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1、！扣朴明国赳E国将长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学得分：本试卷共8页。时量120分钟。满分150分。一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知全集 U=R，集合A=2,3,4，集合B=0,2,4，日，则图中阴影部分表示的集合为 辑：怜IA.2,4B.Oc.5D.0,5去I2.和芒；Ci为虚数单位）是纯虚数，则 a=部A.-1B.O C.1 D.23.已知函数 y=f(x）的图象在点P(3,f(3）处的切线方程是 y=-2x+慰和7，则f(3)-J(3)=A.一2B.2C.-3D.3嘱：随租司4.命题户：A.-4OB.-4O
2、c.3OD.-405当Ox斗时，4xO）在号，上恰有3个零点，则的取值范围是A.%斗）LJ(4号）c.号，￥）U(s号）B.号，巾号，子）D.号，5)LJ 子，专）数学试题（长郡版）第1页（共8页）7.南宋数学家杨辉在详解九章算术法和算法通变本末中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成 等差数列如数列1,3,6,10，前后两项之差组成新数列 2,3,4，新数列 2,3,4 为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列现有高阶等差数列，其前7项分别为1,4,8,14,23,36,54，则该数 列的第19 项I 2 n(n+
3、1)(2n+1)为（注：12+22n=6)A.1624B.1024C.1198D.15608.已知函数f(x)=x3x+b，b仨 R.码，X2（m,n）且满足f(x1)=f(n),f(x2)=f(m），对任意的zm,n恒有f(m）f(x）f(n），则当a,b 取不同的值时A.n+2x1与m-2x2均为定值B.n 2x1与m+2x2均为定值C.n-2x1与m-2x2均为定值D.n+2x1与m+2x2均为定值二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共 20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.已知奇函数f(x)=,/3 sin(wx）cos(
4、wx）（wO,O）的最小正周期为，将函数f(x）的图象向右平移；个单位长度，可得到函数y=g(x）的图象，则下列结论正确的是A函数g(x)=2叫2x-f)B函数g(x）的图象关于点（f,o）对称C函数g(x）在区间号，t上单调递增D当反o,f J时，函数g(x）的最大值是d10.正四棱锥PABCD的所有棱长为2，用垂直于侧棱PC的平面截该四棱锥，则A.PC_l_BDE四棱锥外接球的表面积为8C.PA与底面ABCD所成的角为60D.当平面经过侧棱PC中点时，截面分四棱锥得到的上、下两部分几何体体积之比为3:1数学试题（长郡版）第2页（共8页）an,n为偶数，11.已知数列an满足1=8，向1，向
5、2斗Tn为数列lan 2,n为奇数，的前n项和，则下列说法 正确的有A.n为偶数时，an=(-1)平B.T2n2+9n C.T99=-2049 D.Tn的最大值为2012.设定义在R上的函数f(x）与g(x）的导函数分别为J(x）和g(x），若f(x+2)-g(l-x)=2,J(x)=g(x+1)，且g(x+l)为奇函数，则下列说法中一定正确的是A.g(l)=O C.三g(k)=OB.函数g(x）的图象关于x=2对称D.三f(k)g(k)=0 选择题答题卡题号I1 I 2 I 3 I 4 I s I 6 I 1 I s I 9 I 10 I 11 I 12 I得分答案 三、填空题：本题共4小题
6、，每小题 5分，共20分13.若log2十Iog2b=6，则十b的最小值为14.已知边长为2的菱形ABCD中，点F为BD上一动点，点E满足BE=一一一2一一2EC,AE BD一，则AFEF的最小值为3 15.已知等差数列an和正项 等比数列bn满足a1=b1=2，7=b3=23 则数列(a2)bn的前n项和为In x J艺品16.已知函数f(x)=，以x)=，右存在x10,x2R，使得f(x1)=x ex g(x2)O）的四个顶点构成的四边形面.a2 b2 积为机点（1，%）在椭圆C上(1）求椭圆C的方程；(2）若矩形MNPQ满足各边均与椭圆C相切，求证：矩形MNPQ对角线的长度为定值数学试题
7、（长郡版）第7页（共8页）22.(12分）已知函数f(x）可一寺，听R(1）讨论 f(x）极值点的个数；(2）若f(x）有两个极值点坷，功，且x1岛，证明：f(x1)+f(x2)2e-m.数学试题（长郡版）第8页（共8页）支德英才支联考长郡中学2023届高三月考试卷（二）数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题 5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号1 I z I 3 I 4 I s I 6 I 7 I s I 答案D I c I D I c I B I c I B I D I【解析】z王，l,wx旦王十王十王，其中2豆豆二旦盐，L 33L 3 33w3 w
8、6.C解得：3w6，则生主：；：王王z主要保证函数在旦，J恰有三个零点，3飞33 3L 3生主旦十旦2，I 3、3山3、11 14、需满足才解得：)l押L 33）141tw专S，rz王王坠，I 3 3 3 1 17 或满足才 解得：（5，王），151tw言缸，综上：的取值范围是号，手）U(5号），故选C【解析】令an:1.4,8,14,23,36,54，；两两作差得bn :3,4,6,9,13,18，；两两作差得Cn :1,2,3,4,5，7.B 则en:bn+l-bn=en，（1)累加法可得bn=3十一2一(n-1):an十1-an=bn=3一2一，1+2（1)（n l)(n 2)+3（1)
9、=f十3n2,n止十G一Gy arn=1024，故选B.【解析】当a二三0时，J(x)=3x2十二三0，此时，函数f(x）在R上为增函数，当工1,工2Cm，的时，f(x1)f(m），不合题意，8.D n x 2ttttx 一0寸，牛耳ltmsttLF ljat lttll ll:.aO),则a1=b3=2a3二2+6d=2q2=2(2+2d）二d=l,q=2,an=n+1,bn=2”，;(a-2)bn=（2十2n-l)2”2 2”+I一（1)2 2”，:.(a 2)bn的前项和为2 2计1.16._ _le,/一In币【解析】函数f(x）的定义域为co，十），f(x）一.工当工仨（O,e）时，
10、J(x)O,f(x）羊调递增，当z怡，十）时，J(x)O,f(x）羊调递减，又J(l)=O，所以z（0,1)时，f(x)O；二E怡，）时，f(x)O,同时注意到g(x）二三！于二阳，所以若存在X1（O，），工2R，使得JCx1)=g(x2)0成立，则Ox1l且JCx1）二g(x2)=f(e2),所以x1=ex2 Cx20），所以x1x2=x2韵，所以构造函数以x)=xe(xO，以x）单调递增；当z（一，一1)时，h(x)l,nN,2,n=l,即有an斗.5分l3.zn 2+1.nl.(2)an+l=Sn-n+3，可得Sn=3 zn 1-2，则bn=?=?Sn n十23 zn-l 1 2 3 即
11、有前 n项和为Tn=+十一一一豆十一丁3 3 2 3 22 3 21 1 2 3 T=一一丁一一丁_11_ 2 n 3 2司.22 3.乙33 zn I 1、1 1 1 1 1 n 1 牟121 n 两式相减可得，T=+一一?习一 一2 n 3 32 32 32 32n 3咱13 2n 2 4 4 I 1、n2 化简可得Tn=一 I i一.8 分3 3飞2J 3 2”由于bn各项大于川得TnT1二；，由不等式的性质可得Tnt.1 4 故3TnO，解得x=4,一1._1-v13一所以BC=4，则,6,.ABC 的面积S缸2ABBC sinABC-2 2 4 2-2品，3分SAE 梯形 ABCD
12、中，ABII CD,6,.ABC与MDC等高，且 CD=SS，=所以,6,.ADC 的面积sMOC=2些二5仆，则梯形 ABCD 的面积S=S 1,ABC+S ML汇7-vf3.6分(2）在梯形 ABCD 中，设ABD的而 AC_lBD,则BDC，BAC翌一，DBC=0!一，BCA_1t 2 3 AB BC,2 BC 在,6,.ABC 中，由正弦定理一一一一一寻，、二，、sinL三BCAsinL三BAC？.I1 Sllll61 Sllllz一叫CD BC 5 BC 在,6,.BDC 中，由正弦定理 得：，、二sinL三DBCsinBDC,/2 sin Sllll l】.飞3J 2sin（亏）s
13、in2 （！fs叫sin两式相除得飞 二，5叫t）叫：一）5 (q sin a t c叫cos数学试题参考答案（长郡版）4 整理得5/3sin2一7smco s2/3co s2二O,.9分即5/3 tan2a 7tan 2布O,2 q3 解得tan二工或tan一江，5 川2/32/3 因为正（石刻，则tan了，即tanLABD了时19.(12分）【解析】Cl）在三棱柱中，BB1/CC1，则由BB1l_平面AEF，知CC1l_平面AEF,故BB1l_AE,BB1牛EF,CC1l_AF，从而AEBAFC二号，由四边形AA1B1B与四边形AA1C1C面积相等知，AE=AF,又AB=AC，则l:,.A
14、EB三！：，.AFC，故BE二CF,结合BE/CF，知四边形BEFC为平行四边形，又BB1l_EF,故四边形BEFC为矩形.5分(2）取EF的中点G，联结AG，由（1)知AE=AF,且BB1C平面BB1CiC，则平面AEF上平面BB1C1C,又平面 AEFn平面BB1C1C=EF，则AGl_平面BB1C1C，.6分取BC的中点H，以G点为坐标原点，GF,GA,GH的方向分别为工，y,z轴建立如图所示空间直角坐标系，y；厄81 由AE=AF=EF=2知，L:,.AEF为正三角形，故AG=J言，故A(O，疗，川（1，。与）,c(1，。车）,AB=(1，疗，于）,AC=(1，字），设平面ABC的一个
15、法向量为a（工，y,z)nu 队z 3z 布一3hd Fhyud r fllIlllSIllIll故nunu 一一K aa flll、回只取y=l，则x=O,z=3,a=(O,1,3）.9分因为平面AEF的一个法向量为b=(0,0,1).10分ab 3 3.11n 则co s饵，b二?二一：；：二二I a bl v 1十g10 3 vll百vll百则二 面角的余弦值为故 面角的正弦值为.12分10一1020.(12分）【解析】(l）O,1,2,n 129 P句O）立一一七50175 3(;43 P（l)一土一一一一Co 175 _c _ 3P（2）一一一Lso 175 数学试题参考答案（长郡版
16、）5 hh、出lll1s p 129 43 3 7 EO125分175 175 175 25 50 5(2)(i）设池塘乙中鱼数为m，则弱，解得m=200，故池塘乙中的鱼数为200.7分(ii）设池堵乙中鱼数为n，令事件B“再捉20条鱼，5条有记号”，事件C“池堵乙中鱼数为n”_c。C！旦50则PCBIC）一，.9分。由最大似然估计法，即求最大时n的值，其中n二三65,Co C！艺49n十1 _ C!t-1一（n49）（19)Co C！5o一（n-64)(n十1)。当时5,.,198时，乍1,当n=l时，乍l,当可00,201,时，1,池塘乙中的鱼数为199或200.12分二，4GAU气dA吐
17、一91i 一一句94H 121d?析解，且分9“椭圆C的方程为丘豆1.4分4 3(2）当MN斜率为0或不存在时，对角线IMPl=INQl=2./7;.5分当MN斜率存在且不为0时，设M(xo,yo），则Xo手2,设过M 且与椭圆C相切的直线方程为y=k(xxo）十Yo,y=k(x-xo）十Yo,则斗 rz，2二（4k2十3)x2十Bk(yo-kxo)x+4Cyo-kxo)2-12=0,l 4 3 .1=64k2(yo-kxo)2-16(yo-kxo)2-3(4k2十3)=0.7分:.(4-xg)k2十2xoyok十3-yg=o,:xa:=2,:.4-xg芋O,:.k阳，k1,但是该方程 的两个
18、根，斗MNk皿汇兰1丰xg十y5=7 .10分主品。点M在定圆xz+yz=7上，即M,N,P,Q均在该圆上，其对角线MP,NQ为直径，即IMPI=INQI=2./7,综上，矩形MNPQ对角线的长度为定值2./7.12分22.(12分）【解析】(1:x=O显然不是（x）的零点，数学试题参考答案（长郡版）6、，i zZJ，、一一，、，、lIZm勺飞gJEz耐qtz 一一一一飞、BJZZ JE飞E飞rJg令g(x）在（一，O）单调递减，在（0,1)单调递减，在Cl，）单调递增:x 时，以x）0；工0 时，g(x）=;xO时，g(x）十时，g(x）十；g(x）极性g(l)=e,:.m（一，O）时，f（
19、。有1个极值点，mO,e时，只。有0个极值点，mCe，十）时，f(x）有2个极值点.5分(2）由（1)知，m怡，且O羽1岛，g(x1)=g(x2)=m,g(x）在（0,1)单调递减，在(1，十）羊调递增，先证：x1+x22,即证：x22-x1.:o且1岛，.2-xiL即证：g(x2)g(2X1),即证：g(x1)g(2-x1).令F(x)=g(x)-g(2-x),x（0,1)即证：Vx（0,1),F(x)O,ex(x-1)e2-x(l-x)f e e2 x F(x)=g(x)+g(2-x)=+=(x-1)(-:z)x2(2-x)2飞x2(2 x）一令t=2-x(1,2），则xh(t)=h(2 x),:.F气。O，即F(x）在z（0,1)羊调递减，F(x)FO)=O，证毕.8分再证：f(x1)+f(x2)2,.x12-x1 f(x2).即证：f(x1)+f(2-x1)O,p(x）羊调递增；当zCx12,1)时，pu(x)O，卢（x）单调递减;p(0)=4 2e2O,p(1)=O,:.:J X14（0,1)，（。在（0，工14）羊调递增，在（x14,1)羊调递减（0)=1，(1)=0,（x)O,:.G(x)O,:.G(x）在z（0,1)单调递增，:.G(x)GO)=2e,原命题得证 四分数学试题参考答案（长郡版）8