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1、第十二讲中学数学证明教学第1页，本讲稿共39页 证明是数学科学的重要部分，是数学知识得证明是数学科学的重要部分，是数学知识得以确证的唯一方式。以确证的唯一方式。数学证明是中学数学的一个及其重要的部分，不论数学证明是中学数学的一个及其重要的部分，不论是代数、几何，或者是微积分均要涉及到证明，没有证是代数、几何，或者是微积分均要涉及到证明，没有证明就没有数学。明就没有数学。数学推理、证明及其教学数学推理、证明及其教学形式逻辑的基本规律形式逻辑的基本规律同一律、矛盾律、排中律充足理由律同一律、矛盾律、排中律充足理由律同一律、矛盾律、排中律充足理由律同一律、矛盾律、排中律充足理由律第2页，本讲稿共39
2、页亚里士多德亚里士多德亚里士多德亚里士多德Aristotle(384-322 BC)Aristotle(384-322 BC)Aristotle(384-322 BC)Aristotle(384-322 BC)哲学著作：哲学著作：形而上学形而上学 物理学著作：物理学论生灭论天物理学著作：物理学论生灭论天 天象学论宇宙天象学论宇宙 生物学著作：动物志论动物的历史生物学著作：动物志论动物的历史 论灵魂论灵魂 逻辑学著作：范畴篇分析篇逻辑学著作：范畴篇分析篇 伦理学著作：尼各马可伦理学大伦理学伦理学著作：尼各马可伦理学大伦理学 欧德谟斯伦理学政治学欧德谟斯伦理学政治学 诗学修辞学诗学修辞学 注：基本
3、逻辑原理注：基本逻辑原理同一律、矛盾律和排中律同一律、矛盾律和排中律 成为数学间接证明的核心，为欧几里得演绎成为数学间接证明的核心，为欧几里得演绎 几何体系的形成奠定了方法论基础几何体系的形成奠定了方法论基础 。第3页，本讲稿共39页G.W.Leibniz,1646-1716G.W.Leibniz,1646-1716 1646 1646年年7 7月月1 1日生于莱比锡一个教授家庭日生于莱比锡一个教授家庭 精通拉丁文和希腊文精通拉丁文和希腊文 在莱比锡大学学习法律，开始接触伽利略、开普在莱比锡大学学习法律，开始接触伽利略、开普 勒、笛卡尔、帕斯卡及巴罗等人的科学思想勒、笛卡尔、帕斯卡及巴罗等人的
4、科学思想 16671667年获阿尔特多夫大学法学博士学位年获阿尔特多夫大学法学博士学位 1672-16761672-1676年，巴黎居留年，巴黎居留 博学多才，著作涉及逻辑学、力学、光学、数学、博学多才，著作涉及逻辑学、力学、光学、数学、哲学、法律、语言学、地质、机械、外交、神学哲学、法律、语言学、地质、机械、外交、神学 1671 1671年，制造出年，制造出“算术计算机算术计算机”柏林科学院的创建者和首任院长，彼得堡科学院柏林科学院的创建者和首任院长，彼得堡科学院 和维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。和维也纳科学院也是在他的倡议下成立的。16721672年后开始研究数学年后开始研究数学 1
5、716 1716年去世年去世充足理由律充足理由律第4页，本讲稿共39页 在同一个思维过程中，思维对象必须保持同一；在同一个思维过程中，思维对象必须保持同一；使用的概念必须保持同一；在同一时间，从同一方使用的概念必须保持同一；在同一时间，从同一方 面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一。它面，对同一思维对象作出的判断必须保持同一。它 的的公式公式是是“A A就是就是A A”或或“pppp”。例子例子多项式 能否分解？当a、b是非负实数时，公式 成立。在三角形内角和公理中，角的概念是“从一点引出两条射 线所成的0到180以内的角”。同一律同一律第5页，本讲稿共39页同一律的作用在于保证思维的确定
6、性。如果违背了同一律的要求,那就会破坏思维的一贯性,造成思维混乱。在同一个推理、证明的过程中,就会犯“偷换概念”、“偷换论题”等逻辑错误。从表面形式上看,“A是A”好像是枯燥无味的简单的同语反复。其实不然。同一律有两点具体的要求:一是思维对象要保持同一,所考察的对象必须确定,要始终如一,中途不能变更;二是表示同一对象的概念要保持同一，要以同一概念表示同一思维对象,不能用不同的概念表示同一对象，也不能把不同的对象混同起来用同一个概念来表示。还需要指出的是同一律所要求的“同一”是相对的,有条件的,是在一定条件下的“同一”。条件变了,认识也相应地有所发展。如“方程x2+1=0没有根”这个判断,当数系
7、由实数放大到复数后就要引起变化。第6页，本讲稿共39页 在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判在同一论证过程中，对同一对象的两个互相矛盾的判 断不能同时为真，其中至少有一个是假的。其公式是断不能同时为真，其中至少有一个是假的。其公式是“A A不是不是 A A”或或“(p p)(p p)”例如：例如：两个数相等和不相等不能认为同时成立。两条直线相交与不相交也不能认为同时成立。注意注意：矛盾律只是指两个矛盾的判断是不相容的，即不能同矛盾律只是指两个矛盾的判断是不相容的，即不能同 时为真，但是两个矛盾的判断时为真，但是两个矛盾的判断可能同假可能同假。例如。例如空间两直线空间两直线 相交与平行
8、相交与平行。矛盾律所讲的矛盾是逻辑上的矛盾，与现实的矛盾是矛盾律所讲的矛盾是逻辑上的矛盾，与现实的矛盾是 两回事，不能混为一谈。两回事，不能混为一谈。矛盾律矛盾律第7页，本讲稿共39页矛盾律是用否定的形式来表达同一律的思想内容的,它是同一律的引申,同一律说A是A,矛盾律要求思维首尾一贯,不能自相矛盾,实际上也是思 维确定性的一种表现。因此,矛盾律是从否定方面肯定同一律的。违背矛盾律要求的逻辑错误在于,在同一个思维过程中,把A与非A同时肯 定了下来,因而造成了自相矛盾的困境。如众所周知的一个例子:那个卖 矛、盾的楚人所说的“任何东西都不能穿过我的坚实的盾”、“我的锐利的 矛能穿过任何东西”,是互
9、相矛盾的两个判断。这位楚人不能自圆其说,是 自己打自己的嘴巴,违背了矛盾律的要求。矛盾律中所谓的矛盾是指思维过程中的思维混乱,即同时断定A与非A都真。对这种逻辑矛盾,矛盾律要加以排除的。但矛盾律并不把辩证矛盾排除 在一切思维之外,更不否认世界固有的矛盾。第8页，本讲稿共39页 在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断这两个判断必有在同一论证过程中，对同一对象的肯定判断与否定判断这两个判断必有一个是真的，它的公式是一个是真的，它的公式是“或者是或者是A A或者是或者是 A A”或或 “p pp p ”.例如：例如：要证明要证明“不是有理数不是有理数”，只要证明，只要证明“是有理数是有理数
10、”不真就可以不真就可以了。了。注意注意：对于假言命题对于假言命题“pq pq”，情况并非如此简单。，情况并非如此简单。“排中排中”就是排除第三者就是排除第三者,或或A A或非或非A,A,二者必居其一二者必居其一,排中律要求人们的思维要有明确性排中律要求人们的思维要有明确性,不能含糊不能含糊不清不清,不能模棱两可。不能模棱两可。排中律排中律第9页，本讲稿共39页违背排中律要求的逻辑错误在于,同时否定了A,又否定了 ,例如,楚人既夸口矛又夸口盾,当别人反问他“用你的矛穿你的盾如何”时,他既不能说:我的矛能穿过我的盾”,又不能说“我的矛不能不穿过我的盾”,这就表示他否定了A又否定了 ,从逻辑上说,违
11、背了排中律就要犯模棱两可的逻辑错误。排中律是反证法的逻辑基础。当直接证明某一判断的正确性有困难时,根据排中律,只要证明这一判断的矛盾判断是假的就可以了。和矛盾律一样,排中律只是抽象思维中的逻辑规律,不是客观存在的基本规律。排中律只是排除思维中的逻辑矛盾,并不否定客观事物自身的矛盾。第10页，本讲稿共39页 同一律要求思维保持确定、同一,而没有揭示思维的相互对立或矛盾的问题,矛盾律是同一律的引申和发展,它指明了正确的思维不仅要求确定,而且不能互相矛盾或对立,即指出对于同一个思维对象所作的两个互相矛盾或对立的判断,只要承认不能同真,至少必有一假即可,并不要求作出肯定或否定的表示。排中律又比矛盾律更
12、深入一层,明确指出正确的思维不仅要求确定、不互相矛盾,而且应该明确地表示出肯定或否定,指出对于同一个思维对象所作的两个“肯定判断”和“否定判断”,不能同假,必有一真,要么“肯定判断”真,要么“否定判断”真,二者必居其一。同一律、矛盾律、排中律三者之间的联系同一律、矛盾律、排中律三者之间的联系 三者是从不同的角度去陈述思维的确定性的,排中律是同一律和矛盾律的补充和深入,排中律和矛盾律都不允许有逻辑矛盾,违背了排中律就必然违背矛盾律。同一律、矛盾律、排中律三者之间的区别同一律、矛盾律、排中律三者之间的区别第11页，本讲稿共39页罗 素 Bertrand Russell 1872-1970 数学可以
13、定义为这样一门学科，我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所说的内容是否正确。以M M表示是其自身成员的集合的集合，N N表示不是其自身成员的集合的集合。问：集合N N是否为它自身的成员？若N N是它自身的成员,则N N属于M M而不属于N N;若N N不是它自身的成员，则N N属于N N而不属于M M 理发师悖论 村中的理发师只给本村那些不给自己理发的人理发。谁给理发师理发？第12页，本讲稿共39页算术基础，弗雷格(G.Frege,1848-1925)一个科学家不会碰到比这更令人尴尬的事情了，即在一项工作完成的时候它的基础却在崩溃，当这部著作即将付印之际，罗素先生的一封信就使我处于这种境地
14、。第13页，本讲稿共39页 如果说一个数学系统是一致的，不可能得出00的结果。一致性（相容性、无矛盾、协调性）不能出现这个系统中的一个命题与它的否定命题都是对的，即 不能出现悖论。19301930年之前：两个基本问题年之前：两个基本问题 数学的一致性数学的一致性consistencyconsistency数学的完备性数学的完备性 completeness completeness 一个数学系统是完备的，那么这个系统中的所有命题都是可以被 证明的，每一个数学真理都对应着一个数学定理。每一个明确的数学问题都应该关联一个明确的判断，或者是给出 答案，或者是证明它不可解。第14页，本讲稿共39页 如如
15、果果我我们们承承认认2+2=5,2+2=5,则则有有2=32=3于于是是1=21=2或或者者2=1,2=1,因因为为教教皇皇和和罗罗素素是是两两个个人人，且且2=1,2=1,所以罗素就是教皇。所以罗素就是教皇。罗罗素素:我我是是教教皇皇第15页，本讲稿共39页 任何判断都必须有充足理由才被认为是真的，其公式是任何判断都必须有充足理由才被认为是真的，其公式是“所以所以 有有B B是因为是因为A A”或或“A A是是B B的充足理由的充足理由”。正确的判断必须有充足的理由。可表示为:因为有A,所以有B,即由A一定能推出B,其中A和B都表示一个或几个判断,A称为B的理由,B称为A的结论(推断)。例如
16、,三组对应边成比例,两组对应角相等、两组对应边成比例且夹角相等都是两三角形相似的充足理由.充足的理由必须具备真实性、完备性、相关性,否则就不是充足理由。充足理由律要求理由和结论之间必须具有本质的联系,理由是结论的充分条件,结论是理由的必要条件,相关性就是指理由与结论间必须具有本质的内在联系。有时,一些错误的结论,表面上虽然具有“因为，所以”的形式,但实质上“理由”和“结论”之间却是毫不相关的。充足理由律和同一律、矛盾律、排中律也有着密切的联系。同一律、矛盾律、排中律是保证概念或判断在同一论证过程中的确定性,无矛盾性和明确性(明确性是指对两个相互矛盾的概念或判断要明确地表示出肯定还是否定),充足
17、理由律是保证判断之间的内在联系的合理性。因此,在同一思维(论证)过程中,如果违背了同一律、矛盾律、排中律,那么必然导致违背充足理由律。充足理由律充足理由律第16页，本讲稿共39页数学中的推理数学中的推理推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式推理是从一个或几个判断中得出一个新判断的思维形式例例例例1 1 1 1 角平分线上任一点到这个角两边的距离相等角平分线上任一点到这个角两边的距离相等角平分线上任一点到这个角两边的距离相等角平分线上任一点到这个角两边的距离相等,因此因此因此因此,到角两边的距离不到角两边的距离不到角两边的距离不到角两边的距离不 等的点不在这个角的平分线上。等的点不在这
18、个角的平分线上。等的点不在这个角的平分线上。等的点不在这个角的平分线上。例例例例2 2 2 2 矩形的对角线平分且相等矩形的对角线平分且相等矩形的对角线平分且相等矩形的对角线平分且相等,正方形是矩形正方形是矩形正方形是矩形正方形是矩形,所以正方形的对角线平分且所以正方形的对角线平分且所以正方形的对角线平分且所以正方形的对角线平分且 相等。相等。相等。相等。以上两例都是数学推理。推理在实践中有两个方面的作用。一是帮助人们从已知的知识以上两例都是数学推理。推理在实践中有两个方面的作用。一是帮助人们从已知的知识以上两例都是数学推理。推理在实践中有两个方面的作用。一是帮助人们从已知的知识以上两例都是数
19、学推理。推理在实践中有两个方面的作用。一是帮助人们从已知的知识推出新的知识推出新的知识推出新的知识推出新的知识;二是证明的工具。二是证明的工具。二是证明的工具。二是证明的工具。第17页，本讲稿共39页推理的结构推理的结构任何推理都是由前提和结论两部分组成。前提是在推理过程中所依据的已有判任何推理都是由前提和结论两部分组成。前提是在推理过程中所依据的已有判断断,它告诉人们已知的知识是什么。推理的前提可以是一个它告诉人们已知的知识是什么。推理的前提可以是一个,也可以是几个。例也可以是几个。例1 1中中有一个前提有一个前提“角平分线上任一点到这个角两边的距离相等角平分线上任一点到这个角两边的距离相等
20、”。例。例2 2中有两个前提中有两个前提“矩形矩形的对角线平分且相等的对角线平分且相等”、“正方形是矩形正方形是矩形”。结论是根据前提所作出的判断。结论是根据前提所作出的判断,它告诉人它告诉人们推出的知识是什么。例们推出的知识是什么。例1 1中的结论是中的结论是“到角两边的距离不等的点不在这个角的平分到角两边的距离不等的点不在这个角的平分线上线上”。例。例2 2中的结论是中的结论是“正方形的对角线平分且相等正方形的对角线平分且相等”。推理有内容方面的问题推理有内容方面的问题,也有形式方面的问题也有形式方面的问题,前者就是前提和结论的真假性前者就是前提和结论的真假性,后后者就是推理的结构问题。形
21、式逻辑不研究、也不能解决推理内容方面的问题者就是推理的结构问题。形式逻辑不研究、也不能解决推理内容方面的问题,即不即不能解决推理的前提和结论的真假性能解决推理的前提和结论的真假性,形式逻辑只研究推理形式。指出哪些推理是正形式逻辑只研究推理形式。指出哪些推理是正确的确的,哪些推理是不正确的。因此哪些推理是不正确的。因此,逻辑思维对推理的要求是逻辑思维对推理的要求是:推理要合乎逻辑。所推理要合乎逻辑。所谓推理合乎逻辑谓推理合乎逻辑,就是指在进行推理时要合乎推理形式就是指在进行推理时要合乎推理形式,遵守推理规则。遵守推理规则。第18页，本讲稿共39页推理的种类推理的种类第19页，本讲稿共39页从从个
22、别个别的或的或特殊特殊的事物所作的判断扩大为同类的事物所作的判断扩大为同类一般一般事物的判断的一种推理。事物的判断的一种推理。1.1.归纳归纳推理推理 根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳推理分为根据归纳推理的前提和结论所作判断的范围是否相同，可把归纳推理分为完全归纳法完全归纳法和和不完全归纳法不完全归纳法。完全归纳法完全归纳法 如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范如果归纳推理的前提中一个或几个判断范围的总和与结论中判断的范围围完全相同完全相同，则这种归纳推理称为完全归纳法。，则这种归纳推理称为完全归纳法。不完全归纳法不完全归纳法 如果归纳推理的前提
23、判断范围的总和如果归纳推理的前提判断范围的总和小于小于结论判断的范围，则这种归纳推理叫做不完全结论判断的范围，则这种归纳推理叫做不完全归纳法。归纳法。注：注：在完全归纳法中，如果前提为真，则结论也为真，所以可以作为严格的数学证在完全归纳法中，如果前提为真，则结论也为真，所以可以作为严格的数学证明。明。不完全归纳法所得结论是不可靠的，所以不可以作为严格的数学证明不完全归纳法所得结论是不可靠的，所以不可以作为严格的数学证明 不完全归纳法在数学发现和数学教学中具有重要的价值不完全归纳法在数学发现和数学教学中具有重要的价值第20页，本讲稿共39页 完全归纳法完全归纳法的推理形式：的推理形式：具有性质具
24、有性质F；具有性质具有性质F；具有性质具有性质F；具有性质具有性质F；和和 具有性质具有性质F；具有性质具有性质F；A类事物具有性质类事物具有性质F A类事物具有性质类事物具有性质F.不完全归纳法不完全归纳法的推理形式：的推理形式：具有性质具有性质F 具有性质具有性质F 具有性质具有性质F A类事物具有性质类事物具有性质F第21页，本讲稿共39页演绎演绎推理推理由一般一般到特殊特殊的推理,也就是由一般原理推出特殊场合知识的思维形式。演绎推理的前提和结论之间有着必然的联系,只要前提是真的,推理合乎逻辑,得到的结论就一定正确。因此,演绎推理可以作为数学中严格证明的工具。以某类事物的一般判断为前提作
25、出这类物的个别特殊事物的判断的思维形式。简单的演绎推理一般是通过三段论的形式来实现。它的理论基础是下面公理：如果集合M的所有元素具有（或不具有）性质P，如果 是集合M的元素（即 ），则 也具有（或不具有）性质P。其形式如下：大前提：集合M的所有元素具有（或不具有）性质P的一般判断，可表示为MP 小前提：集合S M，即S是M的子集，可表示为SM 结论：集合S也具有（或不具有）性质P，可表示为SP.第22页，本讲稿共39页三段论的例子：三段论的例子：1 1、大前提：矩形中的对角线相等、大前提：矩形中的对角线相等 小前提：正方形是矩形小前提：正方形是矩形 结结 论：正方形的对角线相等论：正方形的对角
26、线相等2 2、大前提：所有循环小数都是有理数、大前提：所有循环小数都是有理数 小前提：小前提：0.222220.22222是循环小数是循环小数 结结 论：论：0.222220.22222是有理数是有理数3 3、证明任意直角三角形二锐角之和为、证明任意直角三角形二锐角之和为9090度。度。因为任意三角形三内角之和为因为任意三角形三内角之和为180180度度 （大前提）（大前提）直角三角形是三角形直角三角形是三角形 （小前提）（小前提）所有直角三角形三内角之和为所有直角三角形三内角之和为180180度（度（x+y+90=180 x+y+90=180）（小前提）（小前提）因为等量减等量差相等因为等量
27、减等量差相等 （大前提）（大前提）而（而（x+y+90 x+y+90）-90=180-90-90=180-90是等量减等量是等量减等量 （小前提）（小前提）所有所有 x+y=90 x+y=90成立成立 （结（结 论）论）第23页，本讲稿共39页 复合三段论：复合三段论：几个三段论联接在一起所构成的，其中前一个三段论的结论几个三段论联接在一起所构成的，其中前一个三段论的结论 作为后一个三段论的前提。作为后一个三段论的前提。例如：例如：平行四边形是多边形平行四边形是多边形 （大前提）（大前提）菱形是平行四边形菱形是平行四边形 （小前提）（小前提）所以，菱形是多边形所以，菱形是多边形 （结论）（大前
28、提）（结论）（大前提）四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形 （小前提）（小前提）所以，四边形所以，四边形ABCDABCD是多边形（结论）是多边形（结论）三段论是一种重要的推理形式，但不是唯一的推理形式，把演绎三段论是一种重要的推理形式，但不是唯一的推理形式，把演绎推理都归之为三段论的说法是不恰当的，除三段论外，还有关系推理、推理都归之为三段论的说法是不恰当的，除三段论外，还有关系推理、联言推理、选言推理、假言推理等。联言推理、选言推理、假言推理等。中学数学中一般表示为:所有无限不循环小数都是无理数(大前提),数是无限不循环小数(小前提),数是无理数(结论)。第24页，本讲稿共39页 第一,
29、演绎以归纳为基础,归纳为演绎准备条件。从演绎的前提看,最初的前提是数学公理,这些公理是人们经过长期反复实践归纳得来的,从演绎所得到的结论看,这些结论都还需要经过实践检验,并且在实践中又归纳出新的结论加以补充和发展。第二,归纳以演绎为指导,演绎给归纳提供理论根据。归纳推理和演绎推理的区别和联系归纳推理和演绎推理的区别和联系第25页，本讲稿共39页 以两个对象有某些相似的属性，并且其中一个对象还有另外一些属性，从而推出另一个对象也有类似的属性。注：这是一种从特殊到特殊的推理，所得结论不一定真实。类比类比推理推理由由特殊特殊到到特殊特殊的推理。的推理。类比推理类比推理的推理形式：的推理形式：A A具
30、有性质具有性质B B具有性质具有性质B B具有性质具有性质P.P.类比推理的结论的真实性是不能肯定的，因此不能作为严格的数学证明方法类比推理的结论的真实性是不能肯定的，因此不能作为严格的数学证明方法在数学的发现在数学教学中类比推理有着重要的使用价值在数学的发现在数学教学中类比推理有着重要的使用价值要防止学生进行胡乱的类比，特别是在数学符号上进行胡乱的类比要防止学生进行胡乱的类比，特别是在数学符号上进行胡乱的类比。第26页，本讲稿共39页数学中的证明数学中的证明 1.1.数学证明的意义和结构数学证明的意义和结构 数学证明是根据已经确定其真实性的公理、定理、定义、公式、性质 等数学命题来论证某一数
31、学命题的真实性的推理过程。数学证明过程往往 表现为一系列的推理。从逻辑结构方面来分析、任何证明都由论题、论据、论证三部分组成。论题论题,是指需要确定其真实性的那个命题。,“三角形内角和等于180”就是 论题。任何论题都包含条件和结论两个方面,论题告诉人们已知什么,要 证明什么。论据论据,是指用来证明论题真实性所引用的命题,论题中的条件以及数学中 的公理、定理、定义、性质等,都可作为证明的论据。论据告诉人们是用 什么来证明的。论证论证,是由论据出发进行一系列推理来确定论题真实性的过程。论证告诉 人们是怎样证明的,论据和论题是怎样联系的。数学证明也可分为已知(论据)、求证(论题)、证明(论证)三个
32、组成部分。中学数学证明是采用了这种叙述形式。第27页，本讲稿共39页证明和推理之间的联系和区别证明和推理之间的联系和区别证明过程其实质也就是推理过程，就是把论据作为推理的前提证明过程其实质也就是推理过程，就是把论据作为推理的前提,应用正确的推理形式应用正确的推理形式,推出论题的过程。一个证明可以只含一个推理推出论题的过程。一个证明可以只含一个推理,也可以含有一系列的推理也可以含有一系列的推理,可以只用可以只用演绎推理演绎推理,也可以只用归纳推理也可以只用归纳推理,也可以只用演绎推理和归纳推理也可以只用演绎推理和归纳推理,是一种特殊形式的是一种特殊形式的推理推理,但是但是,就具体问题来分析就具体
33、问题来分析,证明和推理又是不同的。首先证明和推理又是不同的。首先,从它们的结构上看从它们的结构上看,推推理包含前提和结论两部分理包含前提和结论两部分,前提是已知的前提是已知的,结论是根据前提推出来的结论是根据前提推出来的;证明由论题、论证明由论题、论据、论证三部分组成据、论证三部分组成,论题相当于推理结论论题相当于推理结论,是已知的是已知的,论据相当于推理的前提论据相当于推理的前提,是事是事先不知道的先不知道的,因此因此,它们的思维过程正好相反。其次它们的思维过程正好相反。其次,从它们的作用来看从它们的作用来看,推理只解决推理只解决形式问题形式问题,对于前提和结论的真实性是管不了的。比如由类比
34、推理和不完全归纳推理对于前提和结论的真实性是管不了的。比如由类比推理和不完全归纳推理得到的结论得到的结论,只具有偶然的性质只具有偶然的性质,而证明却要求论据必须是真实的而证明却要求论据必须是真实的,论题经过证明后真论题经过证明后真实性是确信无疑的。实性是确信无疑的。证明是一种特殊形式的推理；结构不同、思维过程相反、作用不同。证明是一种特殊形式的推理；结构不同、思维过程相反、作用不同。第28页，本讲稿共39页证明必须遵守逻辑规则证明必须遵守逻辑规则论题要明确论题应始终如一 论据要真实 论据不能靠论题来证明 必须能推出论题 严谨 第29页，本讲稿共39页 （1 1）论题必须明确论题必须明确 例例1
35、 1 连接四边形四边的中点成一平行四边形。（论题不明确。应当是：顺次连接四边形四边的中点成一平行四边形顺次连接四边形四边的中点成一平行四边形）例例2 2 等底的两个三角形面积的比等于高的比。（论题不明确。应当是：等底的两个三角形面积的比等于该底上两个高的比等底的两个三角形面积的比等于该底上两个高的比）（2 2）不能偷换论题不能偷换论题 例例3 3 求证：凸四边形的内角和等于360。证明：矩形ABCD是一个凸四边形，且A=B=C=D=90，所以，A+B+C+D=360，即凸四边形的内角和等于360。（偷换论题：证明的是矩形内角和等于360）（3）论据必须真实论据必须真实（论据：“两个无理数的和是
36、无理数”不真实。）第30页，本讲稿共39页（5 5）论据必须能推出论题论据必须能推出论题第31页，本讲稿共39页 按按推理的方法推理的方法来分，可分为来分，可分为演绎演绎证法和证法和归纳归纳证法。证法。演绎演绎证法证法是用演绎推理证明论题的方法,也就是从包含在论据中的一般 原理推出包含在论题中的特殊事实的方法。归纳证法是用归纳推理来证明论题的方法,也就是从包含在论据中的个别、特殊事实推出包含在论题中的一般原理的方法,由于不完全归纳法不能作为严格证明的工具,因此,归纳证法只能使用完全归纳法。2.2.2.2.常用的证明方法常用的证明方法常用的证明方法常用的证明方法例例1 1 在四边形在四边形ABC
37、DABCD中，中，AB=CD,BC=AD.AB=CD,BC=AD.求证：四边形求证：四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形.证明：连接证明：连接AC.AC.ABCDABCD第32页，本讲稿共39页 按寻求论证的思路来分，可分为按寻求论证的思路来分，可分为分析分析法和法和综合综合法两种法两种。分析法分析法 从命题的结论出发一步一步地探索其能成立的条件,最后探索到命题的已知条件或已知事实为止,这种证明方法叫做分析法。简单地说,分析法就是“从未知看需知,推已知”的方法。分析和综合有着密切的联系。在解答数学题时,一般总是先进行分析,寻找解题途径,再用综合法写出解答过程,当论题较为复杂时,常常联
38、合运用分析法与综合法找解题途径,分别从题设和结论出发,经过“顺推”和“逆索”推演到一个结果上去,找到解题途径,而后加以整理并用综合法写出。这种方法称为“两头凑法”。第33页，本讲稿共39页 按证题的手法分为按证题的手法分为直接直接证法和证法和间接间接证法。证法。直接直接证法：从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证法：从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推 证结论的真实性。证结论的真实性。其一般形式是：其一般形式是：间接间接证法：不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它的反论题为证法：不是从正面证明确定论题的真实性，而是证明它的反论题为 假或改证它的等价命题为真，
39、以间接地达到目的假或改证它的等价命题为真，以间接地达到目的.间接证法有间接证法有 反证反证法和法和同一同一法两种法两种.a.a.用反证法证明命题用反证法证明命题“pqpq”的全过程和逻辑依据，可以用下图来表示：的全过程和逻辑依据，可以用下图来表示：肯定条件p否定结论q导致逻辑矛盾推理矛盾律为假排中律为真反证法常用的推理格式有：反证法常用的推理格式有：第34页，本讲稿共39页所谓反证法是:把否定的结论纳入到原条件中,使二者共同作为条件,在正确的逻辑推理下,导致逻辑矛盾,根据矛盾律知道否定结论的错误性,再根据排中律知道原结论的正确性。反证法可简要地概括成:否定推理否定。用反证法证明命题用反证法证明
40、命题“若若P P则则q q”其一般步骤其一般步骤第一反设.将结论反面作为假设,即作出与命题结论“q”相矛盾的假设“非q”。第二归谬.将“反设”和“原设”作为条件,即从“P”和“非q”出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果。第三结论.说明“反设”不成立,从而肯定原结论是正确的,这就间接地证明了命题“Pq”为真。注：第二步所说的矛盾结果,一般指的是推出的结果与已知条件矛盾,与已知定义矛盾、与已知公理矛盾,与已知定理矛盾、与临时假定矛盾以及自相矛盾等各种情况。根据反设情况不同，反证法可分为“归谬法”和“穷举法”两种，反设只有一种情况的反证法叫做“归谬法”；反设有多种情况的反证法叫做“穷举法”。第3
41、5页，本讲稿共39页反证法与直接证法相比较的特点反证法与直接证法相比较的特点第一第一 从推理论证的前提看反证法增加了从推理论证的前提看反证法增加了“反设反设”这个新条件这个新条件,据此特点下述情况常采取据此特点下述情况常采取 反证法。反证法。对一些最基本的性质的证明。由于这些最基本性质予以成立的条件简明扼要,同时要供使用的定理甚少,因而直接证明常常发生困难。这时使用反证法正是为了增加论证的前提条件,使人们的思路能顺着新增加的条件开拓出去。有些命题虽然不属于学科的基本性质,但从原设出发直接论证,所知甚少,往往感到无从下手,此时也可考虑使用反证法,加进“反设”这一新的前提条件,常常有利于打开思路。
42、由于反证法新增加的条件是结论的反面,如果它比结论本身更具体、更明确,则此时宜于采用反证法。如“否定式命题”;结论被表成“至多”或“至少”形式的命题;“唯一性”命题,要证的结论是“无限的”等命题,都宜于采用反证法。第二第二 从推理论证的目标看反证法无须专门去证某一特定的结论从推理论证的目标看反证法无须专门去证某一特定的结论,只要设法合理地推出只要设法合理地推出 一个逻辑矛盾就可以了。一个逻辑矛盾就可以了。正是由于“目标不明”这一特点,使反证法不易掌握,这也可说是反证法的“劣势”;另一方面,也是由于“目标不明”,只要设法合理地推出一个逻辑矛盾即可,据此,在某些情况下采用反证法比直接证法宜于奏效,这
43、也可以说是反证法的“优势”。第三第三 从推理论证的方法看如同直接证法一样从推理论证的方法看如同直接证法一样,反证法也属演绎推理反证法也属演绎推理,反证法具有分析法的特点反证法具有分析法的特点,它们都是从命题它们都是从命题的结论入手的结论入手,所不同的是所不同的是:分析法是从结论开始分析法是从结论开始,反证法是从结论的反面开始反证法是从结论的反面开始;分析法是得到正确的结果而结分析法是得到正确的结果而结束束,反证法是以得到不成立的结果而结束反证法是以得到不成立的结果而结束,从这个角度去看从这个角度去看,反证法也可称为否定式的分析法。反证法也可称为否定式的分析法。第36页，本讲稿共39页b.b.同
44、一法：同一法：同一法的根据是同一原理同一法的根据是同一原理,对于符合同一原理的命题对于符合同一原理的命题,当不易直接证明时当不易直接证明时,可以证明它的可以证明它的逆命题逆命题,只要证明其逆命题正确只要证明其逆命题正确,这个原命题就正确。这种间接证法叫做同一法。这个原命题就正确。这种间接证法叫做同一法。同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。同一法常用于证明符合同一原理的几何命题。其步骤是其步骤是:第一步第一步,作出符合命题的图形。作出符合命题的图形。第二步第二步,证明所作图形符合已知条件。证明所作图形符合已知条件。第三步第三步,根据唯一性根据唯一性,确定所作的图形与已知图形重合。确定所作的图
45、形与已知图形重合。第四步第四步,断定原命题的真实性。断定原命题的真实性。第37页，本讲稿共39页ABC例例 设设D D、E E分别是分别是ABCABC两腰两腰ABAB、ACAC的中点，求证：的中点，求证：DE/BC.DE/BC.证明证明证明证明 （如图）过（如图）过（如图）过（如图）过D D D D作作作作 /BC /BC /BC /BC，交，交，交，交ACACACAC于于于于 则则则则 ，即，即，即，即 为为为为ACACACAC的中点，因的中点，因的中点，因的中点，因E E E E是是是是ACACACAC的中点，的中点，的中点，的中点，所以点所以点所以点所以点 与与与与E E E E重合重合
46、重合重合,即与即与即与即与DEDEDEDE重合。故重合。故重合。故重合。故DE/BCDE/BCDE/BCDE/BC。注：注：比较反证法与同一法容易看出,同一法和反证法的适用范围是不同的。同一法局限性较大,通常只适用于符合同一原理的命题;反证法则适用普遍,对于能够用同一法证明的命题,一般都能够用反证 法证明,如果把同一法的步骤作适当的改造,即在同一法的第一步前加一步:“作 出与命题结论相矛盾的假设”,把同一法的第三、四步改作“根据同一性 而出现两个不同图形这是矛盾的,由此原理得证”,那么原来的同一法就 变成了反证法。第38页，本讲稿共39页学生学习推理、证明的心理分析学生学习推理、证明的心理分析
47、学生在学习定理、公式时常表现出的几个不同的心理层次：学生在学习定理、公式时常表现出的几个不同的心理层次：1.忽视推理证明，以记住定理、公式的结论为目标；2.以听懂证明为满足；3.能跟着教师的讲解进行思维；4.能独立思考，思路点准确性比较高，扩展力比较强；5.主动学习，思路敏捷，善于分析，思路点准确、扩展力强.定理、公式的教法探讨定理、公式的教法探讨使学生切实分清定理、公式的条件与结论使学生切实分清定理、公式的条件与结论弄清与定理、公式有关的概念弄清与定理、公式有关的概念使学生掌握所学定理、公式的证明方法（有效的教学处理）使学生掌握所学定理、公式的证明方法（有效的教学处理）其他注意点：注意推理证明通法的教学其他注意点：注意推理证明通法的教学；注意推理证明规则的教学注意推理证明规则的教学；加强分加强分析析；认真练习认真练习 第39页，本讲稿共39页