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1、备战2020年中考物理：第12章简单机械检测题（含解析）姓名：_ 班级：_考号：_题号一二三四五六总分评分 一、单选题（共7题；共21分）1.下列图中使用的工具中属于费力杠杆的是（ ） A. 起子 B. 道钉撬 C. 筷子
2、60; D. 钢丝钳2.下列所示的工具中，在使用时属于费力杠杆的是（ ） A. B. C. D. 3.下列测量工具没有利用杠杆原理的是( )A.
3、弹簧测力计 B. 杆秤
4、60; C. 台秤 D. 托盘天平4.如图所示的各种用具在使用中，属于省力杠杆的是（ ） A
5、. 托盘天平 B. 钢丝钳C. 镊子
6、0; D. 钓鱼竿5.（2015常州）如图所示，OAB为轻质杠杆，可绕支点O自由转动，在B端施加一个动力使杠杆在水平位置平衡，该杠杆（）A. 一定是省力杠杆 B.&
7、#160;一定是费力杠杆 C. 一定是等臂杠杆 D. 以上情况都有可能6.（2017来宾）下列关于机械效率的说法正确的是（ ） A. 越省力的机械，机械效率越高
8、60; B. 做功越少的机械，机械效率越低C. 做功越慢的机械，机械效率越低 &
9、#160; D. 总功相同，有用功越大的机械，机械效率越高7.两个质量相等的实心的铜球和铁球（铜铁），分别挂在杠杆的两端，杠杆平衡。现将两球同时浸没在水中，杠杆（ ）A. 不平衡，挂铜球一端下降 B. 不平衡，挂铁球一端下降 C. 仍然平衡
10、 D. 无法判断二、填空题（共7题；共12分）8.在学过的杠杆、滑轮和轮轴中_是最基本的一种 9.如图所示，OB为一轻质杠杆，O为支点，OA=0.6m，OB=0.8m，将重30N的物体悬挂在B点，当杠杆在水平位置平衡时，在A点至少需加_N的拉力，这是一个_（填“省力”或“费力”）杠杆。10.道钉撬、钢丝钳、开瓶起子、筷子、钥匙，其中属于费力杠杆的是_，属于轮轴的是_。 11.为了寻找“手臂上的杠杆”做了如下实验：小明右手拿着书，先让手下垂，左手掌贴着右上臂的前部(肱二
11、头肌)，将右下臂慢慢抬起到水平位置，他感觉到右上臂的肱二头肌越来越紧张。请你结合如图所示，利用杠杆原理解释产生这一现象的主要原因_。12.（2013成都）如图1所示，小明在用杠杆撬一块大石头，他使用的是_杠杆（选填“省力”“费力”或“等臂”）如图2所示，使用定滑轮可以_（选填“省力”“省距离”或“改变力的方向”） 13.（2015北京）如图是挖井时从井中提升沙土的杠杆示意图杠杆AB可以在竖直平面内绕固定点O转动，已知AO：OB=3：2，悬挂在A端的桶与沙土所受的重力为200N，悬挂在B端的配重所受的重力为80N当杠杆AB在水平位置平衡时，加在配重下面绳端的竖直向下的拉力F是_ N（不
12、计杆重和绳重）14.用图所示的滑轮组将重G=12N的物体匀速提升20cm，所用的拉力F=5N们则所做的有用功为_J；此时滑轮组的机械效率为_；当改为提升27N的重物时，该滑轮组的机械效率为_.（忽略摩擦阻力）三、计算题（共2题；共10分）15.如图所示的杠杆，在水平位置上处于平衡状态，杠杆重不计 . 物体A重80N，AO0.8m，BO0.4m , 求物体B受到的重力？16.小明家新买的房子准备装修，为了将水泥从地面送上楼，他在楼上安装了一个滑轮组，所用的滑轮每只质量为2 kg，每次将一袋50 kg的水泥提升5m。求：(不计绳重和摩擦，g取10 N/kg)（1）每袋水泥受到的重力大小； （2）每
13、次做的有用功； （3）滑轮组的机械效率。 四、作图题（共2题；共8分）17.请在图中画出用滑轮组提升物体G最省力的绕绳方法。18.根据要求作图，如图甲所示，用一根以O为支点的撬棒撬一大石块，作出作用在A端的最小动力F1及杠杆受到的阻力F2 五、实验探究题（共3题；共18分）19.在探究“杠杆平衡条件”的实验中，杠杆上每格等距： （1）实验前没挂钩码时，发现杠杆左端上翘，应将左端平衡螺母向_旋一些（选填“左”，“右”），使杠杆在_位置平衡，实验中仍调到此位置平衡目的是_、_ （2）实验中，用如图所示的方式悬挂钩码，杠杆也能平衡，但采用这种方式是不妥当的这主要是因为
14、0; A. 一个人无法独立操作 B. 需要
15、使用太多的钩码C. 力臂与杠杆不重合 D
16、. 力和力臂数目过多（3）图中，不改变支点O右侧所挂的两个钩码及其位置，保持左侧第_格的钩码不动，将左侧另外两个钩码改挂到它的下方，杠杆仍然可以平衡 20.如图是“探究杠杆平衡条件“的实验装置（实验中钩码完全相同，个数不限） （1）在实验前，发现杠杆左端略高于右端，应将螺母向_调节，直到杠杆在水平位置平衡 （2）在图甲中的A处挂2个钩码，要使杠杆水平平衡，在B处应挂_个钩码 （3）在图乙中的C处施加竖直向下的拉力F，使杠杆水平平衡当拉力F向右倾斜时，仍要保持杠杆水平平衡，拉力F的大小将_，原因是_ （4）若保持左侧在A点悬挂2个钩码不变某同学依次在O点右侧第一格、第二格、第三格、第四
17、格处悬挂相应的钩码使杠杆仍在水平位置平衡，请算出相应钩码的个数，并将对应的数据在坐标纸图丙描点，绘出钩码个数与力臂格数的图象 21.如图甲所示，为测量滑轮组机械效率的实验装置，钩码总重9N（1）若拉力大小为5N，该滑轮组的机械效率为_；（2）若不考虑绳重.绳子和滑轮之间的摩擦，只改变滑轮组绳子的绕法（如图乙所示），该滑轮组的机械效率将_；若只增加钩码的个数，该滑轮組的机械效率将_（选填“增大“.“减小“.“不变“）六、综合题（共3题；共31分）22.动滑轮实质上是一个杠杆,O点可看成是这个杠杆的支点,如图所示是利用动滑轮匀速提升重为G的重物的示意图。 （1）请画出动力F与阻力F
18、9;的力臂; （2）如果动滑轮自重、绳重及摩擦不计,则当拉力F的方向竖直向上时,求F与G的关系。 23.下表是小明测一滑轮组机械效率时收集的有关数据（1）请在图中画出实验中滑轮组的绕绳方法_ （2）将表格中的数据补充完整_ （3）用同一滑轮组提升不同重物至同一高度，提升的物重增加时，除克服动滑轮重所做的额外功外，其它额外功将_（选填“变大”、“变小”或“不变”）进一步分析可知，在动滑轮和绳重一定的情况下，该滑轮组的机械效率与_和_有关 （4）第一次实验中，钩码上升0.1m所用的时间为1.5s，则动力的功率为_W 24.在建设工地上，工人把重 1000N 的物体沿着长 s=5m、高 h=1m 的
19、斜面从底部匀速拉上斜面的顶端，沿斜面所用的拉力为 250N（不计空气阻力）求：（1）将物体从斜面底部匀速拉到斜面顶端的过程中，拉力做了多少功？ （2）工人使用斜面做功的机械效率是多少？ （3）物体和斜面之间的摩擦力是多大？ 答案解析部分一、单选题1.【答案】C 【解析】【解答】A. 瓶起子的动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆；B. 道钉撬的动力臂大于阻力臂，是省力杠杆；C. 筷子的动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆；D. 钢丝钳的动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆；故答案为：C.【分析】此题考查的是杠杆的分类主要包括以下几种：省力杠杆，动力臂大于阻力臂；费力杠杆，动力臂小于阻力臂；等臂杠杆，动力臂等于阻力
20、臂2.【答案】C 【解析】【解答】解：A、天平在使用过程种，动力臂等于阻力臂，是等臂杠杆，既不省力也不费力，故A错误； B、瓶起子在使用过程种，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故B错误；C、食品夹在使用过程种，动力臂小于阻力臂，属于费力杠杆，故C正确；D、钳子在使用过程种，动力臂大于阻力臂，属于省力杠杆，故D错误；故选C【分析】判断杠杆的种类，可结合生活经验，根据杠杆的动力臂和阻力臂大小关系，若动力臂大于阻力臂，则是省力杠杆，若动力臂小于阻力臂，则是费力杠杆，若动力臂等于阻力臂，则是等臂杠杆3.【答案】 A 【解析】【分析】（1）杆秤、台秤、托盘天平都可以简化成在力的作用下，能绕某一固定点转动
21、的硬棒，符合杠杆的定义，利用了杠杆原理；（2）弹簧测力计是根据弹簧受到的拉力越大，弹簧的伸长就越长的原理制成的所以选A【点评】本题考查了学生对生活和实验中常见工具、器材原理的掌握和了解在力的作用下，能绕某一固定点转动的硬棒，物理学中叫做杠杆，杠杆不一定是直棒4.【答案】B 【解析】【解答】解：A、托盘天平在使用过程中，动力臂等于阻力臂，是等臂杠杆； B、钢丝钳在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆；C、镊子在使用过程中，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆；D、钓鱼竿在使用过程中，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆故选B【分析】结合图片和生活经验，先判断杠杆在使用过程中，动力臂和阻力臂的大小关系，再判断
22、它是属于哪种类型的杠杆5.【答案】 D 【解析】【解答】解：B点力的方向不同，力臂的大小则不同，不能确定动力臂与阻力臂的大小关系，所以此时杠杆可能省力，可能费力，可能既不省力也不费力故ABC不符合题意，D符合题意故选D【分析】使用杠杆时，如果动力臂大于阻力臂，为省力杠杆；如果动力臂等于阻力臂，为等臂杠杆；如果动力臂小于阻力臂，为费力杠杆；因为在B点用力的方向不确定，所以其省费力情况要根据用力的方向确定据此分析6.【答案】D 【解析】【解答】解： A、机械效率是有用功与总功的比值，机械省力与否与机械效率大小没有关系，故A错误；B、机械效率越低，说明做的功中有用功所占的比例越低，并不一定就是做的功
23、少故B错误；C、做功越慢的机械功率越小，功率与机械效率是两个没有关系的概念，不能说做功越慢的机械机械效率越低，故C错误；D、机械效率是有用功与总功的比值，在总功相同时，有用功越大，机械效率就越高，故D正确故选D【分析】根据功、功率、机械效率的关系分析功率是单位时间内做的功的多少，表示做功的快慢；机械效率是有用功与总功的比值功率与机械效率是完全不同、毫无联系的两个不同概念7.【答案】 A 【解析】【分析】根据原来杠杆处于平衡状态，利用杠杆的平衡条件可以得到该杠杆是一个等臂杠杆然后求出铜块和铁块浸没在水中时，受到的浮力，比得出其浮力的大小关系；分别表示出铁块和铜块此时的力矩通过比较力矩的大小确定其
24、倾斜的方向由于两者质量相等，所以设铁块和铜块的质量为m，杠杆又处于平衡状态，根据杠杆的平衡条件可得：mgL1=mgL2 ， 所以该杠杆是一个等臂杠杆，即L1=L2=L铁块和铜块浸没在水中时，铁块受到的浮力：F铁=水gV铁=g， 同理铜块受到的浮力：F铜=水g， 由于铁铜，所以g水g， 即铁块受到的浮力大于铜块受到的浮力；此时作用在杠杆上的力是重力减去它们受到的浮力即：G-F浮 由此可知铁块产生的力矩（力臂和力的乘积）：（mg-g）L，同理铜块产生的力矩：（mg-水g），由于铜块受到的浮力小于铁块受到的浮力，所以：（mg-g）L（mg-水g）L，杠杆将向力矩大的一方，即铜块一侧倾斜，故铜块一端下
25、沉故选A【点评】本题是一道综合题，有一定的难度。二、填空题8.【答案】杠杆 【解析】【解答】解：滑轮、轮轴的实质都是变形杠杆，所以在学过的杠杆、滑轮和轮轴中杠杆是最基本的一种 故答案为：杠杆【分析】能够绕支点转动的硬棒叫做杠杆，滑轮、轮轴的实质都是变形杠杆9.【答案】40；费力 【解析】【解答】OAB是以O为支点的杠杆，杠杆在水平位置平衡时，当拉力竖直向上作用在杠杆上，力臂最长，力最小。所以动力臂是OA，阻力臂是OB，根据杠杆平衡条件可得，F×OA=G×OB所以 ；因为动力臂OA小于阻力臂OB，所以这是一个费力杠杆；故答案为：40；费力.【分析】根据杠杆的平衡条件计算杠杆上
26、动力的大小.10.【答案】 筷子；钥匙 【解析】【解答】道钉撬，在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆；钢丝钳在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆；瓶起子，在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆；筷子，在使用过程中，动力臂小于阻力臂，是费力杠杆； 钥匙，在使用过程中，动力臂大于阻力臂，是省力杠杆；故属于费力杠杆的是筷子；因为钥匙在使用过程中可以连续转动，故钥匙也属于轮轴。故答案为：筷子； 钥匙。【分析】结合生活经验，先判断杠杆在使用过程中，动力臂和阻力臂的大小关系和工作特点，再判断它是属于哪种类型的杠杆。11.【答案】由于阻力臂越来越大，动力就越来越大 【解析】【解答
27、】手臂相当于一个绕肘转动的杠杆，肱二头肌对上臂的拉力为动力F，书的重力为阻力。将右下臂慢慢抬起到水平位置，阻力和动力臂L1不变，阻力臂L2逐渐增大，根据杠杆平衡条件：FL1=G L2 ， 所以动力就越来越大；故答案为：由于阻力臂越来越大，动力就越来越大.【分析】根据杠杆的平衡条件，当阻力臂增大时，在动力臂不变时，动力增大.12.【答案】省力；改变力的方向 【解析】【解答】解：根据图1可知，动力臂大于阻力臂，因此小明在用杠杆撬一块大石头，他使用的是省力杠杆； 图2为定滑轮，定滑轮不省力，但可以改变力的方向故答案为：省力；改变力的方向【分析】杠杆可分为：省力杠杆、费力杠杆和等臂杠杆，当动力臂大于阻
28、力臂时，是省力杠杆；当动力臂等于阻力臂时，是等臂杠杆；当动力臂小于阻力臂时，是费力杠杆定滑轮不省力，但可以改变力的方向13.【答案】 220【解析】【解答】解：由杠杆平衡条件得：GAAO=（GB+F）OB，即：220N×AO=（80N+F）×OB，已知：AO：OB=3：2，解得：F=220N；故答案为：220【分析】应用杠杆平衡条件可以求出拉力大小14.【答案】2.4；80%；90% 【解析】【解答】（1）当提升G=12N的重物时，W有=Gh=12N×0.2m=2.4J；（2）由图知，n=3，不计绳重和轮与轴间的摩擦，拉力 ，则动滑轮的重力：G轮=3F-G=3&#
29、215;5N-12N=3N，此时滑轮组的机械效率： ；（3）提升重27N的物体时，不计绳重和轮与轴间的摩擦，拉力 ，此时滑轮组的机械效率： 故答案为：2.4；80%；90%【分析】（1）利用公式WGh计算提升物体做的有用功；（2）根据承担物重的绳子的条数得出h与s的关系，利用WFs计算拉力做的总功，有用功与总功的比值即为滑轮组的机械效率；（3）根据根据滑轮组工作的特点，结合拉力与物重的大小，求出动滑轮重，再计算出物重为27N时，拉力的大小，然后计算出总功和有用功，最后计算出此时的机械效率 .三、计算题15.【答案】160N 【解析】【解答】解：图中的杠杆在水平位置平衡，OA为GA的力臂，OB为
30、GB的力臂 . 由杠杆的平衡条件可知：, 即，解得：GB160N .故答案为：160N .【分析】找出图中杠杆的两个力和各自的力臂，利用杠杆的平衡条件F1l1=F2l2代入数据解答.16.【答案】（1）解：m=50kg，g=10N/kg，每袋水泥受重力的大小为：G=mg=50kg×10N/kg=500N.（2）解：h=5m，做的有用功为：W有用=Gh=500N×5m=2500J.（3）解：在不计绳重和摩擦的情况下，对动滑轮做的功为额外功，m动=2kg，对动滑轮做的功为额外功为：W额外=G动h=m动gh=2kg×10N/kg×5m=100J，则总功为：W总
31、=W有用+W额外=2500J+100J=2600J，滑轮组的机械效率为：= ×100%= 2500J2600J ×100%96.2%【解析】【分析】（1）用公式G=mg计算出其重力的大小；（2）利用公式W有用=Gh计算出做的有用功；利用公式W额外=Gh=mgh计算出滑轮组所做的额外功，再利用公式W总=W有用+W额外计算出总功，最后再利用公式=计算出滑轮组的机械效率.四、作图题17.【答案】【解析】【解答】最省力的绕发是3段绳子承担物体的重力。绳子的自由端从动滑轮连出。【分析】使用滑轮组最省力时，是动滑轮上绳的股数最多的时候。18.【答案】解：如图所示： 【解析】【解答】解：
32、由杠杆的平衡条件知，阻力与阻力臂一定时，动力臂最长时动力最小由图知，以支点O到动力作用点A的距离作为动力臂时，动力臂最长，由此作出最小力，方向垂直于OA向下； 阻力是石头对杠杆的压力，作用在石块与杠杆接触点上，方向垂直于杠杆向下，如图所示：【分析】根据杠杆平衡条件“动力×动力臂=阻力×阻力臂”可知：在阻力与阻力臂的乘积一定的情况下，要使动力最小，则动力臂必须最长，由此画出最大力臂从而画出最小力；阻力是由于石块对杠杆的压力，由此画出阻力F2 五、实验探究题19.【答案】（1）左；水平；消除杠杆自重对杠杆平衡的影响；便于测量力臂（2）D（3）2 【解析】【解答】（1）实验前没挂
33、钩码时，发现杠杆左端上翘，则重心应向右移动，应将左端平衡螺母向左旋一些，使杠杆在水平位置平衡；使杠杆两端在不挂钩码时在水平位置平衡，目的是消除杠杆自重的影响；在实验过程中，仍要使杠杆在水平位置平衡，目的是方便测量力臂；（2）实验中，如图所示的方式悬挂钩码，杠杆平衡是杠杆的左侧在多个力共同作用的结果，采用这种方式是不妥当的这主要是因为杠杆的力和力臂数目过多，故D正确；（3）不改变支点O右侧所挂的两个钩码及其位置，将左侧另外两个钩码改挂到第三个钩码的下方，即左侧的力是三个钩码，根据杠杆平衡的条件，F1×L1=F2×L2 ， 2个×3格=3个×n格，n=2；即
34、保持左侧第2格的钩码不动故答案为：（1）左；水平；消除杠杆自重对杠杆平衡的影响；便于测量力臂；（2）D；（3）2.【分析】探究杠杆平衡条件时，先把杠杆调成水平平衡，杠杆的平衡条件是动力乘以动力臂等于阻力乘以阻力臂.20.【答案】（1）左（2）3（3）变大；阻力和阻力臂不变时，动力臂会变小（4）由杠杆的平衡条件F1L1=F2L2知，杠杆左端挂两个钩码，其力为2G，力臂为3格右端力臂为1格，则力F2= ，即右端要挂6个钩码 由杠杆的平衡条件F1L1=F2L2知，杠杆左端挂两个钩码，其力为2G，力臂为2格右端力臂为2格，则力F2= ，即右端要挂3个钩码由杠杆的平衡条件F1L1=F2L2知，杠杆左端挂
35、两个钩码，其力为2G，力臂为3格右端力臂为3格，则力F2= ，即右端要挂2个钩码由杠杆的平衡条件F1L1不变，F2L2成反比；根据表格中数据进行描点，并用平滑的曲线连接起来，如图所示：【解析】【解答】解：（1）杠杆平衡的调节和天平调节类似，当杠杆左端略高于右端时，说明杠杆的右端力大而下沉，左端力小而上升应将螺母向左调节，相当于向左端增加了力，杠杆才能平衡（2）由杠杆的平衡条件F1L1=F2L2知，杠杆左端挂两个钩码，其力为2G，力臂为3格右端力臂为2格，则力F2= F1L1L2 ，即右端要挂3个钩码（3）在图乙中的C处施加竖直向下的拉力F，使杠杆水平平衡当拉力F向右倾斜时，其力臂的长度将会变小
36、，由于阻力和阻力臂都不变，所以动力会变大； 故答案：（1）左；（2）3；（3）变大；阻力和阻力臂不变时，动力臂会变小；（4）如上图【分析】（1）当杠杆左端略高于右端时，说明杠杆的右端力大而下沉，左端力小而上升应将螺母向左调节，杠杆才能平衡；（2）由杠杆的平衡条件可推出B处所挂钩码的个数；（3）当拉力F向右倾斜时，其力臂会变小要保持杠杆水平平衡，拉力F的大小就变大；（4）根据表格中数据进行描点，并用平滑的曲线连接起来；阻力和阻力臂的乘积不变时，从图象中选择动力和动力臂的对应值，得出动力跟动力臂的乘积也不变21.【答案】 （1）60%（2）不变；增大【解析】【解答】（1）若拉力大小为F=5N，该滑
37、轮组的机械效率为（2）若不考虑绳重.绳子和滑轮之间的摩擦，动滑轮一定，滑轮组的机械效率与绳子的绕法无关，物体越重滑轮组的机械效率越大故答案为：匀速直线；60%；不变；增大【分析】（1）一定要匀速竖直向上拉动，只有在匀速直线拉动时，拉力的大小等于弹簧测力计的示数，才能准确测出拉力的大小；利用滑轮组的机械效率计算公式 求出机械效率（2）若不考虑绳重.绳子和滑轮之间的摩擦，轮组的机械效率 ，可看出动滑轮一定，滑轮组的机械效率与绳子的绕法无关，物体G越重滑轮组的机械效率越大六、综合题22.【答案】（1）解:如图所示:（2）解:由杠杆平衡条件：F1L1F2L2 ， 得FL1FL2 ， 又FG、L12L2
38、 ， 则F G2 。 【解析】【解答】（1）动力F与阻力F的力臂如下图所示；【分析】力臂是支点到力的作用线的垂线，根据杠杆的平衡条件可以计算力的大小.23.【答案】 （1）如图所示：（2）66.7%（3）变大；物重；摩擦力（4）0.14 【解析】【解答】（1）由表格中数据可知，当物体上升的高度h=0.1m时，绳子自由端移动的距离为0.3m，s=3h，所以承担物重的绳子是3段，因此要从动滑轮绕起，如图所示：;（2）第3次实验的机械效率：=W有/W总×100%=Gh/Fs×100%=4N×0.1m/2N×0.3m×100%66.7% （3）滑轮组做
39、的额外功为克服动滑轮重力和绳子间的摩擦力做的功，摩擦力与绳子间的拉力和接触面的粗糙程度有关，因此提的物体越重，摩擦力越大，额外功也会变大，所以滑轮组的机械效率与物重和摩擦力有关.（4）动力的功率即总功的功率，根据P=W总/t得P=W总=Fs/t=0.7N×0.3m/1.5s=0.14W.故答案为：（1）.见解析；（2）.66.7%；（3）.变大；物重；摩擦力；（4）.0.14.【分析】（1）根据钩码上升高度和动力作用点移动的距离，确定绳子的股数；（2）根据有用功和总功，利用机械效率公式进行计算；（3）滑轮组提升物体时，物体重力越大，绳子和滑轮间的摩擦力也增大，额外功增大；（4）根据功的计算公式和功率的计算公式进行计算即可.24.【答案】（1）解:将物体从斜面底部匀速拉到斜面顶端的过程中，拉力做的功：W总Fs250N×5m1250J（2）解:工人做的有用功：W有Gh1000N×1m1000J，工人使用斜面做功的机械效率：W有W总×100%1000J1250J×100%80%（3）解:克服摩擦力做的额外功：W额W总W有1250J1000J250J，由W额fs可得，物体和斜面之间的摩擦力：f 250J5m 50N 【解析】【分析】（1）根据 W=Fs可求出功；（2）根据机械效率的公式求出机械效率；（3）根据W额fs的变形公式，可求出f.