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1、第二章几何与代数法模型第1页，本讲稿共23页 椅子在不平地面放稳模型椅子在不平地面放稳模型第2页，本讲稿共23页问题提出问题提出v把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而只需稍挪动几次，就可使四只脚同时着放不稳，然而只需稍挪动几次，就可使四只脚同时着地，放稳了。地，放稳了。v这个看来与数学无关的现象能用数学语言给以表述，这个看来与数学无关的现象能用数学语言给以表述，即建立有关数学模型，并用数学方法来证明吗即建立有关数学模型，并用数学方法来证明吗?第3页，本讲稿共23页 模型假设模型假设v假设假设 1.椅子四条腿等长，椅脚与地面接触
2、处可视为一点，椅子四条腿等长，椅脚与地面接触处可视为一点，四脚的连线呈正方形。四脚的连线呈正方形。v假设假设2.地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的地面高度是连续变化的，即地面可视为数学上的连续曲面，连续曲面，v假设假设3.对于椅脚间的距离和椅腿的长度而言，地面对于椅脚间的距离和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时是相对平坦的，使椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。着地。第4页，本讲稿共23页 假设说明假设说明 v假设假设1显然是合理的。显然是合理的。v假设假设2相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如相当于给出了椅子能放稳的条件，因为如果地面高度不连续，譬如在
3、有台阶的地方是无法果地面高度不连续，譬如在有台阶的地方是无法使四只脚同时着地的。使四只脚同时着地的。v假设假设3是要排除这样的情况是要排除这样的情况:地面上与椅脚间距和椅地面上与椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰腿长度的尺寸大小相当的范围内，出现深沟或凸峰(即使是连续变化的即使是连续变化的)，致使三只脚无法同时着地。，致使三只脚无法同时着地。第5页，本讲稿共23页 模型构成模型构成 v中心问题：把椅子四脚同时着地的条件和结论用数学语中心问题：把椅子四脚同时着地的条件和结论用数学语言表示。言表示。v 即用恰当的变量表示椅子的位置；并把椅脚着地用数学符号即用恰当的变量表示椅子
4、的位置；并把椅脚着地用数学符号表示出来。表示出来。第6页，本讲稿共23页 首先要用变量表示椅子位置首先要用变量表示椅子位置v注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕注意到椅脚连线呈正方形，以中心为对称点，正方形绕中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋中心的旋转正好代表了椅子位置的改变，于是可以用旋转角度转角度 这一变量表示椅子的位置。这一变量表示椅子的位置。第7页，本讲稿共23页 y B B A C A x O C D D 图图1 变量变量 表示椅子的位置表示椅子的位置第8页，本讲稿共23页 其次用数学符号表示椅脚着地状况其次用数学符号表示椅脚着地状况v如果用某个变量表示椅脚
5、与地面的竖直距离，那么椅脚如果用某个变量表示椅脚与地面的竖直距离，那么椅脚着地状况就是该距离为零。着地状况就是该距离为零。v该距离是椅子位置变量该距离是椅子位置变量 的函数。的函数。第9页，本讲稿共23页距离函数的设置距离函数的设置v 虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于虽然椅子有四只脚，因而有四个距离，但是由于正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。正方形的中心对称性，只要设两个距离函数就行了。v记记A、C两脚与地面距离之和为两脚与地面距离之和为f()，vB、D两脚与地面距离之和为两脚与地面距离之和为g()v显然，显然，f()、g()0。第10页，本讲稿共23页距离函数的分析距离
6、函数的分析v由假设由假设2，f和和g都是连续函数。都是连续函数。v由由假设假设3，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以，椅子在任何位置至少有三只脚着地，所以对于任意的对于任意的,f()和和g()中至少有一个为零。中至少有一个为零。v当当 =0时不妨设时不妨设g(0)=0,f(0)0.第11页，本讲稿共23页椅子平稳着地的数学模型椅子平稳着地的数学模型v 改变椅子位置使四脚同时着地，就归结为证改变椅子位置使四脚同时着地，就归结为证明如下的数学命题明如下的数学命题:v 已知已知f()和和g()是是 的连续函数，对任意的连续函数，对任意,f()g()=0，且，且g(0)=0，f(0)0。则存在则存在
7、 0，使，使f(0)=g(0)=0。v这就是椅子平稳着地的数学模型这就是椅子平稳着地的数学模型第12页，本讲稿共23页 v易知，引入了变量易知，引入了变量 和函数和函数f()、g()，就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单、精确就把模型的假设条件和椅脚同时着地的结论用简单、精确的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模的数学语言表述出来，从而构成了这个实际问题的数学模型。型。第13页，本讲稿共23页 模型证明模型证明 v模型有多种证明方法，这里介绍其中的一种模型有多种证明方法，这里介绍其中的一种。v首先将椅子旋转首先将椅子旋转90 (/2)，对角线，对角线AC与与BD互互换。换。
8、v由由g(0)=0和和f(0)0，可知，可知g(/2)0和和f(/2)=0。v 令令h()=f()-g()，则，则h(0)0和和h(/2)0.v由由f和和g 的连续性知，的连续性知，h也是连续函数也是连续函数,v根据连续函数基本性质，必存在根据连续函数基本性质，必存在 0，(0 0 /2),使使h(0)=0，即，即f(0)=g(0)v最后，因为最后，因为f(0)g(0)=0，所以，所以f(0)=g(0)=0。第14页，本讲稿共23页评评 注注 这个模型的巧妙之处在于：这个模型的巧妙之处在于：v用一元变量用一元变量 表示椅子的位置，表示椅子的位置，v 用用 的两个函数表示椅子四脚与地面的距离。的
9、两个函数表示椅子四脚与地面的距离。利用正方形的中心对称性及旋转利用正方形的中心对称性及旋转90并不是本质的。课并不是本质的。课后可以考虑四脚呈长方形情形后可以考虑四脚呈长方形情形v由于这个实际问题非常直观和简单，模型解释和验由于这个实际问题非常直观和简单，模型解释和验证就略去了证就略去了 第15页，本讲稿共23页Fibonacci的生小兔问题模型的生小兔问题模型第16页，本讲稿共23页问题与背景问题与背景v 13世纪初，意大利的一位绰号为斐波那契世纪初，意大利的一位绰号为斐波那契(Fibonacci）的数学家伦纳德（）的数学家伦纳德（11701250)在其算在其算盘书的数学著作中提出一个有趣问
10、题盘书的数学著作中提出一个有趣问题:v 假如养了初生的小兔一对，兔子出生以后两个月就假如养了初生的小兔一对，兔子出生以后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对能生小兔，若每次不多不少恰好生一对(一雌一雄一雌一雄)，试，试问一年后共有多少对兔子问一年后共有多少对兔子(如果生下的小兔都不死的话如果生下的小兔都不死的话)?第17页，本讲稿共23页直接推算法直接推算法v我们来直接推算一下，我们来直接推算一下，第一个月第一个月:只有一对小兔。只有一对小兔。第二个月第二个月:小兔子未成熟不会生殖，仍只有一对。小兔子未成熟不会生殖，仍只有一对。第三个月第三个月:这对兔子生了一对小兔，这里共有两对。这对兔
11、子生了一对小兔，这里共有两对。第四个月第四个月:老兔子又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成老兔子又生了一对小兔，而上月出生的小兔还未成熟，这时共有三对熟，这时共有三对;v如此下去，我们不难得出下面的结果如此下去，我们不难得出下面的结果:第18页，本讲稿共23页直接推算结果表直接推算结果表v从表中可知，一年后从表中可知，一年后(第十三个月时第十三个月时)共有共有233对兔对兔子，用这种办法推算，似乎有些子，用这种办法推算，似乎有些笨笨，v而且越往后越使人觉得复杂，有无简便方法呢而且越往后越使人觉得复杂，有无简便方法呢?1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 兔子数
12、(对)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 月份数(n)第19页，本讲稿共23页裴波那契数列裴波那契数列v我们将表中兔子的对数用我们将表中兔子的对数用Fn表示，下标表示，下标n表示月表示月份数份数(这样兔子数可视为月份数的函数这样兔子数可视为月份数的函数)。则。则Fn称称为斐波那契数列，记为斐波那契数列，记 Fn:1，1，2，3，5，8,13，21，34，,且且Fn称为斐波那契数。称为斐波那契数。第20页，本讲稿共23页本问题的数学模型本问题的数学模型v 观察观察Fn，不难发现，第，不难发现，第n+l个月时的兔子可分为个月时的兔子可分为两类两类:一类是第一类是第n个月时的
13、兔子，个月时的兔子，另一类是当月新出生的小兔，而这些小兔数恰好是第另一类是当月新出生的小兔，而这些小兔数恰好是第n-1个月时兔子数个月时兔子数(它们到第它们到第n十十l个月时均可生殖个月时均可生殖)。v因此因此Fn之间有如下递推关系之间有如下递推关系:F n+1=Fn+F n-1 n=2，3,F1=F2=1 这就是本问题的数学模型这就是本问题的数学模型,它是它是1634年年(斐斐氏死氏死后近四百年后近四百年)数学家奇拉特发现的。数学家奇拉特发现的。第21页，本讲稿共23页数列的计算和性质数列的计算和性质v由于该数学模型的发现，利用计算机进行简单的由于该数学模型的发现，利用计算机进行简单的编程，
14、就可计算出任意月份兔子的对数。编程，就可计算出任意月份兔子的对数。v由于人们继续对这个数列探讨，又发现了它的许由于人们继续对这个数列探讨，又发现了它的许多奇特的性质（可用归纳法证明）多奇特的性质（可用归纳法证明）(l)F m+n=F n-1 F m十十F n F m+1，（m、n为自然数）为自然数）(2)F n+1 F n-1-Fn2=(-1)n(3)F n-k F m+k-F n F m=(-1)n F m-n-k F k(4)Fn=第22页，本讲稿共23页斐波那契斐波那契(Fibonacci)数列的应用数列的应用v 由于由于Fn的越来越多的性质和应用被人们发现，一本的越来越多的性质和应用被
15、人们发现，一本专门研究它的杂志裴波那契季刊专门研究它的杂志裴波那契季刊 于于1963年开始发年开始发行，在美国还专门设立行，在美国还专门设立 Fibonacci 数委员会。数委员会。v 本世纪本世纪50年代出现的年代出现的“优选法优选法”中，也找到了裴波中，也找到了裴波那契数列的巧妙应用。那契数列的巧妙应用。v 裴波那契数列的应用还出现在自然界、生活中裴波那契数列的应用还出现在自然界、生活中，例如植物的叶序、菠萝的鳞片、树枝的生，例如植物的叶序、菠萝的鳞片、树枝的生长、蜜蜂进蜂房的路线、钢琴键盘等长、蜜蜂进蜂房的路线、钢琴键盘等 等，在几何、等，在几何、代数、概率中也有许多应用。代数、概率中也有许多应用。第23页，本讲稿共23页