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1、第三章动量矩定理第1页，本讲稿共69页3-1 动动 量量 矩矩3-2 动量矩定理动量矩定理3-3 刚体的定轴转动微分方程刚体的定轴转动微分方程3-4 相对于质心的动量矩定理相对于质心的动量矩定理动动量量矩矩定定理理3-5 刚体的平面运动微分方程刚体的平面运动微分方程第2页，本讲稿共69页3-1 动量矩动量矩1.质点动量矩的计算质点动量矩的计算质点对点点的动量矩动量矩：质点对轴轴的动量矩 质点对点的动量矩是矢量，大小为DOMD面积的两倍，矢量从矩心O画出，其方位垂直于质点矢径r和动量mv所组成的平面，指向按右手规则确定；质点对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量。
2、第3页，本讲稿共69页2.质点系动量矩的计算质点系动量矩的计算质点系对点的动量矩：质点系对轴的动量矩质点系对点O的动量矩为质点系内各质点对同一点O动量矩的矢量和，一般用Lo表示。质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly,Lz表示。LO=MO(mivi)=r mivi第4页，本讲稿共69页例例 已知小球C和D质量均为m，用直杆相连，杆重不计，直杆中点固定在铅垂轴AB上，如图示。如杆绕轴AB以匀角速度转动，求质点系对定点O的动量矩。解解：质点C对点O的动量矩为：方向垂直CD同样质点D对点O的动量矩为：故有：若考虑杆子的质量，则需要进行积分。Lo方向同上第5页，
3、本讲稿共69页 设刚体以速度v平动，刚体内任一点A的矢径是 ri,该点的质量为mi，速度大小是 vi。LO=MO(mivi)=(miri)vC该质点对点O 的动量矩为 MO(mivi)=rimiviOriAmivi因为刚体平动 vi=v=vCLO=MO(mivi)=rimivi又因为 (mi)rC=miri所以 LO=mi rCvC=rCmi vC3.平动刚体对固定点的动量矩平动刚体对固定点的动量矩第6页，本讲稿共69页4.定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩由动量矩定义得：其中,Jz=miri2称为刚体对转轴的转动惯量。即：定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对于该轴的转动惯量
4、与角速度乘积。只适用于定轴只适用于定轴,不是转轴及点都不成立不是转轴及点都不成立第7页，本讲稿共69页 常见刚体对轴的转动惯量常见刚体对轴的转动惯量在工程中，常将转动惯量表示为其物理意义：相当于将质量集中与一点，该点距轴的距离为z刚体转动惯性的度量,是刚体内所有各点的质量与其对该轴的转动半径的平方的乘积的总和。影响影响转动惯量大小的因素转动惯量大小的因素 整个刚体质量的大小。整个刚体质量的大小。刚体各部分的质量分布。刚体各部分的质量分布。转轴的位置。转轴的位置。第8页，本讲稿共69页A 匀质细杆对匀质细杆对z轴的转动惯量：轴的转动惯量：Cl/2l/2xdxxz简单形状匀质刚体的转动惯量简单形状
5、匀质刚体的转动惯量第9页，本讲稿共69页B 匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：匀质薄圆环对于中心轴的转动惯量：C 匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：匀质薄圆板对于中心轴的转动惯量：式中式中：第10页，本讲稿共69页D 匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量：匀质薄圆板对于径向轴的转动惯量：第11页，本讲稿共69页E 转动惯量的平行轴定理转动惯量的平行轴定理第12页，本讲稿共69页转动惯量的计算：（1）简单查表（2）规则形状组合叠加（3）形状复杂实验例例：图示为一简化钟摆，已知均质细杆和均质圆盘的质量分别为m1和m2，杆长l，圆盘直径为d。求摆对经过悬挂点O的水平轴的转动惯量。解解：第13页，本讲稿共69页
6、匀质曲杆OAB如图所示。已知质量是m，求曲杆对通过杆端O并与曲杆面垂直的轴Oz的转动惯量。解：OCaAbB第14页，本讲稿共69页 设Oxyz是固连在刚体上的坐标系，轴线OL与坐标轴x，y，z的夹角用，表示。刚体对轴刚体对轴OL的转动惯量的转动惯量 因因 ，故，故 xzAOrLyBL由矢量投影定理得由矢量投影定理得 刚体对任意轴的转动惯量刚体对任意轴的转动惯量惯性积和惯性主轴惯性积和惯性主轴 A第15页，本讲稿共69页 过固定点O建立固定坐标系Oxyz，以质点系的质心C为原点，建立平动坐标系Cx y z,质点系对固定点O的动量矩为LC 质点系相对质心C的动量矩OAvxyzvCzyxCvCvrr
7、Crr质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩计算公式的动量矩计算公式5.平面运动刚体对固定点平面运动刚体对固定点O的动量矩的动量矩第19页，本讲稿共69页 过过固固定定点点O建建立立固固定定坐坐标标系系Oxyz，以以质质点点系系的的质质心心C为为原点，取平动坐标系原点，取平动坐标系Cxy z,它以质心的速度它以质心的速度vC 运动。运动。质质点点系系内内任任一一质质点点A的的绝绝对对速速度度 v=ve+vr=vc+vr ,则则质点系对固定点质点系对固定点O的动量矩的动量矩证证证证 明明明明OAvxyzvCzyxCvCvrrCrr动系动系定系定系质心的性质质心的性质第20页，本讲稿共69页LC
8、质点系相对质心质点系相对质心C 的动量矩的动量矩0则上式可以写为则上式可以写为OAvxyzvCzyxCvCvrrCrr只适用于质心只适用于质心那么LC如何求解？第21页，本讲稿共69页如图所示一半径为r的匀质圆盘在水平面上纯滚动,已知圆盘对质心的转动惯量为JO，角速度为，质心O点的速度为vO。试求圆盘对水平面上O1点的动量矩。思考题思考题解:OrvOO1x第22页，本讲稿共69页行星齿轮机构在水平面内运动。质量为m1的均质曲柄OA带动齿轮II在固定齿轮I上纯滚动。齿轮II的质量为m2，半径为r2。定齿轮I的半径为r1。求轮II对轴O的动量矩。思考题思考题 0 0OAPr1r2 2解:第23页，
9、本讲稿共69页 长度为l，质量不计的杆OA与半径为R、质量为m的均质圆盘B在A处铰结，杆OA有角速度，轮B有相对杆OA的角速度（逆时针向）。求圆盘对轴O的动量矩。OBA 思考题思考题解:第24页，本讲稿共69页若轮B有相对杆OA的角速度。求圆盘对轴O的动量矩。OBA 解:匀质圆盘B平移OBA 若圆盘与杆固结第25页，本讲稿共69页1.质点动量矩定理质点动量矩定理 质点对质点对固定点固定点的动量矩对时间的一阶导数等的动量矩对时间的一阶导数等于作用于质点上的力对同一点的力矩。于作用于质点上的力对同一点的力矩。A对固定点3-2 动量矩定理动量矩定理第26页，本讲稿共69页 质点对某固定轴的动量矩对时
10、间的导数，等于作用于该质点的所有力对于同一轴之矩的代数和。B固定轴将上式两边分别向坐标轴投影，再利用对点和对轴动量矩公式可得质点对定点的动量矩定理在三个坐质点对定点的动量矩定理在三个坐标轴的投影方程不独立标轴的投影方程不独立第27页，本讲稿共69页质点在有心力作用下的运动质点在有心力作用下的运动 若质点在运动过程中始终只受到指向某固定点的力的作用，称该质点在有心力作用下运动。（行星）绕太阳，月亮绕地球运动等，都属于这种情况。力的作用线恒通过定点，因此力F对于该点的矩恒等于0，于是质点动量矩守恒，即动量矩大小和方向不发生变化，方向不变说明mv和r始终在一个平面内且质点绕相同的方向运行；mvr大小
11、不变，说明vr若大小不变，若r小则v大。第28页，本讲稿共69页把单摆看成一个在圆弧上运动的质点A，设其质量为m，摆线长l。又设在任一瞬时质点A具有速度v，摆线OA与铅垂线的夹角是。例 试用动量矩定理导出单摆(数学摆)的运动微分方程。解：取取通通过过悬悬点点O而而垂垂直直于于运运动动平平面面的的固固定定轴轴z，对对此此轴轴应应用用质质点点的的动动量量矩矩定理定理OAmgFv lA第29页，本讲稿共69页2.质点系动量矩定理质点系动量矩定理 质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数质点系对固定点的动量矩对于时间的一阶导数等于外力系对同一点的主矩等于外力系对同一点的主矩。A对固定点第30页，本讲稿
12、共69页质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于该质点系的所有力对于同一轴之矩的代数和。B固定轴将上式两边分别向坐标轴投影，质点系对定点的动量矩定理在三个质点系对定点的动量矩定理在三个坐标轴的投影方程独立坐标轴的投影方程独立第31页，本讲稿共69页1.1.如果如果MO(Fi（e)0，则则LO=常矢量常矢量.2.2.如果如果Mz(F（e）)0，则则Lz=常量。常量。对定点的动量矩定理对定轴的动量矩定理结结结结 论论论论如作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴)的主矩始终等于零,则质点系对该点(或该轴)的动量矩保持不变。这就是质点系的动量矩守恒定理.3.质点系动量矩守恒定理质点系动量矩
13、守恒定理第32页，本讲稿共69页 实例：实例：实例：实例：爬绳比赛的力学分析爬绳比赛的力学分析爬绳比赛的力学分析爬绳比赛的力学分析初始静止初始静止 Lz0=0第33页，本讲稿共69页例题 如图所示，在静止的水平匀质圆盘上，一人沿盘边缘由静止开始相对盘以速度u行走，设人质量为m2，盘的质量为m1，盘半径r，摩擦不计。求盘的角速度。uABzrO 解：以人和盘为研究对象。F FB Bz zm m2 2g gF FB Bx xm m1 1g gF FB By yF FA Ax xF FA Ay y初始静止初始静止 Lz0=0第34页，本讲稿共69页3-3 刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程根
14、据质点系动量矩定理有绕定轴转动刚体的动量矩为：转动定理转动微分方程第35页，本讲稿共69页 例题 匀质圆轮半径为R、质量为m。圆轮在重物P带动下绕固定轴O转动，已知重物重量为W。求重物下落的加速度。OPWW 解：解：以整个系统为研究对象。以整个系统为研究对象。aP=RvOPWaPFxmgFy第36页，本讲稿共69页思考思考：图示三种情况下（同一圆轮），在该瞬时圆轮转动的角加速度是否相同？大小顺序？（a）是用不计重量的铁条将重为P P 的物块焊在圆轮上；（b）是用不计重量的绳索将重为P P 的物块悬挂在同一圆轮上；（c）是在与圆轮连接的不计重量的绳索上作用大小为P 的力。第37页，本讲稿共69页
15、解解:由由 ,得得研究系统，受力分析如图，研究系统，受力分析如图，例已知：R,J,M,m,小车不计摩擦.系统初始静止.求:上升过程小车的加速度。第39页，本讲稿共69页例 提升机构如图所示，设启动时电动机的转矩M视为常量，大齿轮及卷筒对于轴AB的转动惯量为J2，小齿轮、联轴器及电动机转子对于轴CD的转动惯量为J1，被提升的重物重为P，卷筒、大齿轮及小齿轮的半径分别为R、r2及r1。略去摩擦及钢丝绳质量，开始静止,求重物上升的加速度。第40页，本讲稿共69页例题 已知电机产生的转矩MO 与其角速度 的关系为 MO=MO1(1/1)，其中MO1表示电机的启动转矩,1表示电机无负载时的空转角速度,且
16、MO1和1都是已知常量.作用在飞轮上的阻力矩MF可以认为不变。电机轴连同其上的飞轮对轴O的转动惯量是JO，试求当MO MF时电机启动后角速度 随时间t而变化的规律。MFMO OmgFxFy电机的转动微分方程为电机的转动微分方程为令令第41页，本讲稿共69页由题意由题意MO MF 知知，bc 0，故飞轮作加速转动。上式可故飞轮作加速转动。上式可分离变量而化为求积，有分离变量而化为求积，有MFMO OmgFxFy当当t时时，上上式式括括号号内内的的第第二二项项趋趋近近于于零零；这这时时飞飞轮轮将将以极限角速度以极限角速度转动，转动，第42页，本讲稿共69页例题 复摆由可绕水平轴转动的刚体构成。已知
17、复摆的质量是m，质心C到转轴O的距离为b，复摆对转轴O的转动惯量是JO，设摆动开始时OC与铅直线的偏角是0,且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。OC 0b解：研研究究复复摆摆,在在任任意意位位置置时时受受力力分分析析，为为便便于于计计算算，把把轴轴承承反反力力沿沿质质心心轨轨迹迹的的切切线线和和法法线线方方向向分分解成两个分力解成两个分力F1和和F2。OC bF1F2mg第43页，本讲稿共69页OC bF1F2mg当复摆作微摆动时，令当复摆作微摆动时，令 sin,可得复摆微幅摆动的微分方程可得复摆微幅摆动的微分方程复摆的微幅振动是简谐运动。复摆的微幅振动是简谐
18、运动。考虑到复摆运动的初始条件：当考虑到复摆运动的初始条件：当t=0时时第44页，本讲稿共69页摆动的频率摆动的频率0和周期和周期T 分别是分别是复摆运动规律为复摆运动规律为工程上常利用上式测定形状不规则刚体的转动惯量。工程上常利用上式测定形状不规则刚体的转动惯量。为此把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动频率为此把刚体做成复摆并用试验测出它的摆动频率0和周期和周期T，然后求得转动惯量然后求得转动惯量OC bF1F2mg第45页，本讲稿共69页3-4 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 动量矩定理是相对于惯性坐标系中固固定定点点或固固定定轴轴而言的，并不适用于非惯性系的情况。质点
19、系相相对对质质心心时,其动量矩与力矩之间有什么样的关系?vr第46页，本讲稿共69页质点系相对质心动量矩定理质点系相对质心动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩。等于作用于质点系的外力对质心的主矩。第47页，本讲稿共69页相对于质心轴的动量矩定理质点系相对于质心轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对该轴的主矩。讨讨讨讨 论论论论1.1.在在以以质质心心为为原原点点的的平平动动坐坐标标系系中中，质质点点系系对对质质心心（或或质质心心轴轴）的的动动量量矩矩定定理理的的形形式式与与对对定定点点（或定轴）的动量
20、矩定理的形式相同；（或定轴）的动量矩定理的形式相同；2.2.质质点点系系相相对对于于质质心心（或或质质心心轴轴）的的动动量量矩矩的的改改变变，只只与与质质点点系系的的外外力力有有关关，即即内内力力不不能能改改变变质质点点系对质心（或质心轴）的动量矩。系对质心（或质心轴）的动量矩。第48页，本讲稿共69页刚体相对质心的动量矩定理刚体相对质心的动量矩定理平面刚体相对质心的动量矩刚体刚体相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理vir第49页，本讲稿共69页例题长度为l，质量为m1的均质杆OA与半径为R，质量为m2的均质圆盘B在A处铰接，铰链O，A均光滑。初始时，杆OA有偏角0，轮B有角速度0（逆时针
21、向）。求系统在重力作用下的运动。OBA A B B第50页，本讲稿共69页1.考考虑虑圆圆盘盘B，受受力力如如图图所所示示，根根据据相相对对质质心的动量矩定理心的动量矩定理2.2.考考虑虑杆杆轮轮系系统统，受受力力如如图图所所示示,应用对固定点应用对固定点O的动量矩定理的动量矩定理解：LO=LC+rCpOBA Am m2 2g gm m1 1g gF FO Oy yF FO Ox xBBA Am m2 2g gF FA Ay yF FA Ax x第51页，本讲稿共69页3.3.运运动动特特性性：圆圆盘盘的的转转动动不不影影响响系系统统的的摆摆动动，而而系系统统的的摆摆动也不影响圆盘的转动。动也
22、不影响圆盘的转动。微幅振动时的运动规律为微幅振动时的运动规律为BBA Am m2 2g gF FA Ax xF FA Ay yOBA Am m2 2g gm m1 1g gF FO Oy yF FO Ox x?非耦合运动非耦合运动!第52页，本讲稿共69页3-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程平面运动平面运动随质心平动随质心平动绕质心转动绕质心转动投影式投影式：刚体平面运动动力学方程刚体平面运动动力学方程第53页，本讲稿共69页投影式投影式：质心运动定理与刚体相对质心动量矩定理的结合完成了对刚体平面运动的完整描述.当aC=0及=0时,变成了平面一般力系平衡方程.建立了质点系的运动量(
23、动量和动量矩)与力系的特征量(主矢和主矩)之间的关系.刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程第54页，本讲稿共69页例例 半径为r、质量为m的均质圆轮沿水平直线轨道纯滚动。设轮的回转半径为rC，作用于圆轮上的力矩为M，圆轮与地面间的静摩擦系数为f。求（1）轮心的加速度；（2）地面对圆轮的约束力；（3）在不滑动的条件下力矩M的最大值。解解:第55页，本讲稿共69页欲使圆轮只滚动而不滑动（纯滚动）第56页，本讲稿共69页xyOC C若在斜面上?xyOC CA AFNFmg aCmaC=mgsinF0=FNmgcos JC=F r aC=r FN=m g cos求得圆柱滚动而不滑动的条件求得圆柱滚
24、动而不滑动的条件tan 3fs 讨讨 论论若此条件不成立，如何分析？若此条件不成立，如何分析？即圆柱有滑动，故运动学关系即圆柱有滑动，故运动学关系aC=r不成立。不成立。则应用关系则应用关系F=FN fs 做为补充方程。做为补充方程。第57页，本讲稿共69页例例 均质细杆AB，长l，重P P，两端分别沿铅垂墙和水平面滑动，不计摩擦，如图所示。若杆在铅垂位置受干扰后，由静止状态沿铅垂面滑下，求杆在任意位置的角加速度(的函数)。解解 以杆为研究对象，在任意位置的受力如图所示。其质心的坐标为:质心的加速度为：第58页，本讲稿共69页根据杆的平面运动微分方程第59页，本讲稿共69页联立上面3个微分方程
25、,有:若还要求解任一瞬时的角速度,则可进一步积分:第60页，本讲稿共69页已知鼓轮转动惯量为Jo,大小轮半径为r1,r2,悬挂重物质量分别为m1,m2。求鼓轮的角加速度和轴承的约束力。解：研究系统，受力分析如图，v2v1(逆时针逆时针)刚体系统平面运动动力学问题第61页，本讲稿共69页v2v1第62页，本讲稿共69页例例题题起起重重装装置置由由匀匀质质鼓鼓轮轮D（半半径径为为R，重重为为W1）及及均均质质梁梁AB（长长l=4R，重重W2=W1）组组成成，鼓鼓轮轮通通过过电电机机C（质质量量不不计计）安安装装在在梁梁的的中中点点，被被提提升升的的重重物物E重重 。电电机机通通电电后后的的驱驱动动
26、力力矩矩为为M，求求重重物物E上上升升的的加加速速度度a及及支支座座A，B的的约约束束力力FNA及及FNB。OBACDE第63页，本讲稿共69页1.1.求加速度求加速度a。解：解：考考虑虑鼓鼓轮轮D，重重物物E及及与与鼓鼓轮轮固固结结的的电电机机转转子子所所组组成成的的系系统统，M为为电电机机定定子子作作用用在在转转子子的的驱驱动动力力矩矩，对对固固定定点点O应应用用动动量矩定理得量矩定理得OBACDEOWWMMODEWW1 1FOxFOy第64页，本讲稿共69页2.2.考考虑虑整整个个系系统统，注注意意驱驱动动力力矩矩M为为系系统统内内力力。对点对点O应用动量矩定理得应用动量矩定理得OABW
27、WWW2 2F FN NA AACDEF FN NB BWW1 1应用质心运动定理得应用质心运动定理得第65页，本讲稿共69页CBA长为l的均质杆AB通过铰链与滑块A连接，滑块A沿倾角为 的斜面滑动。杆的质量为mc，滑块质量为mA，所有摩擦略去不计，系统自图示静止位置释放，求此时杆的质心C点的加速度。AmA AgFNaAFAyFAxX1研究滑块A第66页，本讲稿共69页初瞬时：xAmA AgFNaAFAyFAxCBAmc cgacAtaAF AyF Ax研究杆AB第67页，本讲稿共69页本章小结本章小结1动量矩的计算动量矩的计算2质点系动量矩定理质点系动量矩定理平动刚体对固定点的动量矩平动刚体对固定点的动量矩LO=mi rCvC=rCmi vC定轴转动刚体对转轴的动量矩定轴转动刚体对转轴的动量矩平面运动刚体对固定点平面运动刚体对固定点O的动量矩的动量矩第68页，本讲稿共69页3刚体绕定轴转动微分方程刚体绕定轴转动微分方程4质点系相对质心动量矩定理质点系相对质心动量矩定理5刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程第69页，本讲稿共69页