（）2017D（）2018【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征【分析】根据含30°的直角三角形的性质结合图形即可得到规律“OAn=（）nOA=2（）n，依此规律即可解决问题【解答】解：由y=x，得l的倾斜角为30°，点A坐标为（2，0），OA=2，OA1=OA=，OA2=OA1，OA3=OA2，OA4=OA3，OAn=（）nOA=2（）nOA2016=2×（）2016，A2016A2107的长×2×（）2016=（）2016，故选：
7、B【真题训练】训练一：（2017年江苏扬州）在一列数：a1，a2，a3，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A1B3C7D9训练二：（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= ；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an= ；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+an训练三：（2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数
8、量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A84株B88株C92株D121株训练四：（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，在直线l上，点B1，B2，B3，在x轴的正半轴上，若A1OB1，A2B1B2，A3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn1Bn顶点Bn的横坐标为 训练五：我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（2，0）和（1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=2x上时，求b的值；（3）如图，现
9、有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、，An在直线y=2x上，横坐标依次为1，2，3，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长参考答案：训练一：（2017年江苏扬州）在一列数：a1，a2，a3，an中，a1=3，a2=7，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2017个数是（）A1B3C7D9【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】本题可分别求出n=3、4、5时的情况，观察它是否具有周期
10、性，再把2017代入求解即可【解答】解：依题意得：a1=3，a2=7，a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7；周期为6；2017÷6=3361，所以a2017=a1=3故选B训练二：（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6=；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=（得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+an【考点】37：规律型：数字的变化类【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规
11、律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得【解答】解：（1）由题意知，a6=，故答案为：，；（2）an=，故答案为：，；（3）原式=+=，故答案为：；（4）原式=+=训练三：（2017湖北随州）在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数（n）和芍药的数量规律，那么当n=11时，芍药的数量为（）A84株B88株C92株D121株【考点】38：规律型：图形的变化类【分析】根据题目中的图形，可以发现其中的规律，从而可以求得当n=11时的芍药的数量【解答】解：由图可得，芍药的数量为：4+（2n1）×4，当n=11时，芍
12、药的数量为：4+（2×111）×4=4+（221）×4=4+21×4=4+84=88，故选B训练四：（2017贵州安顺）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，在直线l上，点B1，B2，B3，在x轴的正半轴上，若A1OB1，A2B1B2，A3B2B3，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x轴上，则第n个等腰直角三角形AnBn1Bn顶点Bn的横坐标为2n+12【考点】D2：规律型：点的坐标【分析】先求出B1、B2、B3的坐标，探究规律后，即可根据规律解决问题【解答】解：由题意得OA=OA1=2，OB1=OA1
13、=2，B1B2=B1A2=4，B2A3=B2B3=8，B1（2，0），B2（6，0），B3（14，0），2=222，6=232，14=242，Bn的横坐标为2n+12故答案为 2n+12训练五：我们知道，经过原点的抛物线可以用y=ax2+bx（a0）表示，对于这样的抛物线：（1）当抛物线经过点（2，0）和（1，3）时，求抛物线的表达式；（2）当抛物线的顶点在直线y=2x上时，求b的值；（3）如图，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1、A2、，An在直线y=2x上，横坐标依次为1，2，3，n（n为正整数，且n12），分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1、B2，Bn，以线段AnBn为边向左作正
14、方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长21教育网【考点】HF：二次函数综合题【分析】（1）把点（2，0）和（1，3）分别代入y=ax2+bx，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据二次函数的性质，得出抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（，），把顶点坐标代入y=2x，得出=2×（），即可求出b的值；（3）由于这组抛物线的顶点A1、A2、，An在直线y=2x上，根据（2）的结论可知，b=4或b=0当b=0时，不合题意舍去；当b=4时，抛物线的表达式为y=ax24x由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（n，2
15、n），则Dn（3n，2n），因为以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（nk，2n+2k），根据=nk，得出a=，即第n+k条抛物线的表达式为y=x24x，根据Dn（3n，2n）在第n+k条抛物线上，得到2n=×（3n）24×（3n），解得k=n，进而求解即可【解答】解：（1）抛物线y=ax2+bx经过点（2，0）和（1，3），解得，抛物线的表达式为y=3x26x；（2）抛物线y=ax2+bx的顶点坐标是（，），且该点在直线y=2x上，=2×（），a0，b2=4b，解得b1=4，b
16、2=0；（3）这组抛物线的顶点A1、A2、，An在直线y=2x上，由（2）可知，b=4或b=0当b=0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；当b=4时，抛物线的表达式为y=ax24x由题意可知，第n条抛物线的顶点为An（n，2n），则Dn（3n，2n），以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第n+k（k为正整数）条抛物线经过点Dn，此时第n+k条抛物线的顶点坐标是An+k（nk，2n+2k），=nk，a=，第n+k条抛物线的表达式为y=x24x，Dn（3n，2n）在第n+k条抛物线上，2n=×（3n）24×（3n），解得k=n，n，k为正整数，且n12，n1=5，n2=10当n=5时，k=4，n+k=9；当n=10时，k=8，n+k=1812（舍去），D5（15，10），正方形的边长是10