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1、第四章生命表第四章生命表第1页，本讲稿共77页第一节第一节 生命表函数生命表函数 人类的生存死亡是怎样一个存在规律，在历史上不少学者进行探讨，其目的并不是为了保险。第2页，本讲稿共77页有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 De Moivre模型(1729)Gompertze龚珀兹模型(1825)第3页，本讲稿共77页有关寿命分布的参数模型有关寿命分布的参数模型 Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)第4页，本讲稿共77页参数模型的问题参数模型的问题 至今为止找不到非常合适的寿命分布拟合模型。这四个常用模型的拟合效果不令人满意。使用这些参数模型推测未来的寿命状况会
2、产生很大的误差。寿险中通常不使用参数模型拟合寿命分布，而是使用非参数方法确定的生命表拟合人类寿命的分布。在非寿险领域，常用参数模型拟合物体寿命的分布。第5页，本讲稿共77页生命表基本函数生命表基本函数lx：存活到确切整数年龄x岁的人口数，x=0,1,-1。ndx：在xx+n岁死亡的人数，当n=1时，简记为dxnqx：x岁的人在xx+n岁死亡的概率，当n=1时，简记为qx第6页，本讲稿共77页生存分布生存分布一、新生儿的生存函数二、x岁余寿的生存函数三、死亡力四、整值平均余寿与中值余寿第7页，本讲稿共77页nF(x)：新生儿未来存活时间（新生儿的死亡年龄）为x的分布函数。ns(x)：生存函数，它
3、是新生儿活到x岁的概率，以概率表示为xp0。新生儿在xz岁间死亡的概率，以概率的方式表示为：新生儿的生存函数新生儿的生存函数第8页，本讲稿共77页概念解概念解释释：1生存函数生存函数s(x)（1）定定义义：假设某一新生婴儿群体的死亡年龄X的分布函数为F(x)，则s(x)=1F(x)称为该新生婴儿的生存函数，即：s(x)=1F(x)=Pr(Xx)=Pr新生儿在 x 岁之后死亡 =Pr新生儿在 x 岁时仍然活着第9页，本讲稿共77页第10页，本讲稿共77页x岁余寿的生存函数岁余寿的生存函数以（x）表示年龄是x岁的人，（x）的余寿以T(x)表示nx岁的人在t时间内存活的概率 tpx 当x=0时，T(
4、0)=X，正是新生儿未来余寿随机变量。nx岁的人在t时间内死亡的概率tqx第11页，本讲稿共77页x岁余寿的生存函数岁余寿的生存函数考虑x岁的人的剩余寿命时，往往知道这个人已经活到了x岁，tqx实际是一个条件概率第12页，本讲稿共77页nx岁的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示为：x岁余寿的生存函数岁余寿的生存函数第13页，本讲稿共77页 整值剩余寿命整值剩余寿命定义：未来存活的完整年数，简记概率函数第14页，本讲稿共77页 2死力死力（1）定定义义：达到x岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，记为x：死亡效力与生存函数的关系第15页，本讲稿共77页含义：第16页，本讲稿共7
5、7页 死力死力死亡效力与密度函数的关系死亡效力表示剩余寿命的密度函数第17页，本讲稿共77页死亡力下死亡力下x岁期望剩余寿命岁期望剩余寿命对于x岁期望剩余寿命 ，可以证明：第18页，本讲稿共77页 整值平均余寿整值平均余寿 nx岁的整值平均余寿是指x岁未来平均存活的整数年数，不包括不满1年的零数余寿，它是整值余寿随机变量K(x)的期望值，以ex表示，第19页，本讲稿共77页第二节第二节生命表的构造第20页，本讲稿共77页人类死亡效力的规律人类死亡效力的规律第21页，本讲稿共77页人类死亡效力的规律人类死亡效力的规律人类的死亡效力曲线类似于一个两头高、中间低的盆状结构，被称为“浴盆曲线”。人类的
6、“浴盆曲线”意味着：刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在刚出生的婴儿是脆弱的，死亡效力非常高。这是因为各种先天性的不足都会在这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。这个时期暴露。经过淘汰先天不足的孩子，死亡效力逐渐下降。青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属于良好青壮年时期是人类死亡效力最低的时期。在这段时间里，身体各部位都属于良好运作阶段，身体属于运作阶段，身体属于“偶然失效期偶然失效期”。中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各器官逐渐老化，开始罹患中老年时期属于人类的加速死亡时期。在这段时间里，身体各
7、器官逐渐老化，开始罹患各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。各种疾病。在可靠性理论中，称这段时期为加速失效期。第22页，本讲稿共77页生命表起源生命表起源生命表的定义生命表是用表格的行使来反映生命的变化规律，又称为死亡表，是一定时期、一定数量的人口从生存到死亡的统计记录。它反映了整数年龄的人在整数年内生存或者死亡的概率分布情况。第23页，本讲稿共77页生命表的发展历史1662年,Jone Graunt,根据伦敦瘟疫时期的洗礼和死亡名单,写过生命表的自然和政治观察。这是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根据Breslau城出生与下葬统计表对人类死亡程度的估计，
8、在文中第一次使用了生命表的形式给出了人类死亡年龄的分布。人们因而把Halley称为生命表的创始人。生命表的特点构造原理简单、数据准确（大样本场合）、不依赖总体分布假定（非参数方法）第24页，本讲稿共77页生命表的类型：1、国民生命表和经验生命表。国民生命表是根据全体国民或特定地区的人口统计资料编制的统计表；经验生命表是寿险公司根据被保险人的死亡记录所编制的生命表。国民生命表的资料来源于人口普查和抽样调查，而经验生命表的资料来源于被保险人的统计记录。由于被保险人要经过体检合格才予以承保，所以，国民生命表和经验生命表是有区别的。政府和企业根据国民生命表制订社会保险和退休计划。而保险公司通常使用经验
9、生命表保险公司通常使用经验生命表。第25页，本讲稿共77页2、寿险生命表和年金生命表 由于逆选择，选择年金的人一般对身体状况比较乐观，而选择寿险的对身体状况不太乐观，这两类人的死亡率是有明显区别的。寿险公司有必要对两类不同的人分别统计，从而得出寿险生命表和年金生命表。第26页，本讲稿共77页3、男性生命表和女性生命表统计表明,女性的寿命要比男性的高，同年龄的男性死亡率要比女性的高，对于不同性别的统计，就可以得到男性生命表和女性生命表。第27页，本讲稿共77页4、选择生命表和终极生命表由选择期内死亡率构成的生命表称为选择表。选择期之后的死亡统计表成为终极表。第28页，本讲稿共77页编制生命表是以
10、全部人员性别及年龄差别的特殊死亡率为计算依据，并以下列各项假设为基础。1、假设这群人与外界完全隔离，既无迁入的也无迁出者；2、假设该群人同时出生，出生后在无其他人加入；3、同一时刻出生一群人不会在同时全部死亡4、除了婴幼儿阶段的死亡率按月龄与日龄的数据计算，其他各种年龄段死亡率均平均分配与全年各月之间，故一年之中每个月的死亡率大致相同；5、男女分别计算，各不相涉。第29页，本讲稿共77页中国寿险业自从81年恢复人身险业务以来，一直使用日本生命表，并不符合中国的情况，到了1991年，人寿险长期业务承保人数超过8000万，积累了10年的经验数据，92年编制，93年获得批准，94年开始实施，95年完
11、成修正，96年开始实施。第30页，本讲稿共77页1生命表的构成1、年龄 X2、生存人数lx3、死亡人数dx4、生存率5、死亡率6、死力7、平均余命 第31页，本讲稿共77页2 生命表各项之间的关系第32页，本讲稿共77页生命表的构造生命表的构造原理在大数定理的基础上，用观察数据计算各年龄人群的生存概率。（用频数估计频率）常用符号新生生命组个体数：年龄：极限年龄：第33页，本讲稿共77页 个新生生命能生存到年龄X的期望个数：个新生生命中在年龄x与x+n之间死亡的期望个数：特别：n=1时，记作第34页，本讲稿共77页生命期望值X岁的人在将来可能生存的整数年，叫生命的期望值（平均余命）。（1）简单生
12、命期望值现年X岁的人一年后，两年后，三年后，生命表末，第35页，本讲稿共77页每人的平均余命第36页，本讲稿共77页（2）完整期望生命值第37页，本讲稿共77页（3）生存人年数Lx：在x岁到x+1岁生存人年数人年数是把所有的人活过的年岁都加总起来。第38页，本讲稿共77页 个新生生命在年龄x至x+t区间共存活年数：个新生生命中能活到年龄x的个体的剩余寿命总数：第39页，本讲稿共77页例如：lx=10，lx+1=8，甲死亡时间为3月31日，乙死亡时间为6月30日，则Lx=81+10.25+10.5=8.75第40页，本讲稿共77页生命表实例（美国全体人口生命表）生命表实例（美国全体人口生命表）年
13、龄区间死亡比例期初生存数期间死亡数在年龄区间共存活年数剩余寿命总数期初存活者平均剩余寿命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000o126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986486498617719009172.89第41页，本讲稿共77页 “中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）”（以下简称新生命表），宣布将
14、于2006年1月1日起正式实施，同时宣布保险公司可选择参照差异化定价。中国人寿保险业经验生命表（2000-2003）包括非养老金业务男女表和养老金业务男女表共两套四张表，其结构与原生命表相同，但取消了男女混合表。根据新生命表，本次非养老金业务生命表男性平均寿命为76.7岁，较原生命表提高了3.1岁；女性平均寿命为80.9岁，较原生命表提高了3.1岁。养老金业务生命表男性平均寿命为79.7岁，较原生命表提高了4.8岁；女性平均寿命为83.7岁，较原生命表提高了4.7岁。保险公司可自行决定采用何种版本的生命表定价，但在进行法定准备金时，则必须采用新生命表。第42页，本讲稿共77页 细看生命表，女性
15、不仅是比男性长寿，在任何一个特定时间，女性的死亡率都要低于男性。以非养老业务的生命表为例，同样100万刚刚出生的男婴和女婴，能够活到20岁的，男性为99.14万人，女性则为99.45万人；活到40岁的，男性为97.13万人，女性则为98.50万人；活到60岁的，男性为89.17万人，女性则为93.60万人；再看活到80岁的，男性为44.42万人，女性则为46.73万人。当然，死亡率是一个很复杂的问题，健康的确是主因，毕竟伴随年龄上升，男性的死亡率显著高于女性，但是在年轻时候工作危险程度亦不可忽视，考虑到警察、军人、工人等高危人群大量均为男性，男性死亡率高也就不奇怪了。第43页，本讲稿共77页对
16、男性而言，33周岁、62周岁和84周岁是三个重要的门槛，女性对应的年龄则为43周岁、66周岁和87周岁。以男性为例，33周岁时的当年死亡率由此前的万分之几上升至千分之几，虽然实际上只是由0.09%上升至0.10%，第44页，本讲稿共77页已知 计算下面各值：（1）（2）20岁的人在5055岁死亡的概率。第45页，本讲稿共77页第46页，本讲稿共77页【例【例题题】用某公司的】用某公司的经验经验生命表男表生命表男表计计算算以下概率：以下概率：1、（、（30）活）活过过20年的概率，年的概率，2、（、（35）在）在45岁岁前死亡的概率前死亡的概率3、（、（40）活）活过过10年在其后一年死亡的概率
17、年在其后一年死亡的概率4、（、（40）岁岁活活过过55岁岁，在，在60岁岁死亡的概率死亡的概率第47页，本讲稿共77页查表计算得：第48页，本讲稿共77页选择选择-终极生命表终极生命表选择-终极生命表构造的原因需要构造选择生命表的原因：刚刚接受体检的新成员的健康状况会优于很早以前接受体检的老成员。例如一位30岁的被保险人于当年投保，其死 亡率必然小于在29岁时投保的30岁时的被保险人。第49页，本讲稿共77页需要构造终极生命表的原因：选择效力会随时间而逐渐消失根据选择效力消失以后的经验资料来编制的生命表，称为终极生命表。选择-终极生命表的使用包括了各种死亡统计，即根据发行保单后的起初数年以及以
18、后各年间的死亡记载编制而成。第50页，本讲稿共77页选择选择-终极表实例终极表实例x选择表终极表70.0175.0249.0313.0388.0474.0545 7571.0191.0272.0342.0424.0518.0596 7672.0209.0297.0374.0463.0566.0652 7773.0228.0324.0409.0507.0620.0714 7874.0249.0354.0447.0554.0678.0781 7975.0273.0387.0489.0607.0742.0855 8076.0298.0424.0535.0664.0812.0936 8177.0326
19、.0464.0586.0727.0889.1024 82第51页，本讲稿共77页该表的选择期是5年，即从选择年龄往后5年以内必须承认选择的影响，采用选择表中的死亡率。例如选择年龄在74岁的人在78岁的死亡率0.0678，从选择年龄经过5年以后就不再计选择的影响，只能采用终极表中的死亡率。例如选择年龄分别为70岁，71岁，72岁的人，在78岁的死亡率均为0.0714第52页，本讲稿共77页该表的选择期是5年，即从选择年龄往后5年以内必须承认选择的影响，采用选择表中的死亡率。例如选择年龄在74岁的人在78岁的死亡率0.0678，从选择年龄经过5年以后就不再计选择的影响，只能采用终极表中的死亡率。例
20、如选择年龄分别为70岁，71岁，72岁的人，在78岁的死亡率均为0.0714第53页，本讲稿共77页【例例题题】在选择期为三年的选择-终极生命表研究中，已知:(1)xqxqx+1qx+2qx+3x+3600.090.110.130.1563610.100.120.140.1664620.110.130.150.1765630.120.140.160.1866640.130.150.170.1967第54页，本讲稿共77页（2）李先生于2000年1月1日投保，投保时的年龄刚好为为60岁；（3）P表示李先生从2001年1月1日活过2008年1月1日的概率。第55页，本讲稿共77页P=7p60+1=
21、(p60+1)(p60+2)(p63)(p64)(p65)(p66)(p67)=(1q60+1)(1q60+2)(1q63)(1q64)(1q65)(1q66)(1q67)=0.890.870.850.840.830.820.81=0.3047第56页，本讲稿共77页例例假定有两位老人今年都是65岁。甲老人是今年刚刚体检合格购买的保险，乙老人是10年前购买的保险，至今仍在保障范围内。使用上面给出的选择终极生命表估计两位老人分别能活到73岁的概率。第57页，本讲稿共77页甲老人的生命表轨迹甲老人的生命表轨迹甲老人由于刚进入保障范围，所以前5年使用死亡率相对较小的选择生命表，五年选择期满回归到终极
22、生命表。xx选择表选择表终极表终极表6464.0249.0249.0354.0354.0447.0447.0554.0554.0678.0678.0781.0781 69696565.0273.0273.0387.0387.0489.0489.0607.0607.0742.0742.0855.0855 70706666.0298.0298.0424.0424.0535.0535.0664.0664.0812.0812.0936.0936 71716767.0326.0326.0464.0464.0586.0586.0727.0727.0889.0889.1024.1024 7272第58页，本
23、讲稿共77页乙老人的生命表轨迹乙老人的生命表轨迹xx选择表选择表终极表终极表6060.0175.0175.0249.0249.0313.0313.0388.0388.0474.0474.0545.0545 65656161.0191.0191.0272.0272.0342.0342.0424.0424.0518.0518.0596.0596 66666262.0209.0209.0297.0297.0374.0374.0463.0463.0566.0566.0652.0652 67676363.0228.0228.0324.0324.0409.0409.0507.0507.0620.0620.
24、0714.0714 68686464.0249.0249.0354.0354.0447.0447.0554.0554.0678.0678.0781.0781 69696565.0273.0273.0387.0387.0489.0489.0607.0607.0742.0742.0855.0855 70706666.0298.0298.0424.0424.0535.0535.0664.0664.0812.0812.0936.0936 71716767.0326.0326.0464.0464.0586.0586.0727.0727.0889.0889.1024.1024 7272第59页，本讲稿共7
25、7页解解:则甲老人能活到73岁的概率为 则乙老人能活到73岁的概率为 第60页，本讲稿共77页有关分数年龄的假设有关分数年龄的假设 使用背景:生命表提供了整数年龄上的寿命分布,但有时我们需要分数年龄上的生存状况,于是我们通常依靠相邻两个整数生存数据,选择某种分数年龄的生存分布假定，估计分数年龄的生存状况基本原理:插值法常用方法均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)第61页，本讲稿共77页三种假定三种假定均匀分布假定(线性插值)常数死亡力假定(几何插值)Balducci假定(调和插值)第62页，本讲稿共77页分数期死亡均匀分布的生存函数图分数期死亡均匀
26、分布的生存函数图示示第63页，本讲稿共77页三种假定下生存函数比较图三种假定下生存函数比较图示示 第64页，本讲稿共77页三种假定下的生命表函数三种假定下的生命表函数函数函数函数函数均匀分布均匀分布均匀分布均匀分布常数死亡力常数死亡力常数死亡力常数死亡力BallucciBallucci第65页，本讲稿共77页例例已知 分别在三种分数年龄假定下，计算下面各值：第66页，本讲稿共77页解（解（1）第67页，本讲稿共77页解（解（2）第68页，本讲稿共77页解（解（3）第69页，本讲稿共77页多减因表多减因表 研究同批人受两个或两个以上减因影响陆续减少的数学模型就是多减因模型。与生命表一样，多减因模
27、型通常用多减因表的形式表示，称为多减因表。第70页，本讲稿共77页 多减因表基本函数多减因表基本函数 ：确切年龄x 岁时，受(1),(2),（m)等m 个减因影响的人数。或者说x 岁暴露于m 个减因下的人数。：xx+n 岁由(k)减因减少的人数，k=1,2,m，当n=1 时，记为 ：xx+n 岁由所有减因减少的总人数，当n=1 时，记为第71页，本讲稿共77页 多减因表基本函数多减因表基本函数 ：xx+n 岁由（k）减因产生的减少概率，也就是（k）减因使（x）离开 的概率，当n=1 时，记 ：x 岁的人在xx+n 由所有减因导致的减少概率 ：x 岁的人在xx+n 保留在原群体中的概率第72页，
28、本讲稿共77页 减因力减因力n与生命表死亡力类似，在多减因下也有减因力，xt 时的总减因力定义为：第73页，本讲稿共77页练习：1给出生存函数 ，求：(1)人在50岁60岁之间死亡的概率。(2)50岁的人在60岁以前死亡的概率。(3)人能活到70岁的概率。(4)50岁的人能活到70岁的概率。第74页，本讲稿共77页2.已知Pr5T(60)6=0.1895，PrT(60)5=0.92094，求 。3.已知，求 。4.设某群体的初始人数为3 000人，20年内的预期死亡人数为240人，第21年和第22年的死亡人数分别为15人和18人。求生存函数s(x)在20岁、21岁和22岁的值。第75页，本讲稿共77页1、第76页，本讲稿共77页2、3、4、第77页，本讲稿共77页