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1、结构有限元法课件第1页，本讲稿共37页第2页，本讲稿共37页 3.2 位移函数的多项式形式位移函数的多项式形式 一维单元中，位移函数的多项式形式表示为 二维单元中 三维单元中第3页，本讲稿共37页第4页，本讲稿共37页 插值多项式阶次的选择原则插值多项式阶次的选择原则 （1）插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求）插值多项式应当尽可能满足下节所述的收敛性要求 （2）多项式描述的位移形式与局部坐标系无关）多项式描述的位移形式与局部坐标系无关 （3）多项式的数目应等于单元结点自由度的数目）多项式的数目应等于单元结点自由度的数目 第第(1)条要求在后面讨论。第条要求在后面讨论。第(2)条要求即
2、在不同局部坐标系中，条要求即在不同局部坐标系中，位移函数位移函数(多项式多项式)表达式不变，这种性质称为几何等向性，为表达式不变，这种性质称为几何等向性，为获得几何等向性，多项式中应含有不违反下图所示对称性的那获得几何等向性，多项式中应含有不违反下图所示对称性的那些项。些项。第5页，本讲稿共37页第6页，本讲稿共37页第7页，本讲稿共37页 收敛性要求收敛性要求 （1）位移函数中必须含有反映刚体运动的项数。）位移函数中必须含有反映刚体运动的项数。多项式形式的常数项即体现这一刚体位移。多项式形式的常数项即体现这一刚体位移。（2）位移函数应反映单元的常应变，即位移函数的导数中必）位移函数应反映单元
3、的常应变，即位移函数的导数中必须有常数项存在。须有常数项存在。当单元尺寸无限缩小时，单元应变将趋近于常量，因此单当单元尺寸无限缩小时，单元应变将趋近于常量，因此单元位移函数中应包括常应变项。元位移函数中应包括常应变项。平面应力和空间应力中，应变是位移的一阶导数，常应变平面应力和空间应力中，应变是位移的一阶导数，常应变即要求位移函数含有一次项。即要求位移函数含有一次项。（3）位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的）位移函数必须保证在相邻单元的接触面上应变是有限的 在有限单元法中，按位移求解时，只计算了各单元内部的在有限单元法中，按位移求解时，只计算了各单元内部的应变能，没有计算相邻两单
4、元接触面上的功，由于接触面的厚应变能，没有计算相邻两单元接触面上的功，由于接触面的厚度是零，当接触面上的应变是有限值时，此功等于零，反之，度是零，当接触面上的应变是有限值时，此功等于零，反之，当接触面上的应变不是有限值时，此功就可能不等于零，忽略当接触面上的应变不是有限值时，此功就可能不等于零，忽略它会引起一定的误差。它会引起一定的误差。第8页，本讲稿共37页3.3 单元刚度矩阵建立单元刚度矩阵建立（1）虚位移原理）虚位移原理（2）单元位移）单元位移（3）单元应力与应变）单元应力与应变（4）节点力与单元刚度矩阵）节点力与单元刚度矩阵（5）节点载荷）节点载荷第9页，本讲稿共37页3.3.1 虚位
5、移原理 外力在虚位移上所做的虚功是 在物体的单位体积内，应力在虚应变上的虚应变能是 整个物体的虚应变能是第10页，本讲稿共37页虚位移原理:如果在虚位移发生之前，物体处于平衡状态，那末在虚位移发生时，外力所做虚功等于物体的虚应变能，即3.3.2 单元位移 单元内任一点的位移可表示如下：第11页，本讲稿共37页 3.3.3 单元应变与应力 第12页，本讲稿共37页3.3.4 结点力与单元刚度矩阵 第13页，本讲稿共37页3.3.5 结点载荷 1分布体积力 第14页，本讲稿共37页 2分布面力 第15页，本讲稿共37页第16页，本讲稿共37页3.4 组装总刚组装总刚第17页，本讲稿共37页第18页
6、，本讲稿共37页第19页，本讲稿共37页第20页，本讲稿共37页3.5 解方程组求节点位移解方程组求节点位移（1）约束位移边界条件处理）约束位移边界条件处理（2）斜支座处理）斜支座处理（3）高斯消去法解方程组）高斯消去法解方程组（4）三角分解法）三角分解法第21页，本讲稿共37页位移边界条件位移边界条件 得到结构的刚度方程后，结构刚度方程的求解相当于总刚得到结构的刚度方程后，结构刚度方程的求解相当于总刚K求逆的过程。求逆的过程。但从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩但从数学上看，未经处理的总刚是对称、半正定的奇异矩阵，它的行列式值为零，不能立即求逆。阵，它的行列式值为零，不能立即求
7、逆。从物理意义看，结构处于自由状态，在结点载荷的作用下，从物理意义看，结构处于自由状态，在结点载荷的作用下，结构可以产生任意的刚体位移。结构可以产生任意的刚体位移。所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程唯所以，在已知结点载荷的条件下，仍不能通过平衡方程唯一地解出结点位移。一地解出结点位移。为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就为了使问题可解，必须对结构加以足够的位移约束，也就是应用位移边界条件。是应用位移边界条件。第22页，本讲稿共37页 首先要通过施加适当的约束，消除结构的刚体位移，再根首先要通过施加适当的约束，消除结构的刚体位移，再根据问题要求设定其它已知位移。据问题
8、要求设定其它已知位移。约束的种类包括使某些自由度上位移为零，或给定其位移值，约束的种类包括使某些自由度上位移为零，或给定其位移值，还有给定支承刚度等，本书涉及前两种。处理约束的方法，常还有给定支承刚度等，本书涉及前两种。处理约束的方法，常用的有删行删列法、分块法、置大数法和置用的有删行删列法、分块法、置大数法和置“1”法等，法等，下面分别予以介绍。下面分别予以介绍。第23页，本讲稿共37页删行删列法删行删列法 若结构的某些结点位移值为零时，则可将总体刚度矩阵中若结构的某些结点位移值为零时，则可将总体刚度矩阵中相应的行、列删行删列划掉，然后将矩阵压缩即可求解。相应的行、列删行删列划掉，然后将矩阵
9、压缩即可求解。这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总这种方法的优点是道理简单。如果删去的行列很多，则总体刚度矩阵的阶数可大大缩小。体刚度矩阵的阶数可大大缩小。通常用人工计算时常采用该方法。通常用人工计算时常采用该方法。若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩若用计算机算题，在程序编制上必带来麻烦，因为刚度矩阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变。因而一般阵压缩以后，刚度矩阵中各元素的下标必全改变。因而一般计算机算题不太采用。计算机算题不太采用。第24页，本讲稿共37页不是奇异的，因而可以解方程 分块法 由于全部给定的结点位移通常都不能在位移向量的开始或终了，故分块法的
10、编号方法是很麻烦的。因此，可以采用下述等价方法。第25页，本讲稿共37页置“1”法 实际计算中，上述方程可以在不重新排列的情况下用下述分块的方法来进行。第26页，本讲稿共37页 置大数法 在总体刚度矩阵中，把指定位移所对应的行和列的对角元素 乘上一个很大的数，此行其它元素保持不变，同时把该行对应的载荷项也相应地用 来代替第27页，本讲稿共37页 这样就用近似方程组代替原方程组，得到近似满足边界条件的解。当指定位移为零时，只要将对角元素乘上一个大数，而相应的载荷项经证明可以不置零。删行删列法适用于指定零位移点，而置大数法适用于给定位移(包括零位移)。第28页，本讲稿共37页斜支座的处理斜支座的处理 对于边界结点i，须限定 方向位移 为此，将边界结点i的位移及载荷都变换到局部坐标，第29页，本讲稿共37页第30页，本讲稿共37页斜支座处理斜支座处理第31页，本讲稿共37页第32页，本讲稿共37页高斯消去法解方程组高斯消去法解方程组第33页，本讲稿共37页第34页，本讲稿共37页三角分解法三角分解法总体刚度平衡方程是对称、正定矩阵，因而可作如下分解 第35页，本讲稿共37页是单位上三角矩阵 第36页，本讲稿共37页结结 束束第37页，本讲稿共37页