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1、第五讲差分方程建模第1页，此课件共36页哦5.1 银行复利问题银行复利问题5.2 抵押贷款买房问题抵押贷款买房问题 5.3 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动5.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长5.5 差分基础知识差分基础知识第2页，此课件共36页哦5.1 5.1 银行复利问题银行复利问题 背背景景所付利息一年内复合所付利息一年内复合n n次，即把一年分次，即把一年分n n个相等个相等的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾的时间段，而所付利息为每一时间段的未尾.给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额给出一个可以预测在任意给定时间的帐目余额 分分析析帐目余额与时间直接相关，而时间
2、是离散的帐目余额与时间直接相关，而时间是离散的本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，本期结束时的总存款等于前一时期余下的本利，及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和及本利得到的利息与第本期内新存入的存款之和 任何时候都可以存款任何时候都可以存款第3页，此课件共36页哦模模型型假假设设1.储蓄的年利率为储蓄的年利率为r2.任何时候都可以存款，但存款利息只从下一任何时候都可以存款，但存款利息只从下一时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即时期开始计算，如时间段开始第一天的存款即开始计算利息开始计算利息 t期结束时的总存款期结束时的总存款 记号第第t t期内的新存款期内的新存款第4页，此课件
3、共36页哦模型注：注：上式中上式中n n=2=2时，相应于半年的复利，而时，相应于半年的复利，而n=365n=365则是相则是相应于逐日计算的复利应于逐日计算的复利第5页，此课件共36页哦5.2 抵押贷款买房问题抵押贷款买房问题背背景景 每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有每户人家都希望有一套属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某足够的资金一次买下。这就产生了贷款买房问题。某新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理新婚夫妇急需一套属于自己的住房。他们看到一则理想的房产广告：想的房产广告：“名流花园之高尚住宅公寓，供工名流花园之高尚住宅公寓，供工薪阶
4、层选择。一次性付款优惠价薪阶层选择。一次性付款优惠价40.240.2万元。若不能万元。若不能一次性付款也没关系，只付首期款为一次性付款也没关系，只付首期款为1515万元，其余每万元，其余每月月1977.041977.04元等额偿还，元等额偿还，1515年还清。年还清。(公积金贷款月公积金贷款月利息为利息为3.6753.675）。）。问问题题公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？公寓原来价多少？每月等额付款如何算出来？第6页，此课件共36页哦假假设设贷款期限内利率不变贷款期限内利率不变 银行利息按复利计算银行利息按复利计算记记号号A（元）：贷款额（本金）（元）：贷款额（本金）n（月）：货款期限
5、（月）：货款期限r：月利率：月利率B(元元):月均还款额月均还款额 C Ck k：第：第k个月还款后的欠款个月还款后的欠款第7页，此课件共36页哦模模型型求求解解代入代入n=180、r=0.003675、B=1977.04结果：结果：A=260000（元）（元）一次性优惠价一次性优惠价9.89.8折折还款总额还款总额？利息负担总额利息负担总额？第8页，此课件共36页哦5.3 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体
6、重并维持下去的目标前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.5BMI25 超重超重;BMI30 肥胖肥胖.第9页，此课件共36页哦模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗2
7、00千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异),相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千千克，每周吸收热量不要小于克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。第10页，此课件共36页哦基本模型基本模型w(k)第第k天天(末末)体重体重c(k)第第k天吸收热量天吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异):因因运动运动,每小时每千克体重消耗的热量每小时
8、每千克体重消耗的热量(千卡千卡)(因运动项目而异因运动项目而异)t:每天运动时间每天运动时间(小时小时)第11页，此课件共36页哦某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，体重维千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动
9、，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。第12页，此课件共36页哦 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k)第第k周周(末末)体重体重c(k)第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变第13页，此课件共36页哦
10、第一阶段第一阶段:w(k)每周减每周减1千克千克,c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡第一阶段第一阶段10周周,每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划第14页，此课件共36页哦 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型基本模型第15页，此课件共36页哦 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm,w(k)减至减至75千克千克 第二阶段第二阶段19周周,每周吸收热量保持每周吸收热
11、量保持10000千卡千卡,体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。第16页，此课件共36页哦运动运动 t=24(每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时),14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡):跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速)游泳游泳(50米米/分分)7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)基本基本模型模型第17页，此课件共36页哦3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变
12、的方案每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变 不运动不运动 运动运动(内容同前内容同前)第18页，此课件共36页哦5.4 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长 不同年龄组的繁殖率和死亡率不同不同年龄组的繁殖率和死亡率不同 建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律假设与建模假设与建模 种群按年龄大小等分为种群按年龄大小等分为n个年龄组，记个年龄组，记i=1,2,n 时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记k=1,2,以雌性个体数量为对象以雌性个体数量为对象 第
13、第i 年龄组年龄组1雌性个体在雌性个体在1时段内的时段内的繁殖率繁殖率为为bi 第第i 年龄组在年龄组在1时段内的死亡率为时段内的死亡率为di,存活率存活率为为si=1-di第19页，此课件共36页哦假设假设与与建模建模xi(k)时段时段k第第i 年龄组的种群数量年龄组的种群数量按年龄组的分布向量按年龄组的分布向量预测任意时段种群预测任意时段种群按年龄组的分布按年龄组的分布Leslie矩阵矩阵(L矩阵矩阵)(设至少设至少1个个bi0)第20页，此课件共36页哦稳定状态分析的数学知识稳定状态分析的数学知识 L矩阵存在矩阵存在正单特征根正单特征根 1，若若L矩阵存在矩阵存在bi,bi+10,则则
14、P的第的第1列是列是x*特征向量特征向量,c是由是由bi,si,x(0)决定的常决定的常数数 且且解解释释L对角化对角化第21页，此课件共36页哦稳态分析稳态分析k充分大充分大种种群按年龄组的分布群按年龄组的分布 种群按年龄组的分布趋向稳定，种群按年龄组的分布趋向稳定，x*称稳定分布称稳定分布,与初始分布无关。与初始分布无关。各年龄组种群数量按同一倍各年龄组种群数量按同一倍数增减，数增减，称固有增长率称固有增长率与基本模型与基本模型比较比较3）=1时时 各年龄组各年龄组种群种群数数量不变量不变第22页，此课件共36页哦 1个个体在整个存活期个个体在整个存活期内的繁殖数量为内的繁殖数量为1稳态分
15、析稳态分析存活率存活率 si是同一时段的是同一时段的 xi+1与与 xi之比之比（与（与si 的定义的定义 比较）比较）3）=1时时第23页，此课件共36页哦处一阶向前差分处一阶向前差分5.5 5.5 差分基础知识差分基础知识一一 差分差分 1.1.概念概念（h h为非零实数称为步长为非零实数称为步长）处处k k阶向前差分阶向前差分第24页，此课件共36页哦处一阶向后差分处一阶向后差分处处k k阶向后差分阶向后差分处一阶中心差分处一阶中心差分处处k k阶中心差分阶中心差分第25页，此课件共36页哦2.性质性质第26页，此课件共36页哦二二 常微分方程化为差分方程常微分方程化为差分方程 用导数近
16、似式替代导数或者说用适当近似式替代含用导数近似式替代导数或者说用适当近似式替代含有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数有导数的表达式，可以得到这些近似值满足的代数方程方程-差分方程差分方程 以二阶常微分方程边值问题为例以二阶常微分方程边值问题为例 目的求目的求差差分分法法第27页，此课件共36页哦一般k阶常系数线性差分方程为差分方程差分方程第28页，此课件共36页哦二二 偏微分方程偏微分方程化为差分方程化为差分方程以二阶椭圆方程的边值问题为例以二阶椭圆方程的边值问题为例用两族平行坐标轴的直线用两族平行坐标轴的直线正方形网格把区域正方形网格把区域G G剖分剖分 第29页，此课件共36页哦节
17、点可分三类节点可分三类 1通过该节点的网格线上的相邻四网点都在通过该节点的网格线上的相邻四网点都在G G内内,记记 G12在在G内部但不属于内部但不属于G1，记，记G23恰在边界上记恰在边界上记G3 确确定定各各节节点点处处解解的的近近似似值值uij，需需要要建建立立代代数数方程，每一节点建立一个代数方程方程，每一节点建立一个代数方程任任务务第30页，此课件共36页哦(i，j-1)(i，j+1)(i-1，j)(i，j)(i+1，j)偏导数近偏导数近似式替代似式替代第31页，此课件共36页哦差分差分方程方程N (i，j)E第32页，此课件共36页哦 偏导数近偏导数近似式替代似式替代第33页，此课
18、件共36页哦四四 二阶常系数齐次差分方程求法二阶常系数齐次差分方程求法 齐次差分方程齐次差分方程 (1)(1)特征方程有两个不相等实根特征方程有两个不相等实根(2)(2)特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根 第34页，此课件共36页哦(3)(3)特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根 非齐次差分方程非齐次差分方程非齐次的特解非齐次的特解+齐次的通解齐次的通解例：兔子问题例：兔子问题 在一年的时间里，一对兔子能够生育出多少对兔子来在一年的时间里，一对兔子能够生育出多少对兔子来第35页，此课件共36页哦每对兔子每个月生育出新的一对兔子每对兔子每个月生育出新的一对兔子假假设设新的一对兔子在一个月之后具有生育能力其次新的一对兔子在一个月之后具有生育能力其次这些兔子都不死亡这些兔子都不死亡第第n个月开始时兔子对数个月开始时兔子对数模模型型结果结果Fibonacci数列黄金分割比黄金分割比第36页，此课件共36页哦