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1、第四章 圆与方程 知识点与习题1. 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点为圆心，定长为圆的半径。 设M（x,y）为A上任意一点，则圆的集合可以写作：P = M | |MA| = r 2、圆的方程（1）标准方程，圆心，半径为r； 点与圆的位置关系：当，点在圆外; 当=，点在圆上当，点在圆内; （2）一般方程 （x+D/2)2+(y+E/2)2=(D2+E2-4F)/4 （） 当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为 当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。（3）求圆的方程的方法：待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r；
2、若利用一般方程，需要求出D，E，F；直接法：直接根据已知条件求出圆心坐标以及半径长度。另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过圆心，以此来确定圆心的位置。3、直线与圆的位置关系： 直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：（1）设直线，圆，圆心到l的距离为 ，则有；（2） 过圆外一点的切线：设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k， 若求得两个不同的解，带入所设切线的方程即可； 若求得两个相同的解，带入切线方程，得到一条切线；接下来验证过该点的斜率不存在的直线（此 时，该直线一定为另一条切线）(3) 过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，
3、y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 两圆的位置关系判断条件公切线条数外离1+24条外切1+23条相交|1-2|1+22条内切|1-2|1条内含|1-2|0条4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。设圆，两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差的绝对值），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。（即几何法） 注意：已知圆上两点，圆心必在中垂线上；已知两圆相切，两圆心与切点共线5、.圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 联立圆C1的方程与圆C2的方程得到一个二元一
4、次方程 若两圆相交，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2公共弦所在的直线方程； 若两圆相切，则该二元一次方程表示：圆C1与圆C2的公切线的方程； 若两圆外离，则该二元一次方程表示的直线具有一个性质：从直线上任意一点向两个圆引切线， 得到的切线长相等（反之，亦成立）6、已知一直线与圆相交，求弦的长度 代数法：联立圆与直线的方程求出交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长 几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理） 7、已知两圆相交，求公共弦的长度代数法：联立两圆的方程求出交点坐标；利用两点间的距离公式求弦长几何法：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形（勾股定理）8、圆系与圆系方程 (1)
5、圆系:具有某种共同属性的圆的集合，称为圆系。 (2) 圆系方程：圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0 圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 （）若圆 C1与圆C2交于P1、P2点，那么，方程（）代表过P1、P2两点的圆的方程。若圆 C1与圆C2交于P点（一个点），则方程（）代表过P点的圆的方程。9、直线与圆的方程的应用用坐标法解决平面几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步
6、：将代数运算结果“翻译”成几何结论10、空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组，、分别是P、Q、R在、轴上的坐标2、有序实数组，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M，叫做点M的横坐标，叫做点M的纵坐标，叫做点M的竖坐标。11、空间两点间的距离公式1、空间中任意一点到点之间的距离公式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知两圆的方程是x2y21和x2y26x8y90，那么这两个圆的位置关系是()A相离B相交C外切 D内切解析：将圆x
7、2y26x8y90，化为标准方程得(x3)2(y4)216.两圆的圆心距5，又r1r25，两圆外切答案：C2过点(2,1)的直线中，被圆x2y22x4y0截得的最长弦所在的直线方程为()A3xy50 B3xy70Cx3y50 Dx3y10解析：依题意知，所求直线通过圆心(1，2)，由直线的两点式方程得，即3xy50.答案：A3若直线(1a)xy10与圆x2y22x0相切，则a的值为()A1，1 B2，2C1 D1解析：圆x2y22x0的圆心C(1,0)，半径为1，依题意得1，即|a2|，平方整理得a1.答案：D4经过圆x2y210上一点M(2，)的切线方程是()Axy100 B.x2y100C
8、xy100 D2xy100解析：点M(2，)在圆x2y210上，kOM，过点M的切线的斜率为k，故切线方程为y(x2)，即2xy100.答案：D5点M(3，3,1)关于xOz平面的对称点是()A(3,3，1) B(3，3，1)C(3，3，1) D(3,3,1)解析：点M(3，3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1)答案：D6若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点，点C是点D(2，2,5)关于y轴对称的点，则|AC|()A5 B.C10 D.解析：依题意得点A(1，2，3)，C(2，2，5)|AC|.答案：B7若直线ykx1与圆x2y21相交于P、Q两点，且POQ120(其中O为坐标原
9、点)，则k的值为()A. B.C.或 D.和解析：由题意知，圆心O(0,0)到直线ykx1的距离为，k.答案：C8与圆O1：x2y24x4y70和圆O2：x2y24x10y130都相切的直线条数是()A4 B3C2 D1解析：两圆的方程配方得，O1：(x2)2(y2)21，O2：(x2)2(y5)216，圆心O1(2,2)，O2(2,5)，半径r11，r24，|O1O2|5，r1r25.|O1O2|r1r2，两圆外切，故有3条公切线答案：B9直线l将圆x2y22x4y0平分，且与直线x2y0垂直，则直线l的方程是()A2xy0 B2xy20Cx2y30 Dx2y30解析：依题意知，直线l过圆心
10、(1,2)，斜率k2，l的方程为y22(x1)，即2xy0.答案：A10圆x2y2(4m2)x2my4m24m10的圆心在直线xy40上，那么圆的面积为()A9 BC2 D由m的值而定解析：x2y2(4m2)x2my4m24m10，x(2m1)2(ym)2m2.圆心(2m1，m)，半径r|m|.依题意知2m1m40，m1.圆的面积S12.答案：B11当点P在圆x2y21上变动时，它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是()A(x3)2y24 B(x3)2y21C(2x3)24y21 D(2x3)24y21解析：设P(x1，y1)，Q(3,0)，设线段PQ中点M的坐标为(x，y)，则
11、x，y，x12x3，y12y.又点P(x1，y1)在圆x2y21上，(2x3)24y21.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x3)24y21.答案：C12曲线y1与直线yk(x2)4有两个交点，则实数k的取值范围是()A(0，) B(，)C(， D(，解析：如图所示，曲线y1变形为x2(y1)24(y1)，直线yk(x2)4过定点(2,4)，当直线l与半圆相切时，有2，解得k.当直线l过点(2,1)时，k.因此，k的取值范围是0.故方程表示圆心为(k，2k5)，半径为|k1|的圆设圆心的坐标为(x，y)，则消去k，得2xy50.这些圆的圆心都在直线2xy50上(2)证明：将原方程变形为(2x4y10)k(x2y210y20)0，上式对于任意k1恒成立，解得曲线C过定点(1，3)(3)圆C与x轴相切，圆心(k，2k5)到x轴的距离等于半径，即|2k5|k1|.两边平方，得(2k5)25(k1)2，k53.