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1、2018年中考数学备考之黄金考点聚焦考点三十：图形的轴对称 聚焦考点温习理解1如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点2图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线对应线段、对应角相等3由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是
2、原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成学科！网4. 轴对称与轴对称图形轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系名师点睛典例分类考点典例一、识别轴对称图形【例1】（2017重庆A卷第2题）下列图形中是轴对称图形的是（）【
3、答案】C.【解析】试题解析：A、不是轴对称图形，不合题意；B、不是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，符合题意；D、不是轴对称图形，不合题意故选C考点：轴对称图形.【点睛】本题考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形【举一反三】1. （2017山东烟台第2题）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）【答案】A考点：中心对称图形；轴对称图形2. （2017江苏盐
4、城第3题）下列图形中，是轴对称图形的是（）【答案】D【解析】试题解析：D的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，故选D考点：轴对称图形.考点典例二、作已知图形的轴对称图形【例2】（2017浙江宁波第20题）在的方格纸中，的三个顶点都在格点上. (1)在图1中画出与成轴对称且与有公共边的格点三角形(画出一个即可)；(2)将图2中的绕着点按顺时针方向旋转，画出经旋转后的三角形. 【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.【解析】学科+网试题分析：根据题意画出图形即可.试题解析：（1）如图所示：或（2）如图所示：考点：1.轴对称图形；2.旋转.【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解
5、题关键画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形【举一反三】（2017内蒙古呼和浩特第3题）如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（ ）A（1）B（2）C（3）D（4） 来源:Z,xx,k.Com【答案】A【解析】试题分析：轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，通过轴对称得到的是（1）故选A考点：轴对称图形考点典例三、轴对称性质的应用【例3】（2017贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，ABE是
6、等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 【答案】6.【解析】试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD，点B与D关于AC对称，PD=PB，PD+PE=PB+PE=BE最小即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；正方形ABCD的边长为6，AB=6又ABE是等边三角形，BE=AB=6故所求最小值为6考点：轴对称最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质【点睛】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的
7、应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置【举一反三】（2017江苏徐州第27题）如图，将边长为的正三角形纸片按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕（如图），点为其交点.（1）探求与的数量关系，并说明理由；（2）如图，若分别为上的动点.当的长度取得最小值时，求的长度；如图，若点在线段上，则的最小值= .【答案】（1）AO=2OD，理由见解析；（2）；.【解析】（3）如图，作Q关于BC的对称点Q，作D关于BE的对称点D，连接QD，即为QN+NP+PD的最小值根据轴对称的定义得到QBN=QBN=30°，QBQ=60°，得到BQQ为等边三角形，BDD为等边三角形，解直角三角形即
8、可得到结论试题解析：（1）AO=2OD，理由：ABC是等边三角形，BAO=ABO=OBD=30°，AO=OB，BD=CD，ADBC，BDO=90°，OB=2OD，OA=2OD；（2）如图，作点D关于BE的对称点D，过D作DNBC于N交BE于P，则此时PN+PD的长度取得最小值，BE垂直平分DD，BD=BD，ABC=60°，BDD是等边三角形，BN=BD=，PBN=30°， PB=；（3）如图，作Q关于BC的对称点Q，作D关于BE的对称点D，连接QD，即为QN+NP+PD的最小值根据轴对称的定义可知：QBN=QBN=30°，QBQ=60°
9、;，BQQ为等边三角形，BDD为等边三角形，DBQ=90°，在RtDBQ中，DQ=QN+NP+PD的最小值=考点典例四、折叠问题【例4】（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（）A6cmB7cmC8cmD9cm【答案】C【解析】来源:学科网考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等也考查了勾股定理折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是
10、全等图形，对应边相等，对应角相等【举一反三】1. （2017江苏无锡第10题）如图，ABC中，BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将ABD沿AD翻折得到AED，连CE，则线段CE的长等于（）A2BCD 【答案】D【解析】试题解析：如图连接BE交AD于O，作AHBC于H在RtABC中，AC=4，AB=3，BC=5，CD=DB，AD=DC=DB=，BCAH=ABAC，AH=，AE=AB，DE=DB=DC，AD垂直平分线段BE，BCE是直角三角形，ADBO=BDAH，OB=，BE=2OB=，在RtBCE中，EC= .故选D考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边
11、上的中线；3.勾股定理2. （2017浙江宁波第18题）如图，在边长为2的菱形ABCD中，A=60°，点M是AD边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的长为.学科*网【答案】-1【解析】试题分析：如图所示：过点M作MFDC于点F，在边长为2的菱形ABCD中，A=60°，M为AD中点，2MD=AD=CD=2，FDM=60°，FMD=30°，FD=MD=，FM=DM×cos30°=，MC=，EC=MC-ME=-1考点：1.折叠问题；2.菱形的性质课时作业能力提升1. （2017内
12、蒙古通辽第4题）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（ ）ABCD 【答案】D【解析】试题分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义，可得：A是中心对称图形，故本选项不符合题意；B是中心对称图形，故本选项不符合题意；C是中心对称图形，故本选项不符合题意；D不是中心对称图形，故本选项符合题意；故选：D考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形2. （2017郴州第2题）下列图形既是对称图形又是中心对称图形的是（ ）【答案】B【解析】试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可得选项A是轴对称图形，不是中心对称图形；选项B既是轴对称图形又是中心对称图形；选项C不是轴对称图形，是中心对称图形；
13、选项D是轴对称图形，不是中心对称图形故选B考点：轴对称图形和中心对称图形.来源:学+科+网3（2017海南第6题）如图，在平面直角坐标系中，ABC位于第二象限，点A的坐标是（2，3），先把ABC向右平移4个单位长度得到A1B1C1，再作与A1B1C1关于x轴对称的A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（ ）A.(-3，2) B.（2，-3） C.（1，-2） D.（-1，2）【答案】B.【解析】试题分析：首先利用平移的性质得到A1B1C1，进而利用关于x轴对称点的性质得到A2B2C2，即可得出答案如图所示：点A的对应点A2的坐标是：（2，3）故选：B考点：平移的性质，轴对称的性质.4（201
14、7新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在边上的点处，若矩形面积为且，则折痕的长为（ ） A B C. D 【答案】C.【解析】在RtGHE中，HGE=30°，GE=2HE=CE，GH=GE=2BG，BC=BG+GE+EC=4EC矩形ABCD的面积为4，4ECEC=4，EC=1，EF=GE=2故选C考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质5. （2017新疆乌鲁木齐第10题）如图，点都在双曲线上，点，分别是轴，轴上的动点，则四边形周长的最小值为（ ）A B C. D 【答案】B【解析】试题解析：分别把点A（a，3）、B（b，1）代入双曲线y=
15、得：a=1，b=3，则点A的坐标为（1，3）、B点坐标为（3，1），作A点关于y轴的对称点P，B点关于x轴的对称点Q，所以点P坐标为（1，3），Q点坐标为（3，1），连结PQ分别交x轴、y轴于C点、D点，此时四边形ABCD的周长最小，四边形ABCD周长=DA+DC+CB+AB=DP+DC+CQ+AB=PQ+AB= =4+2=6，故选B考点：反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称最短路线问题6. （2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）A3B C5D 【答案】C.【解析】试题解析：矩形ABCD，BAD=
16、90°，由折叠可得BEFBAE，EFBD，AE=EF，AB=BF，在RtABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，根据勾股定理得：BD=10，即FD=106=4，设EF=AE=x，则有ED=8x，根据勾股定理得：x2+42=（8x）2，解得：x=3（负值舍去），则DE=83=5，故选C.考点：1. 翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质7. （2017重庆A卷第18题）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作EFED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将EFG沿EF翻折，得到EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则EMN的周长是 【
17、答案】【解析】试题解析：如图1，过E作PQDC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，DCAB，PQAB，四边形ABCD是正方形，ACD=45°，PEC是等腰直角三角形，PE=PC，设PC=x，则PE=x，PD=4x，EQ=4x，PD=EQ，DPE=EQF=90°，PED=EFQ，DPEEQF，DE=EF，易证明DECBEC，DE=BE，EF=BE，EQFB，FQ=BQ=BF，AB=4，F是AB的中点，BF=2，FQ=BQ=PE=1，CE=，RtDAF中，DF=，DE=EF，DEEF，DEF是等腰直角三角形，DE=EF=，PD=3，如图2，DCAB，DGCFGA，CG=2AG，
18、DG=2FG，FG=，AC=，CG=，EG=，连接GM、GN，交EF于H，GFE=45°，GHF是等腰直角三角形，GH=FH=，EH=EFFH=，NDE=AEF，tanNDE=tanAEF=，EN=，NH=EHEN=，RtGNH中，GN=，由折叠得：MN=GN，EM=EG，EMN的周长=EN+MN+EM=考点：1.折叠；2.正方形的性质.8（2017湖北咸宁第14题）如图，点的矩形纸片的对称中心，是上一点，将纸片沿折叠后，点恰好与点重合，若，则折痕的长为 学*科网【答案】6.考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）9. （2017青海西宁第20题）如图，将沿对折，使点落在点处，若，则的
19、长为_.【答案】 【解析】试题分析：过点C作CGAB的延长线于点G，在ABCD中，D=EBC，AD=BC，A=DCB，由于ABCD沿EF对折，D=D=EBC，DCE=A=DCB，DC=AD=BC，DCF+FCE=FCE+ECB，DCF=ECB，在DCF与ECB中， ,DCFECB（ASA）,DF=EB，CF=CE，DF=DF，DF=EB，AE=CF设AE=x，则EB=8x，CF=x，BC=4，CBG=60°，BG=BC=2，由勾股定理可知：CG=2，EG=EB+BG=8x+2=10x在CEG中，由勾股定理可知：（10x）2+（2）2=x2，解得：x=AE= 考点： 1.翻折变换（折叠
20、问题）；2.平行四边形的性质10.如图，在边长为2的等边ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE+DE的最小值为 【答案】【解析】试题分析：作B关于AC的对称点B，连接BB、BD，交AC于E，此时BE+ED=BE+ED=BD，根据两点之间线段最短可知BD就是BE+ED的最小值，B、B关于AC的对称，AC、BB互相垂直平分，四边形ABCB是平行四边形，三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，ADBC，AD=，BD=CD=1，BB=2AD=，作BGBC的延长线于G，BG=AD=，在RtBBG中，BG=3，DG=BGBD=31=2，在RtBDG中，BD=故BE+ED的最小值为考点：1轴对称
21、-最短路线问题；2等边三角形的性质；3最值问题；4综合题11. （2017海南第17题）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cosEFC的值是 【答案】.考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.来源:Z+xx+k.Com12. （2017黑龙江齐齐哈尔第21题）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为，（1）画出关于轴的对称图形；（2）画出将绕原点逆时针方向旋转得到的；（3）求（2）中线段扫过的图形面积【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）线段OA扫过的图形
22、面积为【解析】试题分析：（1）分别作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形A2B2C2即可；（3）利用扇形的面积公式即可得出结论试题解析：（1）如图，A1B1C1即为所求；（2）如图，A2B2C2即为所求；（3）OA= =5，线段OA扫过的图形面积=考点：1.作图旋转变换；2.扇形面积的计算；3.作图轴对称变换13. （2017辽宁大连第25题）如图1，四边形的对角线相交于点，.（1）填空：与的数量关系为 ；（2）求的值；学科%网（3）将沿翻折，得到（如图2），连接，与相交于点.若，求的长.【答案】（1）BAD+ACB=180°；（2）；（3
23、）1.（3）如图2中，作DEAB交AC于E想办法证明PADPBC，可得，可得，即，由此即可解决问题；试题解析：（1）如图1中，在ABD中，BAD+ABD+ADB=180°，ABD+ADB=ACB，BAD+ACB=180°，故答案为BAD+ACB=180° （2）如图1中，作DEAB交AC于EDEA=BAE，OBA=ODE，OB=OD，OABOED，AB=DE，OA=OE，设AB=DE=CE=CE=x，OA=OE=y，EDA+DAB=180°，BAD+ACB=180°，EDA=ACB，DEA=CAB，EADABC，4y2+2xyx2=0，（负根已
24、经舍弃）， （3）如图2中，作DEAB交AC于E由（1）可知，DE=CE，DCA=DCA，EDC=ECD=DCA，DECAAB，ABC+ACB=180°，EADACB，DAE=ABC=DAC，DAC+ACB=180°，ADBC，PADPBC，即PC=1考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理.14. （2017贵州六盘水第25题）如图，是的直径，点在上，为的中点，是直径上一动点.(1)利用尺规作图，确定当最小时点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).(2)求的最小值.【答案】（1）详见解析；(2)2.试题分析：(1)画出A点关于MN的称点,连接B,就可以得到P点; (2)利用得AON=60°，又为弧AN的中点,BON=30°，所以ON=90°，再求最小值试题解析：(1)如图，点P即为所求作的点.(2)由（1）可知，的最小值为的长，连接,OB、OAA点关于MN的称点，AMN=30°， 又为的中点 又MN=4 在Rt中， 来源:学_科_网即的最小值为2.考点：圆，最短路线问题