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1、第二节 矩形、菱形与正方形知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 1.矩 形1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形另说法：（1）四个角都是直角（2）对角线相等且互相平分.即AO=CO=BO=DO.（3）面积=长×宽=2SABD=4SAOB.2)判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形变式练习：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AEBD，垂足为点E，若EAC2CAD，则BAE_22.5_度,2.菱 形
2、1）性质：（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形另说法（1）四边相等（2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高=对角线_乘积的一半2）判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形变式练习1： 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE3，则菱形ABCD的周长为_24_第1题图),第2题图)变式练习2： 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O
3、，请你添加一个适当的条件_ACBD或AOB90°或ABBC_使其成为菱形(只填一个即可)变式练习3：如图，菱形ABCD的边长为6，ABC60°，则对角线AC的长是_ 第3题图【解析】四边形ABCD是菱形，ABBC6，ABC60°，ACABBC6.变式练习4：如图，在菱形ABCD中，AC8，BD6，则ABD的周长等于()A. 18 B. 16 C. 15 D. 14【解析】B四边形ABCD是菱形，BOODBD3，AOOCAC4，AB5，ABD的周长为：55616.3正方形1）性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3
4、）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。另说法(1)四条边都相等，四个角都是直角(2)对角线相等且互相垂直平分(3)面积=边长×边长=2SABD=4SAOB2)判定：（1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形（2）一组邻边相等的矩形（3）一个角是直角的菱形（4）对角线相等且互相垂直、平分判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径
5、有两种：注意：(1)矩形中,RtABDRtDCARtCDBRtBAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题.（2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；RtABORtADORtCBORtCDO;若ABC=60°，则ABC和ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角.（3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的.先证它是矩形，再证有一组邻边相等。先证它是菱形，再证有一个角是直角。4. 矩形、菱形与正方形联系变式练习：如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A. B
6、. 2 C. 1 D. 21【解析】B正方形ABCD的面积为1，BCCD1，点E、F分别是边BC、CD的中点，CECF，EF，正方形EFGH的周长为4×2.知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳 1.中点四边形（1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形.（2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形.（3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形.变式练习1：如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.,第2题图)变式练习2：如图，菱形ABCD的面积为120 cm2，正方形AECF的面积为5
7、0 cm2，则菱形的边长为_13_cm .变式练习3：如图，在正方形ABCD外作等腰直角CDE，DECE，连接BE，则tanEBC_变式练习4：如图，ABCABD，点E在边AB上，CEBD，连接DE.求证：(1)CEBCBE；(2)四边形BCED是菱形证明：(1)ABCABD，ABCABD，CEBD，CEBDBE，CEBCBE(2)ABCABD，BCBD，CEBCBE，CECB，CEBD，CEBD，四边形BCED是平行四边形，BCBD，四边形BCED是菱形变式练习5：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，ABCBAD12，BEAC，CEBD.(1)求tanDBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形(1)解：四边形ABCD是菱形，ADBC，DBCABC，ABCBAD180°，ABCBAD12，ABC60°，DBCABC30°，则tanDBCtan30°(2)证明：四边形ABCD是菱形，ACBD，即BOC90°，BEAC，CEBD，BEOC，CEOB，四边形OBEC是平行四边形，则四边形OBEC是矩形