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1、第 46 课时 二次函数综合型问题 (50 分) 一、选择题(每题 10 分，共 10 分) 12015 嘉兴如图 461，抛物线 yx22xm1 交x 轴于点 A(a，0)和 B(b，0)，交 y 轴于点 C，抛物线的顶点为 D.下列四个判断：当 x0 时，y0；若 a1，则 b4；抛物线上有两点 P(x1，y1)和 Q(x2，y2)若 x112，则 y1y2；点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 E， 点 G， F 分别在 x 轴和 y 轴上， 当 m2 时， 四边形 EDFG 周长最小值为 6 2.其中正确判断的序号是 (C) A B C D 【解析】 根据二次函数所作象限，判断出 y 的
2、符号； 根据 A，B 关于对称轴对称，求出 b 的值； 根据x1x221，得到 x11x2，从而得到 Q 点距离对称轴较远，进而判断出 y1y2； 作 D 关于 y 轴的对称点 D，E 关于 x 轴的对称点 E，连结 DE，DE与DE 的和即为四边形 EDFG 周长的最小值求出 D，E，D，E的坐标即可解答 二、填空题(每题 10 分，共 10 分) 22015 衢州如图 462，已知直线 y34x3 分图 461 图 462 别交 x 轴，y 轴于点 A，B，P 是抛物线 y12x22x5 上一个动点，其横坐标是 a， 过点 P 且平行 y 轴的直线交直线 y34x3 于点 Q， 则 PQB
3、Q 时，a 的值是_4，1，42 5或 42 5_. 【解析】 P 点横坐标为 a，因为 P 点在抛物线 y12x22x5 上，所以 P点坐标为a，12a22a5 ，又 PQy 轴，且 Q 点在函数 y34x3 上，所以点 Q 坐标为a，34a3 ，B点 坐 标 为 (0 ， 3) ， 根 据 平 面 内 两 点 间 的 距 离 公 式 ， 可 得 PQ 12a2114a22，BQa234a2，根据题意，PQBQ，所以 12a2114a22a234a2，解得 a 的值分别为1，4，42 5或 42 5. 三、解答题(共 30 分) 3(15 分)2014 内江改编如图 463，抛物线 yax2
4、bxc 经过点 A(3，0)，C(0，4)，点 B 在抛物线上，CBx 轴且 AB 平分CAO. (1)求抛物线的解析式； (2)线段 AB 上有一动点 P，过 P 作 y 轴的平行线，交拋物线于点 Q，求线段PQ 的最大值 解：(1)A(3，0)，C(0，4)， AC5， AB 平分CAO， CABBAO， CBx 轴，CBABAO， CABCBA， ACBC5，B(5，4)， A(3，0)，C(0，4)，B(5，4)代入 yax2bxc 得 图 463 09a3bc，4c，425a5bc，解得a16，b56，c4. 所以 y16x256x4； (2)设 AB 的解析式为 ykxb，把 A(
5、3，0)，B(5，4)代入得03kb，45kb，解得k12，b32， 直线 AB 的解析式为 y12x32； 可设 Px，12x32，Qx，16x256x4 ， 则 PQ16x256x412x3216(x1)283，当 x1 时，PQ 最大，且最大值为83. 4(15 分)2015 福州改编如图 464，抛物线 yx24x 与 x 轴交于 O，A 两点，P 为抛物线上一点，过点 P 的直线 yxm 与对称轴交于点 Q. (1)这条抛物线的对称轴是_x2_； 直线 PQ 与 x 轴所夹锐角的度数是_45_； (2)若两个三角形面积满足 SPOQ13SPAQ，求 m 的值 解：(2)设直线 PQ
6、交 x 轴于点 B，分别过点 O，A 作 PQ 的垂线，垂足分别为E，F. 当点 B 在 OA 的延长线上时，显然 SPOQ13SPAQ不成立 如答图所示， 当点 B 落在线段 OA 上时，SPOQSPAQOEAF13， 由OBEABF，得OBABOEAF13， 第 3 题答图 图 464 AB3OB. OB14OA. 由 yx24x 得点 A(4，0)， OB1， B(1，0) 1m0，m1； 如答图所示， 当点 B 落在线段 AO 的延长线上时， SPOQSPAQOEAF13， 由OBEABF，得OBABOEAF13， AB3OB. OB12OA. 由 yx24x 得点 A(4，0)， O
7、B2， B(2，0) 2m0， m2. 综上所述，当 m1 或 2 时，SPOQ13SPAQ. (30 分) 5(15 分)2015 株洲如图 465，已知抛物线的表达式为 yx26xc. (1)若抛物线与 x 轴有交点，求 c 的取值范围； (2)设抛物线与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x1，x2，若 x21x2226，求 c 的值； (3)若 P，Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，PA，QB都垂直于x轴， 垂足分别为A， B， 且OPA与OQB全等，求证：c214. 第 4 题答图 第 4 题答图 图 465 解：(1)yx26xc 与 x 轴有交点， x26xc0 有实数根， b2
8、4ac0， 即 624(1)c0， 解得 c9； (2)x26xc0 有解，且 x21x2226， c9，(x1x2)22x1x226， 即6122c126， 解得 c5； (3)设 P 的坐标为(m，n)，则 Q 点坐标为(n，m)，且 m0，n0，mn， 将这两个点的坐标代入方程得 m26mcn，n26ncm， 得 n2m27(mn)0， (mn)(mn7)0， mn7， n7m， 代入方程得， m27m(c7)0， 存在这样的点，以上方程有解， 724(1)(c7)0， 解得 c214， 而当 c214时，m72，此时 n72， 故 c214. 6(15 分)2015 温州如图 466
9、抛物线 yx26x 交 x 轴正半轴于点 A， 顶点为 M， 对称轴 MB 交 x 轴于点 B， 过点 C(2，图 466 0)作射线 CD 交 MB 于点 D(D 在 x 轴上方)，OECD 交 MB 于点 E，EFx轴交 CD 的延长线于点 F，作直线 MF. (1)求点 A，M 的坐标； (2)当 BD 为何值时，点 F 恰好落在该抛物线上？ (3)当 BD1 时， 求直线 MF 的解析式，并判断点 A 是否落在该直线上； 延长 OE 交 FM 于点 G，取 CF 中点 P，连结 PG，FPG，四边形 DEGP，四边形 OCDE 的面积分别记为 S1，S2，S3，则 S1S2S3_348
10、_. 解：(1)令 y0，则x26x0，解得 x10，x26，A(6，0)，对称轴是直线 x3，M(3，9)； (2)OECF，OCEF，C(2，0)， EFOC2，BC1， 点 F 的横坐标为 5， 点 F 落在抛物线 yx26x 上， F(5，5)，BE5.BDDECBOC12， DE2BD，BE3BD，BD53； (3)当 BD1 时，BE3，F(5，3) 设 MF 的解析式为 ykxb，将 M(3，9)，F(5，3)代入， 得93kb，35kb，解得k3，b18， y3x18. 当 x6 时，y36180，点 A 落在直线MF 上； BD1，BC1， BDC 为等腰直角三角形， OBE
11、 为等腰直角三角形， CD 2，CFOE3 2， 第 6 题答图 DP122，PF322， 根据 MF 及 OE 的解析式求得点 G 的坐标为92，92， 作 GNEF 交 EF 于点 N，则 ENGN32，所以 EG322，SFPG，S梯形DEGP，S梯形OCDE的高相等，所以三者面积比等于底之比， 故 SFPGS梯形DEGPS梯形OCDE PF(DPEG)(DCOE) 32212322(31) 2 3224348. (20 分) 7(20 分)2015 成都如图 467，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 yax22ax3a(a0)与 x 轴交于 A， B 两点(点 A 在点 B 的左侧
12、)， 经过点 A 的直线 l：ykxb 与 y 轴负半轴交于点 C， 与抛物线的另一个交点为 D， 且 CD4AC. 图 467 备用图 (1)直接写出点 A 的坐标，并求直线 l 的函数表达式(其中 k，b 用含 a 的式子表示)； (2)点 E 是直线 l 上方的抛物线上的动点，若ACE 的面积的最大值为54，求 a的值； (3)设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由 解：(1)令 ax22ax3a0， 解得 x11，x23， A 点坐标为(1，0)； 直线 l 经过点 A，0kb
13、，bk， ykxk， 令 ax22ax3akxk，即 ax2(2ak)x3ak0， CD4AC，点 D 的横坐标为 4， 3ka14，ka， 直线 l 的函数表达式为 yaxa； (2)如答图，过点 E 作 EFy 轴，交直线 l 于点 F， 设 E(x，ax22ax3a)，则 F(x，axa)， EFax22ax3a(axa)ax23ax4a， SACESAFESCFE12(ax23ax4a)(x1)12(ax23ax4a)x12(ax23ax4a)12ax322258a， ACE 的面积的最大值为258a. ACE 的面积的最大值为54， 258a54，解得 a25； (3)令 ax22a
14、x3aaxa， 即 ax23ax4a0， 解得 x11，x24， D(4，5a)， yax22ax3a，抛物线的对称轴为 x1， 设 P(1，m)， 如答图，若 AD 是矩形的一条边，则 Q(4，21a)， m21a5a26a，则 P(1，26a)， 四边形 ADPQ 为矩形，ADP90， AD2PD2AP2， 52(5a)2(14)2(26a5a)2(11)2(26a)2， 第 7 题答图 即 a217，a0，a77， P11，26 77； 第 7 题答图 如答图，若 AD 是矩形的一条对角线， 则线段 AD 的中点坐标为32，5a2，Q(2，3a)， m5a(3a)8a，则 P(1，8a)， 四边形 APDQ 为矩形，APD90， AP2PD2AD2， (11)2(8a)2(14)2(8a5a)252(5a)2， 即 a214，a0，a12， P2(1，4)， 综上所述，以点 A，D，P，Q 为顶点的四边形能成为矩形，点 P 的坐标为1，26 77或(1，4)