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1、等边三角形的性质和判定第1页，本讲稿共37页如图如图 ABC中中AB=AC等腰三角形的性质：等腰三角形的性质：1、等腰三角形两底角相等（等边对等角），、等腰三角形两底角相等（等边对等角），2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合底边上的中线互相重合(三线合一三线合一)。DCBA3、等腰三角形是轴对称图形.对称轴_所在直线.第2页，本讲稿共37页OAB如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成所对的边也相等（简写成“等角对等边等角对等边”）.OA=OB(等角对等边等角对等边 )AB
2、C中，A=B等腰三角形的判定等腰三角形的判定第3页，本讲稿共37页OABCMN角平分线平行等腰三角形123第4页，本讲稿共37页 三边都相等的三角形叫等边三角三边都相等的三角形叫等边三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。等边三角形是特殊的等腰三角形。形。也叫也叫正三角形正三角形。ABCAB=BC=CA提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？提出问题：等边三角形有哪些特殊的性质呢？根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：根据等腰三角形的性质去探讨等边三角形的性质：从边看；从边看；从角看；从角看；从对称性看；从对称性看；从重要线段看从重要线段看第5页，本讲稿共37页ABC等边三角形的内角都相等
3、吗？为什么？等边三角形的内角都相等吗？为什么？探究一探究一由已知：由已知：AB=AC=BC，AB=AC，B=C同理同理 A=C，A=B=C A+B+C=180，A=B=C=60 第6页，本讲稿共37页等边三角形有等边三角形有“三线合一三线合一”的性质吗的性质吗?为什么为什么?结论结论:等边三角形等边三角形每条边上的中线每条边上的中线,高和所对角的平高和所对角的平分线分线都三线合一。都三线合一。探究性质二探究性质二第7页，本讲稿共37页等边三角形是轴对称图形吗？等边三角形是轴对称图形吗？若是，有几条对称轴？若是，有几条对称轴？结论结论:等边三角形是轴对称图形，是轴对称图形，有三条对称轴有三条对称
4、轴.等边三角形性质探索三:（对称轴是等边三角形的高或角平线或中线对称轴是等边三角形的高或角平线或中线所在的直线所在的直线）第8页，本讲稿共37页等边三角形的等边三角形的三个内角三个内角都相等都相等,并且并且每一个角都等于每一个角都等于60.等边三角形的等边三角形的三边三边都相等都相等ABC）（6060第9页，本讲稿共37页（3）等边三角形各边上中线等边三角形各边上中线,高和高和所对角的平分线都三线合一所对角的平分线都三线合一.（4）等边三角形等边三角形是轴对称是轴对称图形，有三条对称轴图形，有三条对称轴.AFEDCBO第10页，本讲稿共37页 ABC是等边三角形是等边三角形,D为为AC的中点的
5、中点,延长延长BC到到E,使使CE=CD,求证求证:BD=DEABCED小试牛刀第11页，本讲稿共37页 ABC是等边三角形是等边三角形,D为为AC的中点的中点,延长延长BC到到E,使使CE=CD,求证求证:BD=DEABCED证明：证明：ABC是等边三角形是等边三角形 AB=AC=BC，ABC=A=ACB=60 DBC=E BD=DE（等角对等边等角对等边）CE=CD CDE=E=1/2 ACB=30（等边对等角等边对等角）ABAC,D为为AC的中点的中点 ABD=DBC=1/2 ABC=30（三线合一三线合一 ）第12页，本讲稿共37页思考题？一个三角形满足什么条件就是等边三角形?第13页
6、，本讲稿共37页 三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三等边三角形？角形？第14页，本讲稿共37页已知：如图，已知：如图，ABC中，中，A=B=C求证：求证：AB=AC=BCABC证明：在证明：在ABC中中 A=B（已知）（已知）BC=CA（等角对等边）（等角对等边）同理同理 CA=ABBC=CA=AB第15页，本讲稿共37页ABC A=B=CABC是等边三角形是等边三角形推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。第16页，本讲稿共37页如果一个等腰三角形中有一个角是如果一个等腰三角形中有一个角是60，那，那么这个三角形是什么三角形？么这个三角形是什么三角形？第一种情况：当第一种情
7、况：当顶角顶角是是6060度时度时第二种情况第二种情况：当当底角底角是是6060度时度时第17页，本讲稿共37页已知：已知：ABC中，中，AB=AC，A=600。求证：求证：AB=AC=BCABC证明证明：ABC中中AB=AC，B=C（等边对等角等边对等角）A=600 B=C=600AB=AC=BC（等角对等边等角对等边）第18页，本讲稿共37页推论2：有一个角是有一个角是 6060的等腰三角形是的等腰三角形是等边等边三角形。三角形。ABC B=600 AB=BCABC是等边三角形是等边三角形第19页，本讲稿共37页2.2.三个角都相等的三角形是三个角都相等的三角形是等边三角形等边三角形.3.
8、3.有一个角是有一个角是6060的等腰三角形的等腰三角形是等边三角形是等边三角形.1.1.三边都相等的三角形是等边三角形三边都相等的三角形是等边三角形.（定义）（定义）一般三角形等边三角形ABC等腰三角形等边三角形ABCAB=BC=ACABC是等边三角形是等边三角形 B=600 AB=BCABC是等边三角形是等边三角形 A=B=CABC是等边三角形是等边三角形第20页，本讲稿共37页 等边三角形是一种特殊的等腰三角形，你等边三角形是一种特殊的等腰三角形，你能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质能述说等边三角形与等腰三角形在定义，性质和判定的异同吗和判定的异同吗?定义定义 性质性质 判定判定
9、等等 腰腰三三 角角 形形 等等 边边三三 角角 形形有两条边有两条边相等相等1、两边、两角相等、两边、两角相等2、三线合一、三线合一3、一条对称轴、一条对称轴1、三边、三角相等、三边、三角相等2、三线合一、三线合一3、三条对称轴、三条对称轴有三条边有三条边相等相等1、定义、定义2、等角对等边、等角对等边1、定义、定义2、三个角都相等、三个角都相等3、等腰三角形有一、等腰三角形有一个角是个角是600第21页，本讲稿共37页 例例1 如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，如图，课外兴趣小组在一次测量活动中，测得测得APB=60，AP=BP=200m，他们便得出了，他们便得出了一个结论：池塘最长处不
10、小于一个结论：池塘最长处不小于200m他们的结论他们的结论对吗？对吗？第22页，本讲稿共37页解：在解：在APB中，中，AP=BP，APB=60，所以所以PAB=PBA=1/2（180APB）=1/2（18060）=60 于是于是 PAB=PBA=APB 从而从而APB是等边三角形，是等边三角形，AB的长是的长是200m由此可以得出兴趣小组的结论是正确的由此可以得出兴趣小组的结论是正确的第23页，本讲稿共37页例例2.2.如图，在等边三角形如图，在等边三角形ABCABC的边的边ABAB、ACAC上分别截取上分别截取AD=AEAD=AE，ADEADE是等边三是等边三角形吗？试说明理由。角形吗？试
11、说明理由。ABCDE你还有其它方法你还有其它方法使使ADEADE是等边三是等边三角形吗？角形吗？可添加的条件为：可添加的条件为：AD=AE，BD=CE；ADE=60；ADE=ABC；DE BC等等第24页，本讲稿共37页 练习一：练习一：如图，等边三角形如图，等边三角形ABC中，中，AD是是BC上的高，上的高，BDE=CDF=60，结合图形，你，结合图形，你能得出那些结论？能得出那些结论？结论：结论：线：线：BD=DC=BE=DE=DF=CF=AF=AE角：角：ADE=ADF=EAD=DAF=30形：形：ADE和和ADF是等腰三是等腰三角形角形BED和和CFD是等边三角形是等边三角形其他：其他
12、：DEAC，DFAB等等ACBDEF第25页，本讲稿共37页 如图，等边三角形如图，等边三角形ABC中，中，AD是是BC上的高，延长上的高，延长AB到点到点E，使，使BE=BD，连接，连接DE，则，则ADE的形状是的形状是_等腰三角形等腰三角形等腰三角形等腰三角形EDCAB 练习二第26页，本讲稿共37页如图，如图，D、E、F分别是等边三分别是等边三角形角形ABC三边上三点，且三边上三点，且AD=BE=CF。试问：试问：DEF是什么三角形？是什么三角形？ABCDEF 练习三第27页，本讲稿共37页如图，如图，P、Q是是ABC的边的边BC上的两点，上的两点，并并PB=PQ=QC=AP=AQ，则，
13、则BAC的大的大 小为小为_ABPQC120120 练习四第28页，本讲稿共37页练习与巩固练习与巩固1.下列说法中下列说法中,正确说法的个数为正确说法的个数为()(1)若等腰三角形有一个角等于若等腰三角形有一个角等于60,则这个三角形为等则这个三角形为等边三角形边三角形(2)等边三角形一定是等腰三角形等边三角形一定是等腰三角形,而等腰三角形不一而等腰三角形不一定是等边三角形定是等边三角形(3)有两个角是有两个角是60的三角形一定是等三角形的三角形一定是等三角形(4)等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是等边三角形中所有的中线、高、角平分线总条数是3条条A.1个个 B.2个个 C.3个个
14、 D.4个个D第29页，本讲稿共37页2.如果一个三角形是轴对称图形如果一个三角形是轴对称图形,且有一个外角是且有一个外角是120,那么这个三角形是那么这个三角形是()A.直角三角形直角三角形B.等腰直角三角形等腰直角三角形C.正三角形正三角形D.含含30角的直角三角形角的直角三角形3.如图如图,ABC是等边三角形是等边三角形,且且1=2=3,则则D等等于于()A.90 B.80C.45 D.60ABCDEF123CD第30页，本讲稿共37页3.如图如图,等边三角形等边三角形ABC的三条角平分线的三条角平分线相交于点相交于点O,过过O作作EF BC交交AB于点于点E,交交AC于点于点F,那么这
15、个图形中的等腰三角形那么这个图形中的等腰三角形共有共有()A.4个个B.5个个C.6个个D.7个个ABCEFOD第31页，本讲稿共37页4.如图如图,在在ABC中中,AB=AC=BC,CD是是ACB的平分的平分线线,过点过点D作作DE BC交交AC于点于点E,若若ABC的边长为的边长为a,则则ADE的周长是的周长是()A.2a B.a C.a D.a1232ABCDEC第32页，本讲稿共37页第33页，本讲稿共37页一、等边三角形性质定理一、等边三角形性质定理1.1.等边三角形三个内角都相等，并且等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于每一个角都等于60 60 2.2.等边三角形是轴对称图
16、形，有三个等边三角形是轴对称图形，有三个对称轴对称轴.3.3.等边三角形三条边都相等等边三角形三条边都相等.（定义）（定义）4.4.等边三角形具有等腰三角形的所等边三角形具有等腰三角形的所有性质有性质.第34页，本讲稿共37页5.等边三角形各边上中线等边三角形各边上中线,高线和所对角的高线和所对角的 平分线都三线合一平分线都三线合一一、等边三角形性质定理一、等边三角形性质定理ABCDEF第35页，本讲稿共37页二、等边三角形判定定理二、等边三角形判定定理1.1.三条边都相等的三角形是等边三条边都相等的三角形是等边三角形三角形.（定义）（定义）2.2.三个角都相等的三角形是等三个角都相等的三角形是等边三角形边三角形.3.3.有一个角是有一个角是6060的等腰三角的等腰三角形是等边三角形形是等边三角形.第36页，本讲稿共37页独立作业教材P83 第12、14题同步练习相应部分第37页，本讲稿共37页