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1、第一章复数与复变函数第1页，本讲稿共94页复变函数理论复变函数理论产生于十八世纪，产生于十八世纪，欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯欧拉、达朗贝尔、拉普拉斯等都等都是创建这门学科的先驱。是创建这门学科的先驱。十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，柯西、黎曼、维尔斯十九世纪，复变函数理论得到了全面发展，柯西、黎曼、维尔斯特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新特拉斯等为这门学科的发展作了大量奠基工作。复变函数理论这个新的数学分支统治了的数学分支统治了十九世纪的数学十九世纪的数学，当时的数学家公认复变函数论，当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人
2、称赞是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。它是抽象科学中最和谐的理论之一。二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、二十世纪初，复变函数理论又有了很大的进展，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数理论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了重要贡献。复变函数论发展历史沿革复变函数论发展历史沿革第2页，本讲稿共94页复变函数理论对数学领域的许多分支的发展都很有影响，它已经
3、深复变函数理论对数学领域的许多分支的发展都很有影响，它已经深入到入到微分方程、积分方程、概率论和数论微分方程、积分方程、概率论和数论等多个学科。更重要的是，等多个学科。更重要的是，它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解它在其他学科得到了广泛的应用，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场物理学上有很多不同的稳定平面场，对它们的计算就是，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，通过复变函数来解决的。俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就采用复变函数理论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变就采用复变函数理论解
4、决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献。复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组复变函数理论以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分。它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力成部分。它推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。的工具，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程。第3页，本讲稿共94页第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数 自变量自变量为为复数复数的的函数函数就是就是复
5、变函数复变函数，它是本课它是本课程的研究对象。由于在中学阶段已经学过复数的程的研究对象。由于在中学阶段已经学过复数的概念和复数的运算，本章将在概念和复数的运算，本章将在原有的基础上作简原有的基础上作简要的复习和补充要的复习和补充；然后再介绍复平面上的区域以然后再介绍复平面上的区域以及复变函数的极限与连续性的概念及复变函数的极限与连续性的概念，为进一步研为进一步研究解析函数理论和方法奠定必要的基础。究解析函数理论和方法奠定必要的基础。第4页，本讲稿共94页教学目的与要求：教学目的与要求：1.掌握掌握复数各种表示方法及其运算；复数各种表示方法及其运算；2.了解了解：复数定义及其几何意义；复数定义及
6、其几何意义；复复单连通区域与复连通单连通区域与复连通区域；区域；无穷远点邻域。无穷远点邻域。3.理解理解复变函数的概念及极限和连续。复变函数的概念及极限和连续。教学重点：教学重点：复数的表示法及其运算，复变函数的概念。复数的表示法及其运算，复变函数的概念。教学难点：教学难点：利用复数解决平面几何问题。利用复数解决平面几何问题。学习要求学习要求第5页，本讲稿共94页课外思考题课外思考题习题一习题一1(2)(4)，5(3)(6)，8(1)(2)，10(1)，12(1)(3)，16(3)(4)，20(1)第6页，本讲稿共94页一、复数概念一、复数概念设设 ，为两个任意实数，称形如为两个任意实数，称形
7、如 的数为复数，记的数为复数，记为为 ，其中，其中 满足满足 ，称为虚数单位。实数，称为虚数单位。实数 和和 分别称为复数分别称为复数 的实部和虚部，记为的实部和虚部，记为 ，。注意：注意：各数集之间的关系可表示为各数集之间的关系可表示为 第一节第一节 复数及其运算复数及其运算第7页，本讲稿共94页二、复数的代数运算二、复数的代数运算设复数设复数 ，定义，定义 与与 的四则运的四则运算如下：算如下：加法：加法：减法：减法：乘法：乘法：除法：除法：复数四则运算规律：复数四则运算规律：(1)加法交换律加法交换律 第8页，本讲稿共94页(2)乘法交换律乘法交换律(3)加法结合律加法结合律 (4)乘法
8、结合律乘法结合律 (5)乘法对于加法的分配律乘法对于加法的分配律 复数运算的其它结果：复数运算的其它结果：(1)(2)(3)若若 ，则，则 与与 至少有一个为零，反之亦然。至少有一个为零，反之亦然。第9页，本讲稿共94页共轭复数的运算性质：共轭复数的运算性质：(1)(2)(3）(4)(5)(6)(7)为实数。为实数。第10页，本讲稿共94页例例1 1 化简化简解：解：第11页，本讲稿共94页例例2 2 设 ，求 及 。解：解：则则所以所以第12页，本讲稿共94页例例3 3 设设 是任意两个复数，求证：是任意两个复数，求证：证明：证明：利用公式利用公式可得可得第13页，本讲稿共94页由复数由复数
9、 z=x+iy 的定义可知，复数是由一对有序实数的定义可知，复数是由一对有序实数(x,y)惟一确定的，于是可建立全体复数和惟一确定的，于是可建立全体复数和 xoy 平面上的全部点之平面上的全部点之间的一一对应关系，即用横坐标为间的一一对应关系，即用横坐标为x，纵坐标为，纵坐标为y的点的点P(x,y)表示复数表示复数z=x+iy，这是一种几何表示法，通常称为，这是一种几何表示法，通常称为点点表示，表示，并将点并将点z与数与数z看作同义词。看作同义词。第二节第二节 复数的几何表示复数的几何表示一一.复平面复平面1.1.复数的几何表示复数的几何表示第14页，本讲稿共94页2.2.复数的向量表示复数的
10、向量表示复数复数z=x+iy还可以用还可以用起点起点为原点，为原点，终点终点为为P(x,y)的的向量向量 来表示，来表示，x 与与 y 分别是分别是 在在x 轴与轴与y 轴上的投影。轴上的投影。这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系。这样，复数与平面上的向量之间也建立了一一对应关系。即即第15页，本讲稿共94页3.3.复数的模与辐角复数的模与辐角向量向量 的长度称为复数的长度称为复数z=x+iy的的模模，记作，记作|z|或或r，即，即性质：性质：两个重要不等式：两个重要不等式：两边之和大于第三边两边之和大于第三边两边之差小于第三边两边之差小于第三边第16页，本讲稿共94页设复数z0对
11、应的向量为 ,与实轴正方向所夹的角，称为复数z=x+iy的辐角辐角,记作 ，即 。其满足规定规定：按逆时针逆时针方向取值为正正，顺时针顺时针方向取值为负负。显然任何一个复数z0的辐角有无穷多个，彼此两个辐角之间相差2的整数倍，即若1是其中的一个辐角，则复数z的全部辐角为第17页，本讲稿共94页当z=0 时,|z|=0，而幅角不确定。当z0，辐角主值Argz可由下列关系确定：说明：说明：当 z 在第二象限时，第18页，本讲稿共94页5.5.复数的指数表示式复数的指数表示式 称 为复数z的指数表示式。4.4.复数的三角表示式复数的三角表示式称 为复数z的三角表示式。第19页，本讲稿共94页答疑解惑
12、答疑解惑答答：不能不能，实数能比较大小，是因为实数是有序的；而复数是无序的，所以不能比较大小。假设复数有大小，其大小关系应与实数中大小关系保持一致，不妨取 0 0 和 i加以讨论：1 1、复数能否比较大小，为什么？复数能否比较大小，为什么？注意：注意：复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是复数的模、实部和虚部都是实数，辐角也是实数，可比较大小。实数，可比较大小。第20页，本讲稿共94页2 2、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的、复数可以用向量表示，则复数的运算与向量的运算是否相同？运算是否相同？答：答：有相同之有相同之处处，但也有不同之，但也有不同之处处。加减和数乘运算相同，乘积运算不同
13、，向量运算加减和数乘运算相同，乘积运算不同，向量运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有数量积、向量积和混合积，复数则没有；复数运算有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何有乘除及乘幂、方根，但向量没有；乘积运算的几何意义不同。意义不同。第21页，本讲稿共94页例例4 4、判断下列命判断下列命题题是否正确？是否正确？（1 1）（2 2）（3 3）（）（）（）第22页，本讲稿共94页例例5 5 求求 和和 。解：解：第23页，本讲稿共94页例例6 求求 的三角表示式与指数表示式。的三角表示式与指数表示式。解解：因为因为 ,所以所以设设 则则又因为又因为 位于第位于第II象限，象
14、限，所以所以 ,于是于是 第24页，本讲稿共94页例例7 设设z1、z2为两个复数，证明：为两个复数，证明：证明证明由于由于因此因此第25页，本讲稿共94页(2)(2)因为因为所以所以两边开方得两边开方得第26页，本讲稿共94页例例8 8 将在直角坐标系下的直线方程将在直角坐标系下的直线方程ax+by+c=0=0化化为在为在C内的复变量表示式。内的复变量表示式。解：解：因为因为z=x+iy，所以，所以将上式代入将上式代入ax+by+c=0得得即即令令A=a+ib，B=2c，则有，则有第27页，本讲稿共94页例例9 9 求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线解解：(1)(1)在几何意义知，
15、方程在几何意义知，方程表示所有与点表示所有与点i距离为距离为1的点的轨迹，因此其图形为以点的点的轨迹，因此其图形为以点i为圆心，为圆心，1为为半径的圆。半径的圆。设设z=x+iy,则方程则方程化为化为即即所以直角坐标方程为所以直角坐标方程为第28页，本讲稿共94页(2)(2)在几何意义知，方程在几何意义知，方程表示到点表示到点3与与1的距离之和为常数的距离之和为常数4的点的轨迹，因此其图形为以的点的轨迹，因此其图形为以点点3和和1为焦点，长轴为为焦点，长轴为4的椭圆。的椭圆。设设z=x+iy,则方程则方程化为化为化简整理得化简整理得所以直角坐标方程为所以直角坐标方程为第29页，本讲稿共94页(
16、3)设设z=x+iy，则，则由已知由已知得得即即因此其图形是一条平行因此其图形是一条平行x轴的直线。轴的直线。第30页，本讲稿共94页二、复球面与无穷点二、复球面与无穷点1.1.南极、北极的定义南极、北极的定义第31页，本讲稿共94页 规定规定：复数中有一复数中有一个唯一的个唯一的“无穷大无穷大”与与复平面上的无穷远点复平面上的无穷远点相对应，记作相对应，记作。因因而球面上的北极而球面上的北极 N就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示。的几何表示。球面上的点，除去北极球面上的点，除去北极 N外，与复平面内的点之间存在着一外，与复平面内的点之间存在着一一对应的关系。用球面上的点来表示复数。一对应
17、的关系。用球面上的点来表示复数。球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样这样的球面称为的球面称为复球面复球面。2.2.复球面的定义复球面的定义第32页，本讲稿共94页3.3.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面。不包括无穷远点在内的复平面称为不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面有限复平面，或简称或简称复平面复平面。对于复数对于复数来说，来说，实部、虚部、辐角实部、虚部、辐角等概念均无意义，等概念均无意义，其其模规定为正无穷大。模规定为正无穷大。复球面的优越处：能将扩充复平面的
18、无穷远点明显地复球面的优越处：能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来。表示出来。注意注意：若无特别说明，所讲若无特别说明，所讲“平面平面”一般指一般指有限平面，有限平面，所讲所讲“点点”指指有限平面上的点。有限平面上的点。第33页，本讲稿共94页4.4.无穷远点无穷远点关关于于无无穷穷远远点点，规规定定其其实实部部、虚虚部部、辐辐角角无无意意义，模等于：义，模等于：它和有限复数的基本运算为：它和有限复数的基本运算为：运算无意义：运算无意义：第34页，本讲稿共94页一、乘积与商一、乘积与商 定理一定理一 两个复数两个复数乘积的模乘积的模等于它们的等于它们的模的乘积模的乘积;两个两个复数复数乘积的
19、辐角乘积的辐角等于它们的等于它们的辐角的和辐角的和。证明：证明：第三节第三节 复数的乘幂与方根复数的乘幂与方根则则证毕证毕第35页，本讲稿共94页两复数相乘两复数相乘就是把模数相乘，辐角相加。就是把模数相乘，辐角相加。从几何上看从几何上看,两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为第36页，本讲稿共94页说明说明由于辐角的多值性由于辐角的多值性,两端都是无穷多个数构成的两个数集。两端都是无穷多个数构成的两个数集。对于左端的任一值对于左端的任一值,右端必有值与它相对应。右端必有值与它相对应。例如，例如，第37页，本讲稿共94页可将结论推广到可将结论推广到 n个复数相乘的情况个复数相乘的情况:第
20、38页，本讲稿共94页定理二定理二 两个复数的两个复数的商的模商的模等于它们的等于它们的模的商模的商；两个复数的；两个复数的商的辐角商的辐角等于被除数与除数的等于被除数与除数的辐角之差辐角之差。证明证明按照商的定义按照商的定义,证毕证毕第39页，本讲稿共94页例例1 1 已知已知解：解：因为因为所以所以第40页，本讲稿共94页例例2 2 已知正三角形的两个顶点已知正三角形的两个顶点解解：如图所示：如图所示,求它的另一顶点。求它的另一顶点。和第41页，本讲稿共94页所以所以第42页，本讲稿共94页二、幂与根二、幂与根1.n次幂次幂若定义若定义,那么当那么当n为负整数时，上式仍成立。为负整数时，上
21、式仍成立。第43页，本讲稿共94页棣莫佛公式棣莫佛公式棣莫佛介绍棣莫佛介绍2.2.棣莫佛公式棣莫佛公式第44页，本讲稿共94页根据棣莫佛公式根据棣莫佛公式,推导过程如下推导过程如下:故故显然显然于是于是第46页，本讲稿共94页当当k以其他整数值代入时，这些根又重复出现。以其他整数值代入时，这些根又重复出现。第47页，本讲稿共94页从几何上看从几何上看,第48页，本讲稿共94页例例3 3 化简化简解：解：第49页，本讲稿共94页第50页，本讲稿共94页例例4 4解：解：即即第51页，本讲稿共94页例例5 5解：解：故原方程可写成故原方程可写成则则故故令第52页，本讲稿共94页故原方程的根为故原方
22、程的根为因为第53页，本讲稿共94页例例6 6证明：证明：利用复数相等可知利用复数相等可知:第54页，本讲稿共94页等式得证等式得证第55页，本讲稿共94页三、小结与思考三、小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算应熟练掌握复数乘积与商的运算.在各种在各种形式中以三角形式、指数形式最为方便形式中以三角形式、指数形式最为方便:棣莫佛棣莫佛(de Moivre)公式公式第56页，本讲稿共94页第四节第四节 复平面上的点集复平面上的点集扩充复平面扩充复平面：包括无穷远点在内的复平面。：包括无穷远点在内的复平面。有限复平面有限复平面(或复平面）或复平面）：不包括无穷远点的复平面。：不包括无穷远点的复平
23、面。邻域邻域：平面上以：平面上以 为中心，为中心，为半径的圆：为半径的圆：内部所有点内部所有点 的集合称为点的的集合称为点的 邻域，邻域，记为记为 ，即，即称集合称集合 为为 的去心的去心 邻域，邻域，记作记作 。一、开集与闭集一、开集与闭集第57页，本讲稿共94页开集开集：若点集：若点集D的每一个点都是的每一个点都是D的内点，则称的内点，则称D为开集。为开集。闭集闭集：若点集：若点集D的余集的余集DC为开集，则称为开集，则称D为闭集。为闭集。连通集连通集：设是：设是D开集，如果对于开集，如果对于D内任意两点，都内任意两点，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于可用折线连接起来，且该折线上的
24、点都属于D，则称，则称开集开集D是连通集。是连通集。第58页，本讲稿共94页二二.区域区域若平面点集若平面点集D满足以下两个条件，则称它为一个满足以下两个条件，则称它为一个区域区域。(1)D是一个是一个开集开集；(2)D中任何两点都可以用完全属于中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起的一条折线连结起来。来。注意注意：区域就是连通的开集。：区域就是连通的开集。第59页，本讲稿共94页 区域区域D与它的边界一起构成与它的边界一起构成闭区域或闭域，闭区域或闭域，记为记为 ，区域的边界区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立所组成，可能是由几条曲线和一些孤立所组成，记为记为 。若区域若区域D 是有界
25、集合，则称它为是有界集合，则称它为有界域有界域，否则为，否则为无界域无界域。第60页，本讲稿共94页以上基本概念以上基本概念的图示的图示区域区域邻域邻域边界点边界点边界边界(1)圆环域圆环域:(2)上半平面上半平面:(3)角形域角形域:(4)带形域带形域:例例 判断下列区域是否有界。判断下列区域是否有界。答案答案：(1)有界有界；(2)(3)(4)无界。无界。第61页，本讲稿共94页三、曲线三、曲线若若x=x(t)和和y=y(t)是两个连续的实变函数，则方程组是两个连续的实变函数，则方程组代表一条平面曲线，称为连续曲线。代表一条平面曲线，称为连续曲线。若令若令 z(t)=x(t)+iy(t)，
26、则该曲线就可用一个方程，则该曲线就可用一个方程z=z(t)(atb)来表示，这是平面曲线的复数表示式。来表示，这是平面曲线的复数表示式。例如例如，以坐标原点为中心，以，以坐标原点为中心，以R为半径的圆周，其参数方程为为半径的圆周，其参数方程为 写成复数形式为写成复数形式为z=R(cost+isint)(0t2)第62页，本讲稿共94页对曲线对曲线z(t)=x(t)+iy(t)，若在区间，若在区间a,b上上x(t)和和y(t)都是连续的，且对都是连续的，且对xa,b有有则称该曲线为光滑的，由几段依次相连的光滑曲线所组成则称该曲线为光滑的，由几段依次相连的光滑曲线所组成的曲线称为的曲线称为分段光滑
27、曲线分段光滑曲线。如下图。如下图。第63页，本讲稿共94页设设C：z=z(t)(atb)为一条连续曲线，为一条连续曲线，z(a)与与z(b)分别称为曲分别称为曲线线C的起点与终点。的起点与终点。若对于满足若对于满足at1b,at2b的的t1与与t2，当，当t1t2时有时有z(t1)=z(t2)，则，则称称z(t1)为曲线为曲线C的重点。的重点。没有重点没有重点的连续曲线的连续曲线C称为简单曲线或若尔当曲线。称为简单曲线或若尔当曲线。若简单曲线若简单曲线C的的起点与终点重合起点与终点重合，即，即z(a)=z(b)，则称曲线，则称曲线C为为简单闭曲线。换句话说，简单闭曲线。换句话说，简单曲线自身不
28、会相交简单曲线自身不会相交。第64页，本讲稿共94页(a)不简单、不闭不简单、不闭(b)不简单、闭不简单、闭(c)简单、不闭简单、不闭(d)简单、闭简单、闭第65页，本讲稿共94页判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭第66页，本讲稿共94页定理三定理三(若尔当曲线定理若尔当曲线定理)任意一条简单闭曲线必将复平面唯一地分成任意一条简单闭曲线必将复平面唯一地分成 三个点集，使三个点集，使它们满足：它们满足：(1)彼此不相交；彼此不相交；(2)D1是有界区域（称为曲线是有界区域（称为曲线 的的内部内部）；）；(
29、3)D2是无界区域（称为曲线是无界区域（称为曲线 的的外部外部）；）；(4)C既是既是D1的边界又是的边界又是D2的边界。的边界。第67页，本讲稿共94页复平面上的一个区域复平面上的一个区域D，若对，若对D中任意一条简单闭曲线，中任意一条简单闭曲线，曲线的内部总属于曲线的内部总属于D，则称，则称D 为为单连通区域单连通区域，不是单连通区，不是单连通区域的区域称为域的区域称为多多(复复)连通区域连通区域。单连通区域单连通区域多连通区域多连通区域第68页，本讲稿共94页在几何直观上，在几何直观上，单连通单连通区域是一个区域是一个没有没有“空洞空洞(点洞点洞)和和缝隙缝隙”的区域的区域，而，而多连通
30、区域多连通区域是是有有“洞或缝隙洞或缝隙”的区域的区域，它，它可以是由曲线可以是由曲线C 所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或所围成的区域中挖掉几个洞，除去几个点或一条线段而形成的区域。一条线段而形成的区域。第69页，本讲稿共94页例例设设E表示上半平面表示上半平面由定义得知，由定义得知，D表示环表示环D是复连通区域是复连通区域E是单连通区域是单连通区域第70页，本讲稿共94页 1.1.复变函数的概念复变函数的概念定义定义 设设G为给定的平面点集，若对于为给定的平面点集，若对于G中每一个复中每一个复数数z=x+iy，按着某一确定的法则，按着某一确定的法则f，总有确定的一个或几个，总有确定的一
31、个或几个复数复数w=u+iv与之对应，则称与之对应，则称f是定义在是定义在G上的复变函数，简上的复变函数，简称复变函数，记作称复变函数，记作w=f(z)。其中其中 z称为自变量，称为自变量，w称为因变量，点集称为因变量，点集G称为函数的称为函数的定义域。与定义域。与G中中z对应的对应的w的全体构成集合的全体构成集合G*称为函数称为函数w=f(z)的的值域。值域。第五节第五节 复变函数复变函数注意注意：今后无特别表明，：今后无特别表明，所讨论的函数均为单值函数所讨论的函数均为单值函数。与实变函数定义相类似与实变函数定义相类似第71页，本讲稿共94页例例1 1 将定义在全平面上的复变函数将定义在全
32、平面上的复变函数比较实部与虚部得比较实部与虚部得解：解：设设，代入得化为一对二元实变函数。化为一对二元实变函数。第72页，本讲稿共94页例例2 2 将一对二元实变函数将一对二元实变函数代入上式，经整理后，得代入上式，经整理后，得化为一个复变函数。化为一个复变函数。将将，以及以及解：解：设设，则第73页，本讲稿共94页oxy(z)Gouv(w)GG*w=f(z)在几何上，在几何上，w=f(z)可以看作：可以看作：定义域定义域值域值域 2.2.映射的概念映射的概念复变函数的几何意义复变函数的几何意义zw=f(z)w第74页，本讲稿共94页若复数若复数z和和w分别用分别用Z平面和平面和W平面上的点表
33、示，则函平面上的点表示，则函数数w=f(z)在几何上，可看成是将在几何上，可看成是将Z平面上的定义域平面上的定义域D变到变到W平平面上的函数值域面上的函数值域G的一个变换或映射，它将的一个变换或映射，它将D内的一点内的一点z变变为为G内的一点内的一点w=f(z)。第75页，本讲稿共94页旋转变换旋转变换(映射映射)例例3解：解：x、uy、v(z)、(w)o即即第76页，本讲稿共94页 3.3.反函数反函数定义定义 设设 w=f(z)的定义集合为的定义集合为D，函数值集合为，函数值集合为G则称则称z=(w)为为w=f(z)的反函数（的反函数（逆映射逆映射）.第77页，本讲稿共94页当函数当函数w
34、=f(z)和反函数和反函数都是单值的，都是单值的，则称函数则称函数w=f(z)是一一对应，也称集合是一一对应，也称集合D与集合与集合G是是一一对应。一一对应。第78页，本讲稿共94页一、复变函数的极限一、复变函数的极限定义定义uv(w)oAxy(z)o几何意义几何意义:当变点当变点z一旦进入一旦进入z0 的充分小去心邻域时的充分小去心邻域时,它的象点它的象点f(z)就落入就落入A的一个预先给定的的一个预先给定的邻域中邻域中第六节第六节 复变函数极限与连续复变函数极限与连续第79页，本讲稿共94页A (1)(1)意义中意义中 的方式是任意的。的方式是任意的。与一元实变函数相比较要求更高。与一元实
35、变函数相比较要求更高。(2)(2)A是复数。是复数。(3)(3)若若f(z)在在z0处有极限处有极限,其极限是唯一的。其极限是唯一的。第80页，本讲稿共94页定理定理4 4 设设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，A=u0+iv0，z0=x0+iy0，则，则 的充分必要条件是的充分必要条件是 由定理可知，设由定理可知，设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的极限可转化的极限可转化为求该函数的实部与虚部的极限，即两个二元实函为求该函数的实部与虚部的极限，即两个二元实函数数u=u(x,y)，v=v(x,y)的极限。的极限。第81页，本讲稿共94页(3(3)(2(2)(1(1)复变函数的极限四
36、则运算法则：复变函数的极限四则运算法则：定理定理5 5 设设，则有，则有第82页，本讲稿共94页例例1 1 试求下列函数的极限试求下列函数的极限。得且且解解：(1)(1)方法方法1 1 设设，则(1)(2)方法方法2 2 第83页，本讲稿共94页(2)(2)设设，则，则，得，得第84页，本讲稿共94页 考虑二元实函数考虑二元实函数u(x,y)当当(x,y)沿着沿着y=kx(k为任意实为任意实数数)趋向于趋向于0，即即 显然，极限值随显然，极限值随k值的不同而不同，所以根据二元实变函值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，数极限的定义知，u(x,y)在在(x,y)趋向于趋向于0 0时的
37、极限不存在，即时的极限不存在，即得结论。得结论。而而证明：证明：设设 ，则，则例例2 2 证明函数证明函数在在时极限不存在。时极限不存在。第85页，本讲稿共94页二二.复变函数的连续复变函数的连续定义定义定理定理6第86页，本讲稿共94页 定理定理7 7 连续函数的和、差、积、商连续函数的和、差、积、商(分母不为分母不为0)0)仍为连续函数仍为连续函数;连续函数的复合函数仍为连续函数。连续函数的复合函数仍为连续函数。定理定理8 8 (1)关于关于z的多项式函数的多项式函数w=P(z)=a0+a1z+a2z2+anzn在复平面内所有的点处连续。在复平面内所有的点处连续。(2)关于关于z的有理分式
38、函数的有理分式函数在复平面内除在复平面内除分母为零的点分母为零的点外都连续。外都连续。第87页，本讲稿共94页例例3 3 函数函数在在z=0处是否连续？处是否连续？解：解：由由，得，得而而f(0)=i，所以，所以故函数故函数f(z)在在z=0处不连续处不连续。第88页，本讲稿共94页故故例例4 4 求求解：因为在点处连续，处连续，第89页，本讲稿共94页 有界性有界性当当f(z)在有界闭区域在有界闭区域 上连续时上连续时f(z)在在 上有界，即存在一正数上有界，即存在一正数 ，使对于，使对于 上所有点，都上所有点，都有有 。最值性质最值性质当当f(z)在有界闭区域在有界闭区域 上连续时，上连续
39、时，则则 也在也在 上连续，且可上连续，且可以取得最大值和最小值。以取得最大值和最小值。定理定理9 9 若函数若函数h=g(z)在点在点z0处连续，函数处连续，函数w=f(h)在在h0=g(z0)连续，则复合函数连续，则复合函数w=fg(z)在在z0处连续。处连续。第90页，本讲稿共94页习题一：习题一：7.7.证明证明z1,z2,z3在一条直线上的条件是在一条直线上的条件是为实数。为实数。证明：证明：由复数除法定理可知由复数除法定理可知为实数，则为实数，则的幅角为的幅角为由于由于从而得从而得即即所以所以z1,z2,z3在一条直线在一条直线上上第91页，本讲稿共94页11、若复数、若复数z1,
40、z2,z3满满足足证明：证明：证明：证明：由等式由等式即即又因为又因为又可得又可得所以得是等边三角形，从而得得得，并说明这些等式的几何意义。，并说明这些等式的几何意义。第92页，本讲稿共94页19.19.证明证明当当 时极限不存在。时极限不存在。解：设解：设,则则,则有则有 从而得从而得考虑二元实函数考虑二元实函数v(x,y)当当(x,y)沿着沿着 显然，极限值随显然，极限值随k值的不同而不同，所以根据二元实变函数极值的不同而不同，所以根据二元实变函数极限的定义知，限的定义知，v(x,y)在在(x,y)趋于趋于0时的极限不存在。时的极限不存在。(k为任意实数为任意实数)趋于趋于0，即，即 第93页，本讲稿共94页问题二：是否正确？答案：不正确。答案：不正确。而而因为因为(2)而而因为因为(1)第94页，本讲稿共94页