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1、第六单元第六单元 圆圆 第第 2525 课时课时 点、直线与圆的位置关系点、直线与圆的位置关系 长沙长沙 9 年中考年中考 (20092017) 命题点命题点 切线的相关证明与计算切线的相关证明与计算 类型一类型一 切线的性质切线的性质 1. (2011 长沙长沙 18 题题 3 分分)如图，P 是O 的直径 AB 延长线上的一点，PC 与O相切于点 C，若P20 ，则A_ . 第 1 题图 2. (2010 长沙长沙 24 题题 8 分分)已知，AB 是O 的弦，D 是AB的中点，过 B 作 AB 的垂线交 AD 的延长线于 C. (1)求证：ADDC； (2)过 D 作O 的切线交 BC
2、于 E，若 DEEC，求 sinC. 第 2 题图 3. (2009 长沙长沙 24 题题 8 分分)在 RtABC 中，ACB90 ，D 是 AB 边上一点，以BD 为直径的O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点F. (1)求证：BDBF； (2)若 BC6，AD4，求O 的面积 第 3 题图 4. (2014 长沙长沙 24 题题 9 分分)如图，以ABC 的一边 AB 为直径作O，O 与 BC 的交点恰好为 BC 边的中点 D，过点 D 作O 的切线交 AC 于点 E. (1)求证：DEAC； (2)若 AB3DE，求 tanACB 的值 第 4 题图
3、 5. (2017 长沙长沙 23 题题 9 分分)如图，AB 与O 相切于点 C，OA、OB 分别交O 于点D、E，CDCE. (1)求证：OAOB； (2)已知 AB4 3，OA4，求阴影部分的面积 第 5 题图 类型二类型二 切线的判定切线的判定 6. (2015 长沙长沙 24 题题 9 分分)如图， 在直角坐标系中， M 经过原点 O(0， 0)， 点 A( 6，0)与点 B(0， 2)， 点 D 在劣弧OA上， 连接 BD 交 x 轴于点 C， 且CODCBO. (1)求M 的半径； (2)求证：BD 平分ABO； (3)在线段 BD 的延长线上找一点 E，使得直线 AE 恰为M
4、的切线，求此时点 E的坐标 第 6 题图 7. (2013长沙长沙22题题8分分)如图， ABC中， 以AB为直径的O交AC于点D， DBCBAC (1)求证：BC 是O 的切线； (2)若O 的半径为 2，BAC30 ，求图中阴影部分的面积 第 7 题图 8. (2016 长沙长沙 24 题题 9 分分)如图， 四边形 ABCD 内接于O， 对角线 AC 为O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB、DC、DF. (1)求CDE 的度数； (2)求证：DF 是O 的切线； (3)若 AC2 5DE，求 tanABD 的值 第 8 题
5、图 9如图，在ABC 中，ABAC，点 D 在 BC 上，BDDC，过点 D 作 DEAC，垂足为 E，O 经过 A，B，D 三点 (1)求证：AB 是O 的直径； (2)判断 DE 与O 的位置关系，并加以证明； (3)若O 的半径为 3，BAC60 ，求 DE 的长 第 9 题图 10(2016 郴州郴州)如图，OA，OD 是O 半径，过 A 作O 的切线，交AOD 的平分线于点 C，连接 CD，延长 AO 交O 于点 E，交 CD 的延长线于点 B. (1)求证：直线 CD 是O 的切线； (2)如果 D 点是 BC 的中点，O 的半径为 3 cm，求DE的长度(结果保留 ) 第 10
6、题图 11如图，在 RtABC 中，ABC90 ，D 是 AC 中点，O 过 A、B、D，CB延长线交O 于 E. (1)求证：AECE； (2)EF 与O 相切于 E，交 AC 延长线于 F，若 CDCF2，求O 的直径； (3)若 CFCD，求 sinCAB. 第 11 题图 12(2017 娄底娄底)如图，在 RtABC 中，ACB90 ，以 BC 为直径的O 交 AB于点 D，E 是 AC 的中点，OE 交 CD 于点 F. (1)若BCD36 ，BC10，求BD的长； (2)判断直线 DE 与O 的位置关系，并说明理由； (3)求证：2CE2AB EF. 第 12 题图 答案答案 1
7、. 35 【解析】【解析】 PC 是是O 的切线，的切线， OC 是经过切点的半径，是经过切点的半径， OCPC， 又， 又P20 ，COP70 .COP 是是AOC 的一个外角，由外角的性质以及的一个外角，由外角的性质以及 OCOA，得，得A12COP35 . 2(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接 BD， D 是是AB的中点，的中点， BDAD， AABD， ADBD.(2 分分) ABBC， ABC90 ，AC90 ，ABDDBC90 ， CDBC， BDDC， ADDC；(4 分分) (2)解：如解解：如解图，连接图，连接 OD 交交 AB 于点于点 F， DE 为为O 的切线，
8、的切线， ODDE.(5 分分) BDAD，OD 过圆心，过圆心， ODAB， 又又ABBC， 四边形四边形 FBED 为矩形，为矩形， DEC90 ， 又又DEEC， C45 ，(7 分分) sinC22.(8 分分) 3(1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接 OE， AC 是是O 的切线，的切线， OEAC， 又又ACB90 ， 即即 BCAC， OEBC， OEDF.(2 分分) ODOE， ODEOED， ODEF，(3 分分) BDBF；(4 分分) (2)解：设解：设O 的半径为的半径为 r，由，由 OEBC 得得AOEABC， AOABOEBC，即，即r42r4r6， r2r
9、120，解得，解得 r14，r23(舍舍)，(7 分分) SOr216.(8 分分) 4. (1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接 OD ， DE 是是O 的切线，的切线， ODDE，(1 分分) 又又点点 O 是是 AB 的中点，点的中点，点 D 是是 BC 的中点，的中点， OD 是是ABC 的中位线，的中位线，(2 分分) ODAC，(3 分分) DEAC；(4 分分) (2)解：如解图，连接解：如解图，连接 AD， AB 是是O 的直径，的直径， ADB90 ， ADBC， ADC90 ， 又又D 是是 BC 的中点，的中点， BDDC. ADAD， RtADBRtADC(SAS)
10、， ABAC.(5 分分) AB3DE， AC3DE. DEAC， DECDEA90 ， CADCEDCC90 ， CADEDC， ADEDCE， DEAEECDE，即，即 DE2AE EC.(6 分分) 设设 DEnEC，则，则 AC3nEC，AEACEC(3n1)EC， (nEC)2(3n1)EC EC，(7 分分) 即即 n23n10， 解得解得 n3 52， 3 52与与3 52都是正数，都是正数， 均符合题意，均符合题意，(8 分分) 又又在在 RtDEC 中，中，tanACBDEECn， tanACBn3 52.(9 分分) 5. (1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接 OC，
11、 AB 与与O 相切于点相切于点 C， OCAB， ACOBCO90 ， CDCE， AOCBOC， OCOC， OACOBC(ASA)， OAOB；(4 分分) (2)解：由解：由(1)知知OACOBC， ACBC12AB2 3， 在在 RtOAC 中，中，OA4，AC2 3， 由勾股定理得由勾股定理得 OC OA2AC22，(6 分分) sinAOCOA2412， A30 ， AOC60 ， EOCAOC60 ， S阴影阴影SOCBS扇形扇形OCE12 2 2 360 223602 323.(9 分分) 6. (1)解：根据题意可得，解：根据题意可得，OA 6，OB 2，M 经过原点经过原
12、点 O， AOB90 ， AB 为为M 的直径，的直径， 在在 RtAOB 中，中，AB AO2OB2（ 6）2（ 2）22 2， M 的半径为的半径为12AB 2；(3 分分) (2)证明：证明：COD 与与DBA 是是M 上上AD所所对的圆周角，对的圆周角， CODDBA， 又又CODCBO， CBODBA， BD 平分平分ABO；(6 分分) (3)解：如解图，过点解：如解图，过点 A 作作M 的切线，交的切线，交 BD 的延长线于点的延长线于点 E，过点，过点 E 作作 y 轴轴的垂线，垂足为点的垂线，垂足为点 H， EAAB，EHBH， EAB EHB90 ， 又又BEBE，ABEH
13、BE， BEABEH(AAS)， BHBA2 2， OHBHOB 2.(7 分分) 在在 RtAOB 中，中，tanABOOAOB62 3， ABO60 ， CBO30 ， 在在 RtBHE 中，中，tanHBEtan30 33HEBH， HE33BH33 2 22 63. EHx 轴，轴， 点点 E 的坐标是的坐标是(2 63， 2)(9 分分) 7(1)证明：证明：AB 是是O 的直径，的直径， ADB90 ，ABDBAC90 .(2 分分) DBCBAC， ABDDBC90 ，(3 分分) ABC90 ，即，即 ABBC， 又又AB 是是O 的直径，的直径， BC 是是O 的切线；的切线
14、；(4 分分) (2)解：如解图，连接解：如解图，连接 OD， BAC30 ， BOD2BAC60 . OBOD， OBD 是等边三角形，是等边三角形，(6 分分) S阴影阴影S扇形扇形OBDSOBD60 2236012 2 323 3.(8 分分) 8(1)解：解：AC 为为O 的直径，的直径， ADC90 ，CDE90 ；(2 分分) (2) 证明：如解图，连接证明：如解图，连接 OD， 在在 RtCDE 中，中，F 为为 CE 边的中点，边的中点， DFCF12CE， FDCFCD， 又又ODOC， ODCOCD， ODCFDCOCDFCD， 即即ODFOCF.(3 分分) ECAC，
15、OCF90 ， ODF90 ，即，即 ODDF，(4 分分) OD 为为O 的半径，的半径， DF 是是O 的切线；的切线；(5 分分) (3)解：解：ACE90 ，ADC90 ， CADE90 ，DCEE90 ， CADDCE， 又又ADCCDE90 ， ADCCDE， ADCDDCDE，即，即 CD2AD DE.(6 分分) AC2 5DE， 令令 DEa，ADb，则，则 AC2 5a，CD ab， 在在 RtACD 中中，由勾股定理可得：，由勾股定理可得： b2( ab)2(2 5a)2， 解得解得ba4 或或ba5(舍去舍去)，(8 分分) tanABDtanACDADCDbabba2
16、.(9 分分) 9. (1)证明：如解图，连接证明：如解图，连接 AD， ABAC，BDDC， ADBC，即，即ADB90 ， AB 是是O 的直径；的直径； (2)解：解：DE 与与O 相切相切 证明：连接证明：连接 OD，如，如解图，解图， 点点 O，D 分别是分别是 BA，BC 的中点，的中点， ODAC. DEAC， DEOD， OD 为为O 的半径，的半径， DE 与与O 相切；相切； (3)解：当解：当BAC60 时，时， ABAC， ABC 是等边三角形，是等边三角形， AB6， BD3， AD3 3. AC DECD AD， 6 DE3 3 3， DE3 32. 10. (1)
17、证明：证明：CA 切切O 于点于点 A， CAO90 . OC 平分平分AOD， AOCDOC， 在在AOC 和和DOC 中，中， OAODAOCDOCOCOC， AOCDOC(SAS)， CDOCAO90 ， OD 是是O 的半径，的半径， CD 是是O 的切线；的切线； (2)解：由解：由(1)知：知：ODBC， 又又D 是是 BC 的中点，的中点， OD 是是 BC 的垂直平分线，的垂直平分线， OCOB， BODDOCCOA， DOE60 ， DE的长度为的长度为60 3180 cm. 11. 证明：证明：(1)连接连接 DE，ABC90 ， ABE90 ， AE 是是O 直径，直径，
18、 ADE90 ， DEAC， 又又D 是是 AC 的中点，的中点， DE 是是 AC 的垂直平分线，的垂直平分线， AECE； (2)解：在解：在ADE 和和AEF 中，中， ADEAEF90 ，DAEFAE， ADEAEF， AEAFADAE，即，即AE62AE， AE2 3， O 的直径为的直径为 2 3； (3)解解：AECE，EDAC， CABDECDEA， sinCABsinDEAADAE， 设设 ADK，则，则 AF3K，同，同(2)，AE2AD AF3K2， AE 3K， sinCABsinDEA33. 12. (1)解：如解图，连接解：如解图，连接 OD， BCD36 ，BOD
19、2BCD2 36 72 . BC 是是O 的直径，且的直径，且 BC10， lBD72 51802； (2)解：解：DE 是是O 的切线；理由如下：的切线；理由如下： BC 是是O 的直径，的直径， ADC180 BDC90 ， 又又点点 E 是线段是线段 AC 中点，中点， DEAEEC12AC， 在在DOE 与与COE 中，中， ODOCOEOEDECE， DOECOE. ACB90 ， ODEOCE90 ， OD 是是O 的半径，的半径， DE 是是O 的切线；的切线； (3)证明：证明：DOECOE， OE 是线段是线段 CD 的垂直平分线，的垂直平分线， DECE， 点点 F 是线段是线段 CD 中点，中点， 已知点已知点 E 是线段是线段 AC 中点，则中点，则 EF12AD， 在在ACD 与与ABC 中，中， BACCADADCACB， ACDABC， 则则ACABADAC，即，即 AC2AB AD， 而而 AC2CE，AD2EF， (2CE)2AB 2EF， 即即 4CE2AB 2EF， 2CE2AB EF.