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1、第四章流体动力学基本方程第1页，本讲稿共60页一、实际流体中的应力一、实际流体中的应力4 41 1 实际流体中的应力与变形速度实际流体中的应力与变形速度 zdxApzzxydyzx zyfzfyfxyxo pxxxzdz yxpyy yz第2页，本讲稿共60页二、切向应力和变形速度之间的关系二、切向应力和变形速度之间的关系 xyyx达朗伯原理：达朗伯原理：作用在矩形六面体上的各力作用在矩形六面体上的各力对通过六面体质心对通过六面体质心M且与且与z轴平轴平行的轴的力矩之和为行的轴的力矩之和为01.法向应力的合力都与取矩的中心轴线相交，力矩为法向应力的合力都与取矩的中心轴线相交，力矩为0注意2.在
2、切向应力中，第一个角标为在切向应力中，第一个角标为z的切向应力与取矩的中心轴线的切向应力与取矩的中心轴线相交；第二个角标为相交；第二个角标为z的切向应力与取矩的中心轴线平行，的切向应力与取矩的中心轴线平行，因此其力矩为因此其力矩为03.质量力作用在矩形六面体的质心质量力作用在矩形六面体的质心M，力矩为，力矩为04.转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶无穷小量转动惯性力矩与转动惯量成正比，为四阶无穷小量，可以忽略，可以忽略力对任意轴之矩等于在垂直该力对任意轴之矩等于在垂直该轴平面上的投影对于轴与平面轴平面上的投影对于轴与平面交点之矩交点之矩xMdxdyyo第3页，本讲稿共60页牛顿内摩擦定律推广
3、到三维流动假定流体的粘度为各向同性 广义牛顿内摩擦定律广义牛顿内摩擦定律 第4页，本讲稿共60页三、法向应力和线变形速度之间的关系三、法向应力和线变形速度之间的关系第5页，本讲稿共60页442 2 实际流体中的运动微分方程实际流体中的运动微分方程 dxApzzxydyzx zyfyfxfzyxzo pxxxzdz yxpyy yz第6页，本讲稿共60页 以应力形式以应力形式表示的实际流表示的实际流体的运动微分体的运动微分方程方程第7页，本讲稿共60页纳维尔斯托克斯方程 N-S方程，写成矢量形式为：质量密度质量密度 加速度体积力压差力粘性力加速度体积力压差力粘性力 第8页，本讲稿共60页讨讨 论
4、论 N-S方程加连续方程联立，成一封闭方程组。原则上可解四个未知数，x，y，z，p。但实际上流动现象很复杂，而 又是非线性的，所以，对大部分问题，N-S方程的求解，在数学上是很困难的，据有关书籍介绍，到目前为止，精确解(分析解)仅有一二十个。应用条件：不可压流体，且=常数。对理想流体有：=0，则N-S方程变成欧拉方程，所以N-S方程是不可压流体的普遍运动微分方程。由于在推导N-S方程中便用了牛顿内摩擦定律，所以有人认为N-S方程仅适用于层流，但也有人认为，如美籍华人陈景仁教授就认为N-S方程也适用于紊流。N-S方程中的压力 为任意三个互相垂直法向应力的算术平均值。物理意义：单位流量流体的惯性力
5、=单位数量流体的质量力、压力、粘性力之和，指向作用面的内法线方向。第9页，本讲稿共60页43 理想流体的运动微分方程对于理想流体粘性为0N-S方程 为理想流体的运动微分方程，欧拉运动微分方程适用于可压缩流体和不可压缩流体的运动第10页，本讲稿共60页当流体处于静止状态时，欧拉平衡微分方程写成矢量形式为：第11页，本讲稿共60页对于不可压缩流体，是常数，欧拉运动微分方程 连续性方程 初始和边界条件对于可压缩流体，是变量，欧拉运动微分方程 连续性方程 状态方程 初始和边界条件x，y，z，px，y，z，p，第12页，本讲稿共60页圆柱坐标系圆柱坐标系(r,z)下的下的欧拉运动微分方程第13页，本讲稿
6、共60页兰姆运动微分方程欧拉运动微分方程适用于理想流体的任何运动，但该方程中只有表示平移运动的线速度,而没有表示旋转运动的角速度x,y,z第14页，本讲稿共60页44理想流体运动微分方程的积分与伯努利方程由于欧拉方程是非线性方程，所以对它的积分目前在数学上还存在着困难。现在仅对几种特殊的流动情况可以进行积分。最常见的有两种：定常流动的伯努利积分定常流动的伯努利积分定常无旋流动的欧拉积分定常无旋流动的欧拉积分两个积分的前提条件是：(1)定常流，即(2)质量力有势，即满足(3)正压性流体，即流体的密度只与压力有关这时存在一个压力函数 定义为：第15页，本讲稿共60页 由于故有：绝绝热热流流动动的的
7、可可压压缩缩流流体体，由 ,则 对不可压流体对不可压流体 则有：则有：对等温流动的可压缩流体对等温流动的可压缩流体，由 第16页，本讲稿共60页将 代入兰姆运动微分方程兰姆运动微分方程，则变成 第17页，本讲稿共60页一、欧拉积分一、欧拉积分 条件：定常无旋流 再将上式分别乘以流场中任意微元线段ds的三个分量dx,dy,dz，相加，再积分，则得欧拉积分式：对可压或不可压的理想流体，满足正压性，在有势的力作用下作定常无旋流动时，在流场中任一点单位质量流体的位势能，压力势能pF和动能 之和为常数。物理意义为：第18页，本讲稿共60页二、伯努利积分：二、伯努利积分：(有旋流动有旋流动)条件：沿流线（
8、涡线）兰姆运动微分方程两侧兰姆运动微分方程两侧乘以流线上任一微分方程ds的三个分量dx,dy,dz 对定常流动，流线与迹线重合，对迹线而言 第19页，本讲稿共60页其物理意义为：对可压缩或不可压缩的理想流体，满足正压性，在有势的质量力作用下作定常有旋流动时，沿同一流线上各点单位质量流体的位势能，压力势能pF和动能 之和为常数。三种机械能可以互相转化。但对不同流线，该常数值一般是不同的。但对不同流线，该常数值一般是不同的。伯努利积分式，第20页，本讲稿共60页三、伯努利方程三、伯努利方程 如果质量力仅仅是重力 ，则对单位质量流体的质量力，则 。g的前面加负号是由重力方向垂直向下，而取 z 轴正向
9、向上，则 。对不可压流 ，则 。得：伯努利方程z 为单位重量流体具有的位势能，又称位置高度或位置水头；为单位重量流体具有的压强势能，又称压强高度或压强水头；为单位重量流体具有的动能，又称速度水头或动压头。伯努利方程物理意义为：对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，对有旋流动，沿同一流线单位重量流体的位势能、压力势能以及动能之和为常数。对无旋流动，整个流场所有各点的总机械能为一常数。第21页，本讲稿共60页静水头 总水头z1z2基准面静水头线总水头线伯努利方程几何意义：对不可压理想流体在重力作用下作定常流动时，对有旋流动，沿同一流线单位重量流体的位置水头、压强水头和速度水头之和为常数。即总水
10、头线是与基准面相平行的水平线。第22页，本讲稿共60页举举 例例 如果流动在同一水平面，或流场中z的变化与其它流动参数相比可忽略时，则伯努利方程沿同一流线如果压强增大，则速度降低如果压强降低，则速度增大吹气p0p0第23页，本讲稿共60页船吸现象第24页，本讲稿共60页第25页，本讲稿共60页45 粘性流体总流的伯努利方程当粘性流体流经固体壁面时，在固体壁面与主流之间存在由零到主流速度V的速度梯度，相对运动的流层之间存在切应力，形成阻力。为克服阻力维持流动，流体必然要消耗部分机械能，转化为热能耗散，造成不可逆损失。粘性流体沿微元流束（或流线）流动时，其机械能是减少的，必须对理想流体的伯努利方程
11、进行修正。理想流体-无粘性；实际流体-有粘性第26页，本讲稿共60页一、粘性流体沿微元流束的伯努利方程一、粘性流体沿微元流束的伯努利方程 理想不可压流体在重力场下沿流线作定常流动时，流体的总机械能沿流线不变 即总水头线始终是一条水平线。对于粘性流体，由于存在摩擦阻力，耗掉了流体的部分机械能，所以总机械能逐步减少。为单位重量流体自截面1到截面2 的能量损失，单位：(米流体柱高）。第27页，本讲稿共60页微元流束和总流的水头线hwz1z2基准面静水头线总水头线z1z2基准面静水头线总水头线第28页，本讲稿共60页二、粘性流体总流的伯努利方程二、粘性流体总流的伯努利方程 总流为由无数微元流束组成，有
12、效截面积为有限值的流束。要把沿流线的伯努利方程扩到总流，必然要进行修正。推导应用于总流的两缓变流截面的伯努利方程。对管道总流中每一微元流束，写出伯努利方程：上式两边同乘单位时间通过微元流束的重量流量gdqV（dqV=V1dA1=V2dA2），对1、2两截面总流的所有微元流束的能量进行积分，则：第29页，本讲稿共60页 在总流的任一有效截面上，流体质点的位能z，速度V，压力p均有差别。如果流动满足下列两个条件，我们称之为缓变流：1.流线的切线之间夹角很小，即流线近乎平行；2.流线的曲率很小，即流线近乎为直线。凡不符合上述条件的流动称为急变流。缓变流缓变流缓变流缓变流缓变流急变流急变流急变流急变流
13、急变流第30页，本讲稿共60页缓变流的特点是：在定常缓变流的同一有效截面上，压强分布规律与重力作用下流体的静压强分布规律相同，即推导适用于两个缓变流有效截面的粘性流体总流的伯努利方程假定截面1和2为两个缓变流有效截面，且流体不可压缩第31页，本讲稿共60页其中 为总流的动能修正系数 为1、2截面总流的平均单位重量流体的能量损失 粘性流体总流的伯努利方程粘性流体总流的伯努利方程 适用条件：适用条件：不可压粘性流体在重力作用下，作定常流动不可压粘性流体在重力作用下，作定常流动的任意两缓变流截面，而缓变流之间有无急变流存在，的任意两缓变流截面，而缓变流之间有无急变流存在，均可适用。均可适用。第32页
14、，本讲稿共60页说说 明明1.1.为动能修正系数，表示速度分布的不均匀性，为动能修正系数，表示速度分布的不均匀性，恒大于恒大于12.2.粘性流体在圆管中作层流流动时，粘性流体在圆管中作层流流动时，2 23.3.流动的紊流程度越大，流动的紊流程度越大，越接近于越接近于1 14.4.在工业管道中在工业管道中 =1.01=1.011.11.1，通常不加特别说，通常不加特别说明，均取明，均取 1，且用符号，且用符号V V代替代替 5.能量损失能量损失hw包括沿程损失包括沿程损失hf和局部损失和局部损失hj第33页，本讲稿共60页46 理想流体的伯努利方程一、一、文丘里管文丘里管 文丘里管水平放置 基准
15、面Q文丘里管水平放置d11Hm等压面2d2文丘里管是由截面逐渐收缩，然后再逐渐扩大的一段短管组成的，最小截面处称为喉部。在文丘里管收缩段前的直管段截面1和喉部截面2两处测量静压差，根据静压差和两个截面的面积可计算通过管道的流量。第34页，本讲稿共60页假设截面1和截面2上的流速、压力和截面面积分别为V1、p1、A1和V2、p2、A2连续性方程 截面1和2的列伯努利方程第35页，本讲稿共60页 在实际应用中，由于实际流体都有粘性，考虑到因粘性引起的截面上速度分布的不均匀性和流动过程中有能量损失，所以实际通过的体积流量要比上式的理论值略小一些，引入修正系数，可得 其中为文丘里管的流量系数，由实验确
16、定 由于收缩段的能量损失比扩张段小得多，因此不能用扩张段的压强来计算流量，以免增大误差。第36页，本讲稿共60页若静压差(p1p2)以U型管的液柱高度差H来表示，则对图中所示的等压面列等压面方程，则有 基准面Q文丘里管水平放置d11Hm等压面2d2以液柱高度表示速度和体积流量 第37页，本讲稿共60页第38页，本讲稿共60页文丘里管倾斜放置 文丘里管不仅可水平放置使用，也可倾斜放置，甚至可以竖直放置。假设文丘里管以某一倾斜角度放置，如图所示。截面1和截面2上的中心线的位置高度分别为z1和z2。2文丘里管倾斜放置a基准面Qd1Hmz1z21等压面d2列伯努利方程 连续性方程 第39页，本讲稿共6
17、0页如果用形管压差计来测量压差 等压面列等压面方程可得 第40页，本讲稿共60页 z二、皮托管二、皮托管 皮托在1773年用一根弯成直角的玻璃管，测量了法国塞纳河的流速。原理如图所示，在液体管道某截面装一个测压管和一个两端开口弯成直角的玻璃管（皮托管），皮托管一端正对来流，一端垂直向上，此时皮托管内液柱比测压管内液柱高h，这是因为流体流到皮托管入口A点受到阻滞，速度降为零，流体的动能变化为压强势能，形成驻点A，A处的压强称为总压，与A位于同一流线且在A上游的B点未受测压管的影响，其压强与A点测压管测得的压强相等，称为静压。BA z第41页，本讲稿共60页在A、B两点列伯努利方程有：实际上，由于
18、探针头部和小孔等因素的影响，测得的全压有一定偏差，引入修正系数KK称为皮托管探针的校正系数，是通过校正求得的，约在0.981.05。第42页，本讲稿共60页若将皮托管和静压管组合成一体，称为皮托静压管。驻点第43页，本讲稿共60页第44页，本讲稿共60页将皮托管与U型管连接，表示出来流的静压，动压和全压。静压全压动压第45页，本讲稿共60页三、孔板流量计三、孔板流量计 孔板流量计是电厂常用测量给水和蒸汽流量的节流装置，其基本原理是流体在管道中流动时，其流通截面突然缩小，在孔板后某一距离流速达最大，流体静压下降，同时伴随有能量损失，通过测量孔板前后的压降，可算出流体的流量。A1V1p1A0 d0
19、Achp1p1p2pcpx第46页，本讲稿共60页根据连续性方程和伯努利方程有 流束最小截面积Ac与孔板圆孔面积A0的关系可表示为：其中Cc为流体的收缩系数。令：第47页，本讲稿共60页由于有能量损失，且孔板上的取压位置并非在截面A1与Ac处，另外考虑到管壁的粗糙和孔板边缘不尖锐等因素，并用实测的p1和p2代替p1和pc，应加上修正系数，即：令 其中为孔板的流量系数，可由实验得到，标准孔板的流量系数可查表得到。在特殊的情况下，如果管流的实际雷诺数小于孔板的极限雷诺数，则查得的流量系数应乘于粘度校正系数K，K通过查表得到。第48页，本讲稿共60页第49页，本讲稿共60页如图所示,水在垂直管内由上
20、向下流动,在相距l的两断面间,测得测压管水头差为h,求两断面间沿程水头损失hf(不计其它损失)lh12第50页，本讲稿共60页47 动 量 方 程 解决流体与固体间相互作用时产生的作用力的问题 一、积分形式的动量方程一、积分形式的动量方程由输运方程：令第51页，本讲稿共60页由动量方程：t时刻，流体系统与控制体相重合，则有对定常流动 表明：在定常流动条件下，单位时间内经过控制面的流体动量的通量，等于作用在系统上外力的矢量和。第52页，本讲稿共60页二、定常管流的动量方程二、定常管流的动量方程假设不可压缩流体在固定弯管内作定常流动A2A1A31122动量方程CS=A1+A2+A3入口 出口由于在
21、A3不上没有流体进出，n=0，沿壁面积分为0第53页，本讲稿共60页一般截面上的密度视为常数，但是必须考虑速度在截面的变化，用截面平均速度计算，须引入动量修正系数用有效截面上的平均流速计算流体动量，则上式可写成：工程计算中一般取1 第54页，本讲稿共60页 动量方程适用于不可压缩流体的缓变流截面的定常流动（理想和粘性流体均适用）；只涉及边界上的参数，与内部流动无关；是矢量方程，方程中的“”永远为负，力和速度的方向与所选坐标系有关；计算表面力时压强用表压。说说 明明第55页，本讲稿共60页动动量量矩矩定定理理质点系对于任一固定点的动量矩对时间的导数，等于所有作用于点系的外力对于同一点的力矩之和。
22、48 动量矩方程 一、积分形式的动量方程一、积分形式的动量方程由输运方程：令 动量矩方程适用于叶轮机械中作定常流动的流体第56页，本讲稿共60页对定常流动 用有效截面上的平均流速表示，则=1.021.05，工程计算中=1 不可压缩流体，2=1=；定常流动，Q2=Q1=Q 即定常流动的动量矩方程各外力对转轴力矩的矢量和第57页，本讲稿共60页二、叶轮机械方程二、叶轮机械方程 适用于离心泵或风机 r12r2V2V2rV2eV2V2nV1rV1V1eV1V1n如图所示为离心泵或风机的叶轮流体自内圈流入，经流通从外圈流出。取整个叶轮（即转子）外侧为控制面，则控制面包括叶轮的侧面轮盘和内外圆周流通截面。第58页，本讲稿共60页前提假设：1、=C，作定常流动2、理想流体3、不可压缩流体，=C力矩分析：由于对称性，重力对转轴的力矩为零；内外圈边界上表面力为径向分布，力矩为零；叶片对流道内某一流体质点的作用力为 ，力矩为 ，其总和为 ，就是叶片对流道内流体的作用力对转轴这一点的力矩。应用动量矩方程：第59页，本讲稿共60页又对动量矩方程两侧取模两侧同乘，以功率形式表示两侧同除gQ叶轮机械基本方程其中 H又叫水泵或风机的扬程，它的物理意义是：单位重量的流体通过叶轮时提高的能量。H反映了涡轮机械的基本性能。第60页，本讲稿共60页