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1、 函数极值的求解方法函数极值的求解方法摘要本文首先介绍了一元函数极值的一些相关问题，总结了函数极值的定义，讨论了一元函数的充分条件和必要条件，同时列举不同的求解方法及相关例题；其次总结了多元函数的极值问题，讨论函数定义和求解方法；最后列举了函数极值在经济生活中的应用。关键词：函数极值；极大值；极小值The Solution of The Extremum of The FunctionABSTRACTFirstly, this paper introduces some relevant problems about the extremum of unary function, conclu
2、des the definition of the extremum of the function and discusses the sufficient and necessary conditions of unary function. Meanwhile, this paper illustrates different solving methods and related examples. Secondly, the paper concludes the extremum problem of multivariate function, the definition of
3、 multivariate function and the solution methods . Finally, this paper illustrates the application of the function extremum in economic life. Keywords：Function extremum; Maxima value; Minimum value目录摘要IABSTRACTII目录III一、引言1二、一元函数的极值问题1(一)一元函数极值的定义1(二)一元函数极值的一般求解方法11.配方法12.导数法2三、多元函数的极值问题5(一)多元函数极值的定义5
4、(二)多元函数极值的一般求解方法51.多元函数极值存在的充分必要条件52.隐函数F(x,y)=0极值的求解83.多元函数条件极值的求解9四、函数极值的实际应用13(一)利润最大化问题的应用13(二)效用最大化问题的应用15五、结论15参考文献16致谢17V一、 引言函数极值的求解在数学研究中是一个非常重要的部分，在理论学习和实际应用中占有重要的地位，是推动微积分发展的重要要素之一。极值的思想运用在解决许多数学问题时都起着至关重要的作用。当前在函数极值问题的研究中已经有不少的见解，并且在许多的期刊和学术论文中，理论和实践已经达到了广泛、透彻和深刻的认识与应用。为了更好地掌握这些理论的关系，通过运
5、用函数极值解决相关问题，我们需要更系统、深入地整理和研究这些知识。二、 一元函数的极值问题(一) 一元函数极值的定义定义11 若函数f在点x0的某邻域(x0)上对一切xx0 有fx0fx fx0fx，则称函数f在点x0取得极大（小）值，称点x0为极大（小）值点.极大值、极小值统称为极值，极大值点、极小值点统称为极值点.注意 最值和极值是两个完全不同的概念.极值是局部概念，是在某一区间内，只要在区间内存在存在某一点附近的单调性不同，就是极值.而最值是全局概念，是给定范围内最高点和最低点.最值一般是极值点、不可导点和端点的函数值（端点可取到时）中的最大最小值.(二) 一元函数极值的一般求解方法1.
6、 配方法一元二次函数fx=ax2+bx+ca0，配方可得fx=a(x+ b2a)2+ 4ac-b24a x-,+，a 0，函数对应的抛物线图像开口向上，纵坐标先递减到达最低点再递增，最低点对应的纵坐标值即为最小值；a0，函数对应的抛物线图像开口向下，纵坐标先递增到达最高点再递减，最高点对应的纵坐标值即为最大值.对于一元二次函数,最大（小）值就是极大（小）值，因为在定义域内极值唯一，且图像也能显然得出，若在定义域内存在顶点，则顶点横坐标对应的值为极值点，纵坐标对应的值为极值；若在定义域内不存在顶点，则不存在极值，最值在区间端点处取得.例1 已知函数fx=3x2-6x+7, x-3, 3，求函数的
7、极大值和极小值.解 函数配方可得fx=3x-12+4 .在定义域-3, 3内存在顶点1,4，因此函数存在极小值f1=4，无极大值.2. 导数法定理11（费马定理） 设函数f在点x0的某邻域上有定义,且在点x0可导.若点x0为f的极值点,则必有fx0=0.定理21（极值的第一充分条件） 设f在点x0连续,在某邻域0x0;上可导(1)若当xx0-, x0时fx0,若当xx0,x0+时fx0,则f在点x0取得极小值.(2)若当xx0-, x0时fx0,若当xx0,x0+时fx0,则f在点x0取得极大值.例2 求函数fx=1+x+x22!+xnn!e-x的极值（n为自然数）.解 由题可得fx=1+x+
8、x22!+x-1-1!e-x - 1+x+x22!+xnn!e-x= -xne-x n! .于是令fx=0 得到驻点x=0.当n为偶数时, fx0.故f(x)无极值.当n为奇数时,x0； x0时,则f(x)0,故fx在x=0点取得极大值f(0)=1.定理31（极值的第二充分条件） 设f在x0的某邻域x 0;上一阶可导,在x=x0处二阶可导,且fx0=0,fx00.(1)若fx00,则f在x0取得极小值.例3 求函数fx=x3+6x2-15x-20极值点与极值.解 函数fx的定义域为-,+.可以求得曲线与坐标轴想交于以下几点0,-20，-1,0，-5+1052,0，-5-1052,0.求一阶导可
9、得fx=3x2+12x-15，由fx=0得到稳定点x=1，-5.求二阶导可得fx=6x+12，由fx=0得到x=-2.极大值f（-5）=80，极小值f（1）=-28.x-,-5-5-5,-2-2-2,111,+f（x）+0-0+f（x）-0+f（x）极大值拐点极小值例4 求fx=|xx2-1|的极值点与极值.解 由于xx2-1=0，可得 x=0，1，-1.把f(x)的定义域分为四段：-,-1，-1,0，0,1，1,+ . 当x-,-1时，f(x)= -xx-1 ，f(x)=-3x+1 ，由f(x)=0得x=33,而33均不属于-,-1.当x-1,0时，f(x)= xx-1，f(x)=3x-1，
10、由f(x)=0得x=33，舍去33.由f-33=-230，故x=-33是f(x)的极大值点.当x0,1时，f(x)= -x(x-1)，f(x)=-3x+1，由f(x)=0得x=33, 舍去-33.由f33=-230， 故x=33是f(x)的极大值点.当x1,+ 时，无极值点.显然上述的分界点x=0,1,-1均是fx的极小值点，极小值为0； x=33是fx的极大值点，极大值为f33=239.定理41（极值的第三充分条件） 设f在x0的某邻域内存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导，且fkx0=0(k1,2,n-1），fnx00 ，则（1）当n为偶数时，f在x0取得极值，且当fnx00时取极小值
11、.（2）当n为偶数时，f在x0处不取极值.例5 求函数fx=x3x+14 的极值.解 由题目可得fx=x2x+13(7x+3) ，x=-37，-1，0是函数的三个稳定点.求二阶导数f(x)=6xx+127x2+6x+1，由此可得，f0=f-1=0及f-370.所以fx在x=-37时取得极小值.求三阶导数fx=6x+135x3+45x2+15x+1，有f-1=0,f00.由于n3为奇数可知，f在x=0不取极值.求f的四阶导数f4x=2435x3+60x2+30x+4，有f（4）-10时，f(x , y)在P0处取得极值.如果A0，取得极小值；如果 A0，取极大值.（2）当AC- B2 0，因此f
12、在点P0取得极小值f1,0=-1.由于f处处存在偏导数，故1,0为f的唯一极值点.例7 求fx,y=3axy-x3-y3 a0 的极值点与极值. 解 首先求稳定点，由方程组fx=3ay-3x2=0， fy=3ax-3y2=0，得f的稳定点0 , 0，a,a.其次求二阶偏导，A=fxx0,0=0，B=fxy0,0=3a，C=fyx0,0=0，D=fxxa,a=-6a，E=fxya,a=3a，F=fyxa,a=-6a .最后根据定理进行判断，AC- B2=-9a20，因此f在点(a,a)取得极小值fa,a=a3.由于f处处存在偏导数,故a,a为f的唯一极值点.引理13 若 n元函数u=fx1,x2
13、, , xn在驻点 P0=x10 , x20 , ,xn0 的某个邻域内具有二阶连续偏导数，在驻点 P0=x10 , x20 , ,xn0处作矩阵H(P0)=fx1x1fx1xnfxnx1fxnxn，(1)当H(P0)为正定矩阵时，n元函数u=fx1,x2, , xn在P0处取得极小值；(2)当H(P0)为负定矩阵时，n元函数u=fx1,x2, , xn在P0处取得极大值；(3)当H(P0)是不定矩阵时，n元函数u=fx1,x2, , xn在P0处不取得极值.例8 求函数 f (x , y ,z)= x+ y24x + z2y+2z的极值.解 首先求驻点，由fx=1-y24x2=0，fy=y2
14、x-z2y2， fz=2zy-2z2 ，联合可得驻点P0=12,1,1，P1=-12,-1,-1；其次求二阶偏导，fxx=y22x3，fxy=-y2x2，fxz=0，fyx=-y2x2，fyy=12x+2z2y3， fyz=-2zy2，fzx=0，fzy=-2zy2 ，fzz=2y+4z3.最后根据黑塞尔矩阵进行判断，P0=12,1,1时，fxx12,1,1=4 ， fxy12,1,1=-2，fxz12,1,1=0 ， fyx12,1,1=-2 ， fyy12,1,1=3， fyz12,1,1=-2， fzx12,1,1=0， fzy12,1,1=-2， fzz12,1,1=6.于是函数在点P
15、0的黑塞尔矩阵H=4-20-23-20-26，由于4 0 ， 4-2-23= 8 0 ，|H|= 32 0，所以H是正定的 ，由此可知函数在P0=12,1,1点取极小值，极小值为f12,1,1= 4.P1=-12,-1,-1时，fxx-12,-1,-1=-4，fxy-12,-1,-1=2， fxz-12,-1,-1=0， fyx-12,-1,-1=2， fyy-12,-1,-1=-3，fyz-12,-1,-1=2， fzx-12,-1,-1=0，fzy-12,-1,-1=2， fzz-12,-1,-1=-6.于是函数在点P0的 Hessian矩阵H=-4202-3202-6，由于-4 0，|H
16、|= -320 时，由方程 f( x, y )=0确定的隐函数 y=y x 在x0处取得极大值；当 fxx( x0, y0) fy(x0, y0 ) 0时，由方程 f( x, y )=0确定的隐函数 y =y x在x0处取得极小值.因此利用隐函数的求导公式y=-Fxx,yFyx,y， y=2FxFyFxy-Fy2Fxx-Fx2FyyFy3， 得到求由F(x,y)=0确定的隐函数y=fx极值的方法如下：首先,求y为零的点（驻点）A(x,y)，即方程组Fx,y=0，Fxx,y=0的解；其次，因在A处Fx=0，从而简化为y|A=-FxxFy|A；最后，根据极值判别的第二充分条件，当y|A0时，隐函数
17、y=f(x)在x处取极大值（极小值）y.定理7 4 设函数 f x1,x2, ,xn, y 在点 P0x10, x20 , , xn0 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，且fxix10, x20 , , xn0,y0=0n=1, 2, , n，fx10, x20 , , xn0,y0=0，fyx1,x2, ,xn, y0.由方程fyx1,x2, ,xn, y=0所确定的n元函数为y=y x1,x2, ,xn ，则当H P0=hijnn为正定矩阵时，y=y x1,x2, ,xn 在P0处取得极小值；当H( P0)=hijnn为负定矩阵时，y=y x1,x2, ,xn 在P0处取得极大值；当 H(
18、P0)=hijnn为不定矩阵时，y=y x1,x2, ,xn 在P0处不取得极值.其中hij=-fxixjx10, x20 , , xn0,y0fyx10, x20 , , xn0,y0 ，i， j =1, 2, , n.例9 求由方程 F=x12+3x22+y2+6x1y-2y+6=0所确定的隐函数y=fx1, x2的极值. 解 首先求驻点，令Fx1, x2, y=x12+3x22+y2+6x1y-2y+6=0，由Fx1=2 x1+6y =0，Fx2=6x2=0，x12+3x22+y2+6x1y-2y+6=0，可得驻点 P1( 3,0,-1)，P2- 94,0,34 .其次求二阶偏导，Fx1
19、x1=2，Fx1x2=Fx2x1=0，Fx2x2=6.最后根据定理进行判读，由Fy=2y+6 x1-2，可得Fy P1=14， Fy P2=-14，所以H P1=-1700-37 ， H P2=170037 ，而H P1为负定矩阵，H P2 为正定矩阵，由定理7知函数 y=fx1, x2 在 P1( 3,0,-1)处取得极大值 f3,0=-1， y=f x1, x2 在 P2- 94,0,34处取得极小值f- 94,0=34 .3. 多元函数条件极值的求解 柯西不等式法极值、最值可以转化为柯西不等式的形式求解.柯西不等式5：对于任意的实数 a1,a2,an和b1,b2,bn,总有a1b1+a2
20、b2+anbn2a12+a22+an2b12+b22+bn2简述为“积和方不大于方和积”；aiR，biR，当且仅当a1,a2,an与b1,b2,bn,对应成比例时，等号成立.例10 已知x-32+y+22+z+12=14，求fx,y,z=3x+y-2z的最值.解 首先将fx,y,z=3x+y-2z，变形为fx,y,z=3x-3+y+2-2z+1+9；再设gx,y,z=3x-3+y+2-2z+1，于是，根据柯西不等式及已知条件，有3x-3+y+2-2z+1232+12+-22x-32+y+22+z+12,因此，-143x-3+y+2-2z+114当且仅当x-33=y+21=z+1-2=kx-32
21、+y+22+z+12=14 时 ，等号成立；因此，当k=1，x=6，y=-1，z=-3时，gx,y,zmax=2；当k=-1，x=0，y=-3，z=1时，gx,y,zmin=-14.所以有fx,y,zmax=11， fx,y,zmin=-5.例11 已知1x+1y+1z=1，求fx,y,z=2x+2y+2z x，y，z0的极小值.解 首先将f变形为fx,y,z=2x+y+z 1x+1y+1z ，接着根据柯西不等式及已知条件，有fx,y,z=2x+y+z 1x+1y+1z2x1x+y1y+z1z2=18，当且仅当x=y=z=3，等号成立.因此，fx,y,z的极小值为18.直接代入法直接代入法的实
22、质就是将条件极值转化为无条件极值，这样就转化成了我们前面研究的内容，十分简单了.下面我们根据几个例子进行了解.例12 求函数fx,y,z=x2+y2+z2在条件x+y-z=0下的极值.解 首先进行转化，由题可知将x+y=z带入函数fx,y,z=x2+y2+z2，可得gx,y=2x2+2y2+2xy.其次求驻点，解方程组gx=4x+2y=0，gy=2x+4y=0， 可得驻点P0=(0,0).接着求二阶偏导，gxx=4，gxy=2，gyx=2，gyy=4， .根据黑塞尔矩阵进行判断，根据HP0=4224，可得H为正定矩阵，因此在P0处取得极小值fx,y,z=gx,y=0 .拉格朗日数乘法其实对于直
23、接代入法，需要进行带入与求解方程，但是这种方法在很多条件下并不容易求解，甚至可能行不通. 正是针对上面代入法的弊端 ，引入了拉格朗日数乘法 如果引入辅助变量和辅助函数Lx,y,=fx,y+(x,y)则Lxx0,y0,0=fxP0+0xP0=0，Lyx0,y0,0=fyP0+0yP0=0，Lx0,y0=P0=0， 这样就把条件极值问题转化为讨论函数的无条件极值问题，这种方法称为拉格朗日数乘法.6例13 对于上面的例题12也可以采用拉格朗日数乘法来进行计算.解 目标函数fx,y,z=x2+y2+z2，约束条件x+y-z=0 ，应用拉格朗日数乘法，令Lx,y,z,=x2+y2+z2+x+y-z.接着
24、对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有Lxx0,y0,z0,0=2x+=0，Lyx0,y0,z0,0=2y+=0，Lzx0,y0,z0,0=2z-=0，Lx0,y0,z0,0= x+y-z=0，联合可得x=y=z=0.因此可得极小值fx,y,z=0.例14 应用拉格朗日数乘法，求出函数fx,y,z=xyz，若x2+y2+z2=1，x+y+z=0的条件极值.解 目标函数fx,y,z=xyz，约束条件x2+y2+z2=1 ，x+y+z=0，应用拉格朗日数乘法，令Lx,y,z,=x2+y2+z2+x2+y2+z2-1+(x+y+z).接着对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有Lx=yz+2x+=
25、0，Ly=xz+2y+=0，Lz=xy+2z+=0，L=x2+y2+z2-1=0，L=x+y+z=0， 联立可得x,y,z的六组值为：x=16,y=16,z=-26, x=26,y=-16,z=-16, x=16,y=-26,z=16, x=-16,y=-16,z=26, x=-26,y=16,z=16, x=-16,y=26,z=-16,又fx,y,z=xyz在有界闭集x,y,zx2+y2+z2=1，x+y+z=0上连续，故有最值.因此有极小值f16,16,-26=f-26,16,16=f16,-26,16=-136.，极大值f-16,-16,26=f26,-16,-16=f-16,26,-
26、16=136. 例15 （1）求表面积一定而体积最大的长方体；（2）求体积一定而表面积最小的长方体.解 （1）设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，表面积为a2(a0)，则体积为 fx,y,z=xyz，限制条件为2xy+yz+xz=a2.设Lx,y,z,=xyz+2xy+yz+xz-a2 ，令Lx=yz+2(y+z)=0，Ly=xz+2(x+z)=0，Lz=xy+2(x+y)=0，L=2xy+yz+xz-a2=0，解的x=y=z=a6 .因所求长方体体积的最大值，且稳定点只有一个，所以最大值fa6,a6,a6=a366.故表面积一定而体积最大的长方体是正立方体. （2）设长方体的长、宽、高分别
27、为x，y，z，体积为v，则表面积fx,y,z=2xy+yz+xz，限制条件为xyz=v，设 Lx,y,z,=2xy+yz+xz+xyz-v ，令Lx=yz+2(y+z)=0，Ly=xz+2(x+z)=0，Lz=xy+2(x+y)=0，L=xyz-v=0，解得x=y=z= 3v .故体积一定而表面积最小的长方体是正立方体.四、 函数极值的实际应用(一) 利润最大化问题的应用例167 某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费用x1(万元)及报纸广告费x2(万元)之间的关系有如下经验公式R=15+14x1+26x2-8x1x2-2x12-5x22
28、，在广告费用无限的情况下，求最优广告策略，使所获利润最大.解 利润等于收入与费用之差，利润函数为=15+14x1+26x2-8x1x2-2x12-5x22-x1+x1=15+13x1+25x2-8x1x2-2x12-5x22.根据极值存在的必要条件，令x1=13-8x2-4x1=0，x2=25-8x1-10x2=0，求得驻点P03512,16 .利润函数在驻点处的黑塞尔矩阵为A=-4-8-8-10.由于Hesse矩阵A为负定矩阵，所以在驻点P03512,16处达到极大值，也是最大值即最优广告策略为：电台广告费用和报纸广告费用分别3512万元和16万元，此时可获得最大利润例17 设某工厂生产两种
29、产品 A，B，D1，D2 分别为产品 A，B的需求量，而它们的需求函数为D1 =-8-P1+ 2P2， D2= 5+ 2P1P2，总成本函数 C=2D 1+D2，其中P1，P2分别是产品A，B的价格(单位：万元) .问价格P1，P2分别取何值时可使利润最大?最大利润为多少? 解 总收益为R=P1D1+P2D2，总利润为L = R-C=-P12-P22-8P1+2P2+4P1P2+11，利润L是价格P1，P2的二元函数.解方程组LP1=-2P1+4P2-8=0， LP2=-2P2+4P1+2=0，得P1=23P2=73 ，即得唯一驻点23，73 由题意知利润存在，且驻点唯一，所以利润在驻点处取得
30、最大值，即当产品A 、B的价格为23（万元）、73（万元）时可获得最大利润为L= R-C=323 .(二) 效用最大化问题的应用在经济学中，经常会涉及到效应最大化的问题在解决该种类型的问题中，通常借助于拉 格朗日乘数法来对此类问题进行解答.8设定消费者的效用函数为F=f(x1,x2)进行消费中，预算的边界条件为I=p1x1+p2x2对此进行拉格朗日乘数法运算，得Lx1,x2,=fx1,x2+(I-p1x1-p2x2)，式中为拉格朗日的乘数值. 在拉格朗日乘数方程的基础上设定效用最大化的一阶函数，即Lx1=F1-p1=0，Lx2=F2-p2=0，L=I-p1x1-p2x2=0，由第一阶函数的条件
31、可以得到F1F2=p1p2，其中F1F2表示消费者所购商品的边际替代率.五、 结论这篇文章从一元函数的极值入手，拓展到了多元函数的极值.主要叙述了一元和多元函数这两个方面的理论知识和实际应用.在给出它们的极值求解方法的时候，通过整理后分别给出了不同的方法还有对应广泛的例题.将这些解题方法应用在实际问题上，还可以帮助清晰思路.随着数学研究的深入，极值越来越重要.在掌握了函数极值的求解方法及应用以后，对于学习和理解一些知识有着促进作用.参考文献1 华东师范大学数学系.数学分析（第四版）M.北京：高等教育出版社,2010.2 王建梅，张春荀. 二元函数极值充分条件的评注J. 工科数学，2002，18
32、（6）：117-121.3 申玉发.矩阵的正定理论在多元函数极值问题中的应用J.郑州航空工业管理学院学报, 1996，（3）：59-61.4 单国莉.隐函数极值存在的条件及应用实例J. 烟台师范学院学报（自然科学版），2005，21（3）：183-185.5 王仁发.高等代数专题研究M. 北京：中央广播电视大学出版社,2003.6 同济大学数学系. 高等数学（第七版）M.北京：高等教育出版社,2014.7 龙莉，黄玉洁. 多元函数的极值及其应用J. 鞍山师范学院学报，2003，5（4）：10-12.8 赵泽福. 多元函数极值的应用分析J. 长春工业大学学报，2016，37（1）：98-101.致谢本文的完成离不开xxxxx学院xxx老师的耐心指导，同时我校丰富的图书馆电子资源以及我院良好的机房硬件设施也为本课题的研究工作提供了良好的条件，本课题的完成同样也离不开同窗挚友的共同讨论，在此对各位一并的感谢.转眼间四年大学即将结束，在这里祝各位老师工作顺利，祝各位同学前程似锦.20