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1、关于矩阵对策的基本原理1现在学习的是第1页，共35页2 当局中人I选定纯策略 和局中人II选定纯策略 后，就形成了一个纯局势 。对任一纯局势 ，记局中人I的赢得值为ai j，并称 现在学习的是第2页，共35页3为局中人I的赢得矩阵(或局中人II的支付矩阵)。由于假定对策为零和的，故局中人II的赢得矩阵就是-A。通常，将一个矩阵对策记成 G=I，II；S1，S2；A 或 G=S1，S2；A 例：齐王赛马 现在学习的是第3页，共35页4 田忌齐王 上中下 上下中 中上下 中下上 下中上 下上中 (上中下)31111-1 (上下中)1311-11 (中上下)1-13111 (中下上)-111311
2、(下中上)11-1131 (下上中)111-113表 10-2现在学习的是第4页，共35页5赢得矩阵为：现在学习的是第5页，共35页6 当矩阵对策模型给定后，各局中人面临的问题便是如何选取对自己最有利的纯策略，以谋取最大的赢得(或最少损失)。例例6 设有一矩阵对策 G=S1，S2；A，其中 ，现在学习的是第6页，共35页7“理智行为”：双方都不想冒险，都不存在侥幸心理，而是考虑到对方必然会设法使自己的所得最少这一点，就应该从各自可能出现的最不利的情形中选择最有利的情形作为决策的依据。现在学习的是第7页，共35页8 定义定义1 设 G=S1，S2；A为矩阵对策，其中 ，若等式 成立，记VG=ai
3、*j*。则称VG为对策G的值，称使 (10-1)式成立的纯局势 为G在纯策略 的解(或平衡局势)，与 分别称为局中人 I、II的最优纯策略。现在学习的是第8页，共35页9例例7 求解矩阵对策 G=S1，S2；A，其中现在学习的是第9页，共35页10定理定理 1 矩阵对策G=S1，S2；A 在纯策略意义下有解的充分必要条件是：存在纯局势 使得对一切i=1，m，j=1，n，均有现在学习的是第10页，共35页11定义定义 2 设f(x,y)为一个定义在 及 上的实值函数，如果存在 及 ，使得对一切 和 ，有则称(x*,y*)为函数f 的一个鞍点。现在学习的是第11页，共35页12 例例8 求对策的解
4、。设矩阵对策 G=S1，S2；A为矩阵对策，其中 ，赢得矩阵为 现在学习的是第12页，共35页13性质性质 1 无差别性。即若 和 是对策G的两个解，则 。性质性质 2 可交换性。即若 和 是对策G的两个解，则 和 也是解。现在学习的是第13页，共35页14例例9 某单位采购员在秋天要决定冬季取暖用煤的储量问题。已知在正常的冬季气温条件下要消耗15吨煤，在较暖与较冷的气温条件下要消耗10吨和20吨。假定冬季时的煤价随天气寒冷程度而有所变化，在较暖、正常、较冷的气候条件下每吨煤价分别为100元，150元和200元，又设秋季时煤价为每吨100元。在没有关于当年秋季准确的气象预报的条件下，秋季储煤多
5、少吨能使单位的支出最少？现在学习的是第14页，共35页15 对对矩阵对策G=S1，S2；A来说，局中人I有把握的至少赢得是 局中人II有把握的至多损失是 2.2 矩阵对策的混合策略矩阵对策的混合策略现在学习的是第15页，共35页16 一般，一般，局中人I的赢得值不会多于局中人II的所失值，即总有 。当v1=v2时，矩阵对策G存在纯策略意义下的解且VG=v1=v2。实际中出现的更多情形是v1 v2,根据定义1，对策不存在纯策略意义下的解。例如：赢得矩阵为 现在学习的是第16页，共35页17 想法：是否可以给出一个选取不同策略的概率分布？现在学习的是第17页，共35页18 定义定义3 设有矩阵对策
6、G=S1，S2；A，其中 ，记 现在学习的是第18页，共35页19则则S1*，S2*分别称为局中人I和II的混合策略集(或策略集)；和 分别称为局中人I和II的混合策略(或策略)；对 ，称(x,y)为一个混合局势(或局势)，局中人I的赢得函数记成这样得到的一个新的对策记成G*=S1*，S2*;E，称G*为对策G的混合扩充。现在学习的是第19页，共35页20 局中人 I 可保证自己的赢得期望值不少于 局中人 II 可保证自己的所失期望值至多是 现在学习的是第20页，共35页21 设 因此 现在学习的是第21页，共35页22定义定义 4 设G*=S1*，S2*；A是矩阵对策G=S1，S2；A 的混
7、合扩充，如果记其值为VG。则称VG 为对策G*的值，称使(10-9)式成立的混合局势(x*，y*)为G在混合策略意义下的解(或简称解)，x*和y*分别称为局中人I和II的最优混合策略(或简称最优策略)。现在学习的是第22页，共35页23定理定理 2 矩阵对策G=S1，S2；A 在混合策略意义下有解的充要条件是：存在 ，使(x*，y*)为函数E(x,y)的一个鞍点，即对 ，有现在学习的是第23页，共35页24例例10 考虑矩阵对策G=S1，S2；A，其中现在学习的是第24页，共35页25 两个记号：两个记号：当局中人I取纯策略 时，记其相应的赢得函数为E(i,y)，于是 当局中人II取纯策略 时
8、，记其相应的赢得函数为E(x,j)，于是 2.3 矩阵对策的基本定理矩阵对策的基本定理现在学习的是第25页，共35页26定理定理 3 设 ，则(x*，y*)是G的解的充要条件是：对任意i=1，m和j=1，n，有现在学习的是第26页，共35页27定理定理 4 设 ，则(x*，y*)是G的解的充要条件是：存在数v，使得x*和y*分别是不等式组(I)和(II)的解，且v=VG。现在学习的是第27页，共35页28定理定理 5 对任一对任一矩阵对策G=S1，S2；A，一定存在混合策略意义下的解。定理定理 6 设设(x*,y*)是是矩阵对策G的解，v=VG 则(1)若 ，则(2)若 ，则(3)若 ，则(4
9、)若 ，则 现在学习的是第28页，共35页29定理定理 7 设有两个矩阵对策 G1=S1，S2；A1 G2=S1，S2；A2 其中 L为任一常数,则有 (1)(2)现在学习的是第29页，共35页30定理定理 8 设有两个矩阵对策 G1=S1，S2；A G2=S1，S2；A 其中 为任一常数,则有 (1)(2)现在学习的是第30页，共35页31定理定理 9 设G=S1，S2；A为矩阵对策，且 为斜对称矩阵(亦称这种对策为对称对策)。则有 (1)(2)，其中 和 分别为局中人I和II的最优策略集。现在学习的是第31页，共35页32 定义定义5 设有矩阵对策G=S1，S2；A，其中 ,，如果对一切
10、j=1，n 都有 ，即矩阵A的第 行元素均不小于第 行的对应元素，则称局中人I的纯策略 优超于 ；同样，若对一切 i=1，m，都有 即矩阵A的第 列元素均不小于第 列的对应元素，则称局中人II的纯策略 优超于现在学习的是第32页，共35页33 定理定理10 设G=S1，S2；A为矩阵对策，其中 ，如果纯策略 被其余纯策略 中之一所优超，由G可得到一个新的矩阵对策 其中现在学习的是第33页，共35页34 于是有（1）；（2）中局中人II的最优策略就是其在 G 中的最优策略；（3）若 是 中局中人I的 最优策略，则 便 是其在G中的最优策略。现在学习的是第34页，共35页07/10/2022感谢大家观看现在学习的是第35页，共35页