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1、第二章多项式插值1湘潭大学数学与计算科学学院第1页，本讲稿共14页1 1 引引 言言 函数逼近函数逼近:数学中的基本问题数学中的基本问题,最活跃的研究领域之一最活跃的研究领域之一 数值计算中函数表示的重要方法数值计算中函数表示的重要方法本质是讨论如何用本质是讨论如何用 简单函数近似代替复杂函数简单函数近似代替复杂函数 简单函数曲线拟合离散数据简单函数曲线拟合离散数据 的的方法、理论方法、理论及其及其实现实现。2湘潭大学数学与计算科学学院第2页，本讲稿共14页简单函数简单函数逼近函数逼近函数复杂函数复杂函数被逼近函数被逼近函数近似代替近似代替逼近逼近基本基本术语术语：讨论如何用简单的函数讨论如何
2、用简单的函数一个复杂的函数一个复杂的函数近似地代替近似地代替的的方法方法、理论理论及其及其实现实现.近似代替又叫做近似代替又叫做逼近逼近.被逼近的函数被逼近的函数 或或被近似的函数被近似的函数 逼近的函数逼近的函数 或或近似的函数近似的函数 即即3湘潭大学数学与计算科学学院第3页，本讲稿共14页函数逼近函数逼近是数值分析的许多分支的理论基础是数值分析的许多分支的理论基础.例如例如:数值积分数值积分;数值微分数值微分;微分方程数值解微分方程数值解;曲线曲面拟合曲线曲面拟合;函数值近似计算函数值近似计算;等等等等4湘潭大学数学与计算科学学院第4页，本讲稿共14页从从逼近论逼近论的观点，通常有两种意
3、义下的逼近：的观点，通常有两种意义下的逼近：局部局部逼近逼近整体整体逼近逼近1 1、局部逼近、局部逼近所谓局部逼近就是求函数所谓局部逼近就是求函数在某点附近的近似在某点附近的近似 最常用的逼近方法：最常用的逼近方法：Taylor逼近方法逼近方法 理论依据：理论依据：Taylor定理定理 5湘潭大学数学与计算科学学院第5页，本讲稿共14页定理定理1.1设设n为一非负整数，为一非负整数，在点在点某一邻域某一邻域有有阶连续导数，阶连续导数，有有 则对则对的的这里，这里，n次次Taylor逼近多项式逼近多项式和误差余项和误差余项分别为分别为(1.1)(1.2)(1.3)6湘潭大学数学与计算科学学院第6
4、页，本讲稿共14页注意：注意：1 1、Taylor逼近多项式逼近多项式满足以下逼近要求满足以下逼近要求 2、Taylor逼近是一种局部逼近逼近是一种局部逼近在一点在一点处的信息处的信息.仅利用了被逼近的函数仅利用了被逼近的函数下面举例说明下面举例说明Taylor多项式的逼近效果多项式的逼近效果.7湘潭大学数学与计算科学学院第7页，本讲稿共14页解解 由由(1.2)式和式和(1.3)式易求得式易求得 (1.2)(1.3)直观理解可以参见下图。直观理解可以参见下图。8湘潭大学数学与计算科学学院第8页，本讲稿共14页(a)的一次和二次的一次和二次Taylor逼近逼近函数函数 (b)的一次和二次的一次
5、和二次Taylor逼近逼近误差误差 (a)(b)9湘潭大学数学与计算科学学院第9页，本讲稿共14页因此，因此，Taylor逼近逼近适合适合作函数的局部逼近作函数的局部逼近.由此可见：误差由此可见：误差不是均匀分布不是均匀分布的的.当当x越偏离越偏离x0误差就误差就越大越大即当即当x越接近越接近x0误差就误差就越小越小；我们将主要讨论我们将主要讨论整体逼近整体逼近问题问题:即对定义域上的即对定义域上的所有点所有点.近似函数近似函数对对被逼近函数被逼近函数的逼近的逼近函数曲线函数曲线对对样本数据样本数据的拟合的拟合考虑考虑:10湘潭大学数学与计算科学学院第10页，本讲稿共14页例例2 求区间求区间
6、0,1.5上的二次（抛物）曲线上的二次（抛物）曲线,要求要求该曲线过样本点该曲线过样本点 解解 设所求抛物线的方程为设所求抛物线的方程为 利用待定系数法，可得利用待定系数法，可得此例将引出所谓的此例将引出所谓的 Lagrange 型型多多项式插值问题项式插值问题,这时给定的样本数这时给定的样本数据据仅仅包含函数值包含函数值.11湘潭大学数学与计算科学学院第11页，本讲稿共14页例例3 求区间求区间0,1上的三次曲线，要求该函数曲线过上的三次曲线，要求该函数曲线过且其一阶导函数曲线过样本点且其一阶导函数曲线过样本点和和(即即函数曲线在函数曲线在0,1点处的斜率分别为点处的斜率分别为0和和1).)
7、.和和样本点样本点解解 设所求的三次曲线为设所求的三次曲线为类似于例类似于例2的计算，可得的计算，可得12湘潭大学数学与计算科学学院第12页，本讲稿共14页上例将引出所谓的上例将引出所谓的Hermite型型多项式插值问题多项式插值问题此时样本数据包含：此时样本数据包含：1 1、函数值、函数值2 2、一阶、一阶导数值导数值.更广泛的还有所谓的更广泛的还有所谓的Birkhoff插值问题插值问题.注意：注意：13湘潭大学数学与计算科学学院第13页，本讲稿共14页x01234567y27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8例例4 给定离散数据（下表），给定离散数据（下表），数据，使误差平方和最小。数据，使误差平方和最小。此例将引出所谓的此例将引出所谓的最小最小二乘二乘逼近问题。逼近问题。用一直线拟合这组用一直线拟合这组14湘潭大学数学与计算科学学院第14页，本讲稿共14页