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1、第三讲函数的极限无穷小与无穷大第1页，本讲稿共51页10/8/20221函数与极限几何解释几何解释:复习：复习：第2页，本讲稿共51页10/8/20222函数与极限 第一章 二、自变量趋于二、自变量趋于有限值有限值时函数的极限时函数的极限第三节自变量变化过程的六种形式:一、自变量趋于一、自变量趋于无穷大无穷大时函数的极限时函数的极限本节内容本节内容:函数的极限 第3页，本讲稿共51页10/8/20223函数与极限播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限第4页，本讲稿共51页10/8/20224函数与极限通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问题:如何用数学语言刻划函数如何用数学语言
2、刻划函数“无限接近无限接近”.第5页，本讲稿共51页10/8/20225函数与极限第6页，本讲稿共51页10/8/20226函数与极限2.另两种情形另两种情形:第7页，本讲稿共51页10/8/20227函数与极限3.几何解释几何解释:第8页，本讲稿共51页10/8/20228函数与极限例例1证证第9页，本讲稿共51页10/8/20229函数与极限二、自变量趋向有限值时函数的极限第10页，本讲稿共51页10/8/202210函数与极限第11页，本讲稿共51页10/8/202211函数与极限2.几何解释几何解释:注意：注意：第12页，本讲稿共51页10/8/202212函数与极限例例2证证例例3证
3、证第13页，本讲稿共51页10/8/202213函数与极限例例4证证函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.第14页，本讲稿共51页10/8/202214函数与极限例例5证证第15页，本讲稿共51页10/8/202215函数与极限例例6证证第16页，本讲稿共51页10/8/202216函数与极限3.单侧极限单侧极限:例如例如,第17页，本讲稿共51页10/8/202217函数与极限左极限左极限右极限右极限第18页，本讲稿共51页10/8/202218函数与极限左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,例例7证证第19页，本讲稿共51页10/8/202219函数与极限三、函数极限的性质2.函
4、数极限的局部函数极限的局部有界性有界性1.唯一性唯一性第20页，本讲稿共51页10/8/202220函数与极限推论推论 3.3.函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性第21页，本讲稿共51页10/8/202221函数与极限5.子列收敛性子列收敛性(函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系)定理定理推论推论4.保序性保序性定理定理第22页，本讲稿共51页10/8/202222函数与极限证证第23页，本讲稿共51页10/8/202223函数与极限例如例如,函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存
5、在限都存在,且相等且相等.第24页，本讲稿共51页10/8/202224函数与极限例例8证证第25页，本讲稿共51页10/8/202225函数与极限二者不相等二者不相等,第26页，本讲稿共51页10/8/202226函数与极限 第一章 二、二、无穷大无穷大 三三、无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系 一、一、无穷小无穷小 第四节无穷小与无穷大第27页，本讲稿共51页10/8/202227函数与极限四、无穷小1.定义定义:极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.第28页，本讲稿共51页10/8/202228函数与极限例如例如注意注意1.无穷小是变量无穷小是变量,不能与很小的数混淆不
6、能与很小的数混淆;2.零是可以作为无穷小的唯一的数；零是可以作为无穷小的唯一的数；3.无穷小必须与一极限过程联系起来无穷小必须与一极限过程联系起来.第29页，本讲稿共51页10/8/202229函数与极限2.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系:证证必要性必要性充分性充分性第30页，本讲稿共51页10/8/202230函数与极限意义意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷无穷小小);第31页，本讲稿共51页10/8/202231函数与极限五、无穷大第32页，本讲稿共51页10/8/202232函数与极限特殊情形：正无穷大，负无穷大特殊情形：正无穷大
7、，负无穷大注意注意1.无穷大是变量无穷大是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量无穷大是一种特殊的无界变量,但是无但是无 界变量未必是无穷大界变量未必是无穷大.第33页，本讲稿共51页10/8/202233函数与极限不是无穷大不是无穷大无界，无界，第34页，本讲稿共51页10/8/202234函数与极限证证第35页，本讲稿共51页10/8/202235函数与极限六、无穷小与无穷大的关系定理定理2 2 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.证证第36页，本讲稿共51页1
8、0/8/202236函数与极限意义意义 关于无穷大的讨论关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷都可归结为关于无穷 小的讨论小的讨论.第37页，本讲稿共51页10/8/202237函数与极限七、主要内容1、函数极限的统一定义、函数极限的统一定义(见下表见下表)第38页，本讲稿共51页10/8/202238函数与极限过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 第39页，本讲稿共51页10/8/202239函数与极限3、无穷小与无穷大主要内容、无穷小与无穷大主要内容:两个定义两个定义;两个定理两个定理;4、几点注意、几点注意:（1）无穷小与无穷大是相对于
9、过程而言的）无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（2）无穷小（无穷小（大）是变量大）是变量,不能与很小（大）不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（3）无界变量未必是无穷大无界变量未必是无穷大.2、函数极限的性质、函数极限的性质四个定理四个定理;第40页，本讲稿共51页10/8/202240函数与极限思考题思考题第41页，本讲稿共51页10/8/202241函数与极限思考题解答思考题解答 答答 不能保证不能保证.例例有有第42页，本讲稿共51页10/8/202242函数与极限作业作业 活页P8 4；5活页P9 3；4第43页，本讲稿共51页10/8/202243函数与极限