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1、平面的法向量与平面的向量表示第1页，共33页，编辑于2022年，星期六第2页，共33页，编辑于2022年，星期六32.2平面的法向量与平面的向量表示平面的法向量与平面的向量表示第3页，共33页，编辑于2022年，星期六若若l1，l2是两条不同的直是两条不同的直线线，、是两个不同的平面，且是两个不同的平面，且l1，l2.问题问题1：若：若l1l2，则则与与有什么位置关系？有什么位置关系？提示：提示：.问题问题2：若：若l1l2，则则、有什么位置关系？有什么位置关系？提示：提示：.第4页，共33页，编辑于2022年，星期六1平面的法向量平面的法向量已知平面已知平面，如果向量，如果向量n的基的基线线
2、与平面与平面，则则向量向量n叫叫做平面做平面的法向量或的法向量或说说向量向量n与平面与平面正交正交2平面的向量表示式平面的向量表示式设设A是空是空间间任一点，任一点，n为为空空间间内任一非零向量，适合条件内任一非零向量，适合条件 n0的点的点M构成的构成的图图形是形是过过点点A并且与向量并且与向量n垂直的垂直的，通常称通常称为为一个平面的向量表示式一个平面的向量表示式垂直垂直平面平面第5页，共33页，编辑于2022年，星期六3两平面平行、垂直的判定两平面平行、垂直的判定设设n1，n2分分别别是平面是平面，的法向量，的法向量，则则或或与与重合重合 ；4正射影与三垂正射影与三垂线线定理定理(1)正
3、射影：正射影：已知平面已知平面和一点和一点A，过过点点A作作的垂的垂线线l与与相交于点相交于点A，则则A就是点就是点A在平面在平面内的内的，简简称称n1n2n1n2n1.n2=0正射影正射影射影射影第6页，共33页，编辑于2022年，星期六(2)三垂三垂线线定理：定理：如果在平面内的一条直如果在平面内的一条直线线与平面的一条斜与平面的一条斜线线在在这这个平面内的个平面内的垂直，垂直，则则它也和它也和这这条斜条斜线线垂直垂直(3)三垂三垂线线定理的逆定理：定理的逆定理：如果平面内的一条直如果平面内的一条直线线和和这这个平面的一条斜个平面的一条斜线线垂直，垂直，则则它它也和也和这这条斜条斜线线在平
4、面内的在平面内的垂直垂直射影射影射影射影第7页，共33页，编辑于2022年，星期六1用向量法用向量法证证明明线线线线、线线面、面面之面、面面之间间的垂直关系，主要的垂直关系，主要是找出直是找出直线线的方向向量、平面的法向量之的方向向量、平面的法向量之间间的关系，因此求直的关系，因此求直线线的方向向量及平面的法向量是解的方向向量及平面的法向量是解题题关关键键2一个平面的法向量不是唯一的，在一个平面的法向量不是唯一的，在应应用用时时，可以根据需要，可以根据需要进进行行选选取，一个平面的所有法向量共取，一个平面的所有法向量共线线第8页，共33页，编辑于2022年，星期六第9页，共33页，编辑于202
5、2年，星期六例例1已知点已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平，求平面面ABC的一个法向量的一个法向量思路点思路点拨拨第10页，共33页，编辑于2022年，星期六第11页，共33页，编辑于2022年，星期六一点通一点通利用待定系数法求法向量的解利用待定系数法求法向量的解题题步步骤骤：第12页，共33页，编辑于2022年，星期六1已知平面内的两个向量已知平面内的两个向量a(2，3，1)，b(5，6，4)，则该则该平面的一个法向量平面的一个法向量为为()A(1，1，1)B(2，1，1)C(2，1，1)D(1，1，1)答案：答案：C第13页，共33页，编辑于2022年，星期
6、六第14页，共33页，编辑于2022年，星期六第15页，共33页，编辑于2022年，星期六思路点思路点拨拨建立空建立空间间坐坐标标系求出平面系求出平面ADE与平面与平面A1D1F的法向量求解的法向量求解第16页，共33页，编辑于2022年，星期六第17页，共33页，编辑于2022年，星期六第18页，共33页，编辑于2022年，星期六第19页，共33页，编辑于2022年，星期六一点通一点通设设直直线线l的方向向量的方向向量a(a1，b1，c1)，平面，平面的法向量的法向量u(a2，b2，c2)，平面，平面的法向量的法向量v(a3，b3，c3)，且，且l，与与不重合，不重合，则则(1)lauau0
7、a1a2b1b2c1c20；(2)lau(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)；(3)uv(a2，b2，c2)m(a3，b3，c3)；(4)uvu0a2a3b2b3c2c30.第20页，共33页，编辑于2022年，星期六3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求中，求证证：平面：平面A1BD平面平面CD1B1.第21页，共33页，编辑于2022年，星期六第22页，共33页，编辑于2022年，星期六4正方体正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分分别别是是BB1、CD的中的中点，求点，求证证：平面：平面AED平面平面A1FD1.证证明：明：如如图图，建立空，建立空间间直角坐直角坐标
8、标系系Dxyz.第23页，共33页，编辑于2022年，星期六第24页，共33页，编辑于2022年，星期六第25页，共33页，编辑于2022年，星期六例例3在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中，求中，求证证：A1C平面平面BDC1.思路点思路点拨拨根据正方体中的垂直关系，找到根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平在平面面ABCD和平面和平面CDD1C1内的射影，由三垂内的射影，由三垂线线定理定理证证明明BDA1C，C1DA1C.第26页，共33页，编辑于2022年，星期六精解精解详详析析在正方体中，在正方体中，AA1平面平面ABCD，所以，所以AC是是A1C在平面在平面ABCD内的射影，又
9、内的射影，又ACBD，所以，所以BDA1C.同理同理D1C是是A1C在平面在平面CDD1C1内的射影内的射影所以所以C1DA1C.又又C1DBDD，所以，所以A1C平面平面BDC1.第27页，共33页，编辑于2022年，星期六一点通一点通(1)三垂三垂线线定理及其逆定理主要用于定理及其逆定理主要用于证证明空明空间间两条直两条直线线的的垂直垂直问题问题对对于同一平面内的两直于同一平面内的两直线线垂直垂直问题问题也可用也可用“平移法平移法”，将其，将其转转化化为为空空间间两直两直线线的垂直的垂直问题问题，用三垂，用三垂线线定理定理证证明明(2)当当图图形比形比较较复复杂时杂时，要，要认认真真观观察
10、察图图形，形，证题证题的思的思维过维过程程是是“一定二找三一定二找三证证”，即，即“一定一定”是定平面和平面内的直是定平面和平面内的直线线，“二找二找”是是找平面的垂找平面的垂线线、斜、斜线线和斜和斜线线在平面内的射影，在平面内的射影，“三三证证”是是证证直直线线垂垂直于射影或斜直于射影或斜线线第28页，共33页，编辑于2022年，星期六5正三棱正三棱锥锥PABC中，求中，求证证：BCPA.证证明：明：在正三棱在正三棱锥锥PABC中，中，P在底在底面面ABC内的射影内的射影O为为正三角形正三角形ABC的的中心，中心，连连接接AO，则则AO是是PA在底面在底面ABC内的射影，且内的射影，且BCA
11、O，所以，所以BCPA.第29页，共33页，编辑于2022年，星期六6在空在空间间四四边边形形ABCD中，中，A在平面在平面BCD内的射影内的射影O1是是BCD的垂心，的垂心，试证试证明明B在平面在平面ACD内的射影内的射影O2必是必是ACD的垂心的垂心证证明：明：连连接接DO1、BO1、AO2、CO2.O1是是BCD的垂心，的垂心，DO1BC.又又AO1平面平面BCD，BCAD(三垂三垂线线定理定理)BC是平面是平面ACD的斜的斜线线，BO2平面平面ACD，CO2是是BC在平面在平面ACD内的射影，内的射影，CO2AD(三垂三垂线线定理的逆定理定理的逆定理)同理，同理，AO2CD.故故O2是
12、是ACD的垂心的垂心第30页，共33页，编辑于2022年，星期六1确定平面的法向量通常有两种方法：确定平面的法向量通常有两种方法：(1)利用几何体中已知的利用几何体中已知的线线面垂直关系；面垂直关系；(2)用待定系数法，用待定系数法，设设出法向量，根据它和出法向量，根据它和内不共内不共线线两向量的垂直关系建立方程两向量的垂直关系建立方程组进组进行求解由于一个平面行求解由于一个平面的法向量有无数个，故可从方程的法向量有无数个，故可从方程组组的解中取一个最的解中取一个最简单简单的作的作为为平面的法向量平面的法向量2用空用空间间向量向量处处理平行理平行问题问题的常用方法：的常用方法：(1)线线线线平
13、行平行转转化化为为直直线线的方向向量平行的方向向量平行(2)线线面平行面平行转转化化为为直直线线的方向向量与平面法向量垂直的方向向量与平面法向量垂直第31页，共33页，编辑于2022年，星期六(3)面面平行面面平行转转化化为为平面法向量的平行平面法向量的平行(4)线线线线垂直垂直转转化化为为直直线线的方向向量垂直的方向向量垂直(5)线线面垂直面垂直转转化化为为直直线线的方向向量与平面的法向量平行的方向向量与平面的法向量平行(6)面面垂直面面垂直转转化化为为平面的法向量垂直平面的法向量垂直3三垂三垂线线定理及逆定理是定理及逆定理是证证明明线线线线垂直的重要方法垂直的重要方法第32页，共33页，编辑于2022年，星期六点击下图进入点击下图进入“应用创新演练应用创新演练”第33页，共33页，编辑于2022年，星期六