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1、现在学习的是第1页，共82页电磁磁场理理论是研究静止和运是研究静止和运动电荷效荷效应的学科的学科特点：特点：不是从已知的公理或不是从已知的公理或严格的数学定理出格的数学定理出发，而是在，而是在由由长期期实践中得到的践中得到的实验定律的基定律的基础上，上，经过理理论概概括而形成的一括而形成的一门科学。科学。电磁磁场理理论的核心内容是麦克斯的核心内容是麦克斯韦方程方程组（Maxwell EquationsMaxwell Equations）概概 述述现在学习的是第2页，共82页一、一、课程目的程目的 掌握宏掌握宏观电磁磁现象的基本定律和基本性象的基本定律和基本性质 深入了解深入了解电磁磁场与与电磁
2、波的相关概念磁波的相关概念 学会运用学会运用场的的观点分析点分析计算典型的算典型的电磁磁场问题 为专业课程的学程的学习打下打下坚实基基础现在学习的是第3页，共82页微波技微波技术天天线技技术电波波传播播雷达工程雷达工程电磁兼容磁兼容光光纤通信通信与与电磁磁场理理论有关的学科有关的学科现在学习的是第4页，共82页空警空警2000预警机警机现在学习的是第5页，共82页微波技微波技术天天线技技术电波波传播播雷达工程雷达工程电磁兼容磁兼容光光纤通信通信与与电磁磁场理理论有关的学科有关的学科现在学习的是第6页，共82页隐身身飞机机现在学习的是第7页，共82页微波技微波技术天天线技技术电波波传播播雷达工程
3、雷达工程电磁兼容磁兼容光光纤通信通信与与电磁磁场理理论有关的学科有关的学科现在学习的是第8页，共82页二、二、课程内容程内容 1、矢量分析与、矢量分析与场论2、静、静态场（静（静电场、恒定、恒定电流的流的电场、恒定、恒定电流流的磁的磁场、静、静态场问题的解法。）的解法。）3、电磁波（均匀平面波的磁波（均匀平面波的传播、反射与折射、播、反射与折射、电磁磁波的波的辐射、射、导行行电磁波。）磁波。）现在学习的是第9页，共82页三、几点要求三、几点要求 1 1、听（上、听（上、听（上、听（上课认课认真听）真听）真听）真听）2 2、记记（记记笔笔笔笔记记）3 3、读读（精（精（精（精读读教材）教材）教材
4、）教材）4 4、做（独立完成作、做（独立完成作、做（独立完成作、做（独立完成作业业）电磁磁场理理论内容广泛，概念多而且比内容广泛，概念多而且比较抽象，抽象，对数学基数学基础的要求的要求较高。高。现在学习的是第10页，共82页参考参考书：谢处谢处方等方等方等方等 电电磁磁磁磁场场与与与与电电磁波磁波磁波磁波 高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社高等教育出版社吴万春吴万春吴万春吴万春电电磁磁磁磁场场理理理理论论电电子工子工子工子工业业出版社出版社出版社出版社毕毕德德德德显显电电磁磁磁磁场场理理理理论论电电子工子工子工子工业业出版社出版社出版社出版社教材和参考教材和参考书 教材：教材：王增和等
5、王增和等王增和等王增和等电电磁磁磁磁场场与波与波与波与波机械工机械工机械工机械工业业出版社出版社出版社出版社现在学习的是第11页，共82页第一章第一章 矢量分析矢量分析 本章内容：本章内容：坐坐坐坐标标系的构成、坐系的构成、坐系的构成、坐系的构成、坐标变换标变换坐坐坐坐标标单单位位位位矢矢矢矢量量量量的的的的概概概概念念念念和和和和不不不不同同同同坐坐坐坐标标系系系系坐坐坐坐标标单单位位位位矢矢矢矢量量量量之之之之间间的关系的关系的关系的关系 矢量函数和矢量函数和矢量函数和矢量函数和场场的概念的概念的概念的概念梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度的定的定的定的定义义
6、与与与与计计算算算算矢量恒等式矢量恒等式矢量恒等式矢量恒等式亥姆霍亥姆霍亥姆霍亥姆霍兹兹定理的概念和意定理的概念和意定理的概念和意定理的概念和意义义现在学习的是第12页，共82页在物理学中所遇到的物理量，一般分在物理学中所遇到的物理量，一般分为两两类：1、标量量（数数量量）：只只有有大大小小，在在取取定定其其单位位后后可可以以用一个数来表示。用一个数来表示。2、矢量（向量）：不、矢量（向量）：不仅有大小之分，而且有方向有大小之分，而且有方向之之别。标量与矢量量与矢量现在学习的是第13页，共82页 如如如如果果果果在在在在空空空空间间中中中中一一一一个个个个区区区区域域域域内内内内的的的的每每每
7、每一一一一个个个个点点点点都都都都有有有有一一一一物物物物理理理理量量量量的的的的确确确确定定定定值值与与与与它它它它对对应应，则则在在在在这这个个个个区区区区域域域域中中中中就就就就构构构构成成成成该该物物物物理理理理量量量量的的的的场场。教教教教室室室室中中中中的温度的温度的温度的温度场场、空气密度、空气密度、空气密度、空气密度场场等等等等 根根根根据据据据构构构构成成成成场场的的的的物物物物理理理理量量量量不不不不同同同同，将将将将场场分分分分为为两两两两大大大大类类：标标量量量量场场和和和和矢矢矢矢量量量量场场。场场的的的的概概概概念念念念与与与与函函函函数数数数的的的的概概概概念念念
8、念是是是是一一一一致致致致的的的的，标标量量量量场场与与与与标标量量量量函函函函数数数数、矢量矢量矢量矢量场场与矢量函数在一般情况下是通用的。与矢量函数在一般情况下是通用的。与矢量函数在一般情况下是通用的。与矢量函数在一般情况下是通用的。场的概念的概念现在学习的是第14页，共82页1.1 常用坐常用坐标系系 电磁磁场理理论中用得最多的有三种坐中用得最多的有三种坐标系：系：直角坐直角坐标系、系、圆柱坐柱坐标系、球坐系、球坐标系系 现在学习的是第15页，共82页 两两个个曲曲面面相相交交形形成成一一条条交交线，三三个个曲曲面面相相交交可可以以得得到到一一个个交交点点。因因此此，空空间一一点点的的坐
9、坐标可可以以用用三三个个参参数数表表示示，每每个个参参数数确确定定一一个个坐坐标曲曲面面。如如果果在在空空间任任一一点点上上，三三个个相相交交的的坐坐标曲曲面面相相互互正正交交（即即各各曲曲面面在在交交点点上上的的法法线相相互互垂垂直直），则坐坐标曲曲面面的的三三条条交交线在在该点点也也相相互互正正交交（即即各各交交线在在该点点的的切切线相相互互垂垂直直）。这样构构成成的的坐坐标系系称称为正正交交曲曲线坐坐标系，系，这些曲些曲线称称为坐坐标曲曲线或称或称为坐坐标轴。正交曲正交曲线坐坐标系系现在学习的是第16页，共82页一、三种常用坐一、三种常用坐标系的构成系的构成坐坐标系的构成要素：系的构成要
10、素：1、坐、坐标变量（三个）量（三个）2、坐、坐标曲面（三个坐曲面（三个坐标变量各等于常数的曲面）量各等于常数的曲面）3、坐坐标曲曲线（两两两两坐坐标曲曲面面的的交交线，又又称称为坐坐标轴）4、坐坐标单位位矢矢量量：在在空空间任任一一点点沿沿三三条条坐坐标曲曲线的的切切线方方向向所所取取的的单位位矢矢量量（模模为1，方方向向为坐坐标变量量正正的的增增加加方方向向），而而且且三三个个坐坐标单位位矢量矢量满足右手螺旋法足右手螺旋法则。现在学习的是第17页，共82页（一）直角坐（一）直角坐标系系 现在学习的是第18页，共82页（二）（二）圆柱坐柱坐标系系 现在学习的是第19页，共82页（三）球坐（三
11、）球坐标系系 现在学习的是第20页，共82页二、不同坐二、不同坐标系坐系坐标变量之量之间的关系的关系（2 2）圆柱坐柱坐标直角坐直角坐标1 1、球坐、球坐标圆柱坐柱坐标直角坐直角坐标（1 1）球坐）球坐标圆柱坐柱坐标（3 3）球坐）球坐标直角坐直角坐标 2 2、直角坐、直角坐标圆柱坐柱坐标球坐球坐标（1 1）直角坐）直角坐标圆柱坐柱坐标（2 2）圆柱坐柱坐标球坐球坐标（3 3）直角坐）直角坐标球坐球坐标现在学习的是第21页，共82页三、不同坐三、不同坐标系坐系坐标单位矢量之位矢量之间的关系的关系 直角坐直角坐标系与系与圆柱坐柱坐标系坐系坐标单位矢量的关系位矢量的关系 直角坐直角坐标系与球坐系与
12、球坐标系坐系坐标单位矢量的关系位矢量的关系 圆柱坐柱坐标系与球坐系与球坐标系坐系坐标单位矢量的关系位矢量的关系 现在学习的是第22页，共82页1.2矢量函数矢量函数现在学习的是第23页，共82页1、如果、如果给定某矢量沿三个相互垂直的坐定某矢量沿三个相互垂直的坐标单位矢量方向位矢量方向的三个分量，的三个分量，则该矢量即被确定。矢量即被确定。直角坐直角坐标系中：系中：圆柱坐柱坐标系中：系中：球坐球坐标系中：系中：一、矢量表示法一、矢量表示法现在学习的是第24页，共82页在直角坐在直角坐标系中，由于矢量在各坐系中，由于矢量在各坐标轴的分量即的分量即为矢矢量在量在该坐坐标轴的投影，所以，如果已知矢量
13、的投影，所以，如果已知矢量的大小和的大小和与各坐与各坐标轴的的夹角角、，则矢量矢量被确定。被确定。一、矢量表示法一、矢量表示法（续续）现在学习的是第25页，共82页2、模等于、模等于1的矢量称的矢量称为单位矢量位矢量表示与表示与同方向的同方向的单位矢量位矢量一、矢量表示法一、矢量表示法（续续）现在学习的是第26页，共82页在直角坐在直角坐标系中，以坐系中，以坐标原点原点0为起点，引向空起点，引向空间任一任一点点M（x，y，z）的矢量。）的矢量。3、矢径、矢径单位矢径：位矢径：空空间任一点任一点对应于一个矢径，反之，每一个矢径于一个矢径，反之，每一个矢径对应着空着空间一点，所以矢径又称一点，所以
14、矢径又称为位置矢量位置矢量。点点M（x，y，z）可以表示）可以表示为一、矢量表示法一、矢量表示法（续续）现在学习的是第27页，共82页4、距离矢量、距离矢量空空间任一矢量任一矢量，起点起点为P（x,y,z），），终点点为 Q（x,y,z）。）。距离矢量距离矢量称称为从源点到从源点到场点的距离矢量。点的距离矢量。模模一、矢量表示法一、矢量表示法（续续）现在学习的是第28页，共82页5、空、空间任一任一长度元矢量（度元矢量（线元矢量）元矢量）在直角坐在直角坐标系中表示系中表示为：模模一、矢量表示法一、矢量表示法（续续）现在学习的是第29页，共82页二、矢量函数二、矢量函数（一）矢量函数的定（一）矢
15、量函数的定义：对于自于自变量的每一个数量的每一个数值都有都有变动矢量矢量的确定量（大小和方向都确定的一的确定量（大小和方向都确定的一个矢量）和它个矢量）和它对应，则变动矢量矢量称称为该自自变量的量的矢量函数。矢量函数。静静电场中，位于坐中，位于坐标原点的点原点的点电荷，在其周荷，在其周围空空间产生的生的电场：例如：例如：现在学习的是第30页，共82页（二）矢量函数的（二）矢量函数的导数数 矢量函数求矢量函数求导数的运算法数的运算法则，与，与标量函数求量函数求导相相类似。似。11、定、定义：对于矢量函数于矢量函数，常矢量的常矢量的导数数为0 0，变矢量的一矢量的一阶导数仍然数仍然为矢量。矢量。二
16、、矢量函数二、矢量函数（续续）现在学习的是第31页，共82页2、对于于标量函数量函数与矢量函数与矢量函数的乘的乘积二、矢量函数二、矢量函数（续续）现在学习的是第32页，共82页3、对于多于多变量函数量函数和和求偏求偏导数：数：4、对于矢量函数于矢量函数二、矢量函数二、矢量函数（续续）现在学习的是第33页，共82页5、在、在圆柱坐柱坐标系和球坐系和球坐标系中，由于一些坐系中，由于一些坐标单位矢量不是常矢位矢量不是常矢量，在求量，在求导数数时要特要特别注意，不能随意将坐注意，不能随意将坐标单位矢量提到微位矢量提到微分符号之外（坐分符号之外（坐标单位矢量是坐位矢量是坐标变量的函数）。量的函数）。6、
17、由于各种坐、由于各种坐标系中的坐系中的坐标单位矢量均不随位矢量均不随时间变化，矢量函数化，矢量函数对时间t求偏求偏导数数时，可以将它，可以将它们作作为常矢量提到偏微分符常矢量提到偏微分符号之外。号之外。例如，在球坐例如，在球坐标系中：系中：二、矢量函数二、矢量函数（续续）现在学习的是第34页，共82页（三）矢量函数的（三）矢量函数的积分分积分分和和微微分分互互为逆逆运运算算。一一般般标量量函函数数积分分的的运运算算法法则对矢矢量函数同量函数同样适用。适用。在在圆柱坐柱坐标系和球坐系和球坐标系中，系中，对矢量函数求矢量函数求积分分时，仍需注，仍需注意：有些坐意：有些坐标单位矢量不是常矢量，不能随
18、意将坐位矢量不是常矢量，不能随意将坐标单位矢量位矢量提到提到积分运算符号之外。在一般情况下，坐分运算符号之外。在一般情况下，坐标单位矢量可能是位矢量可能是积分分变量的函数。量的函数。二、矢量函数二、矢量函数（续续）现在学习的是第35页，共82页例例题设，求求积分：分：现在学习的是第36页，共82页1.3标量函数的梯度量函数的梯度gradient现在学习的是第37页，共82页对于一个于一个标量函数量函数，令：，令：（C为任意常数）任意常数）称称为该标量函数的等量函数的等值面方程。面方程。对于二于二维标量函数量函数，则称称为该标量函数的等量函数的等值线方程。方程。一、一、标量量场的等的等值面和等面
19、和等值线 现在学习的是第38页，共82页根据根据标量量场的定的定义，空，空间每一点上只每一点上只对应于一个于一个场函数的确定函数的确定值。因此，充。因此，充满整个整个标量量场所在空所在空间的的许许多多等多多等值面或等面或等值线互不相交。或者互不相交。或者说，场中中的一个点只能在一个等的一个点只能在一个等值面或等面或等值线上。上。一、一、标量量场的等的等值面和等面和等值线（续续）现在学习的是第39页，共82页二、方向二、方向导数数 1、定定义：函函数数在在给定定点点M0上上沿沿某某一一方方向向对距离的距离的变化率。化率。（函数在（函数在M0点沿点沿方向的方向方向的方向导数）数）现在学习的是第40
20、页，共82页2、计算公式算公式二、方向二、方向导数数（续续）现在学习的是第41页，共82页三、梯度三、梯度gradient（一）梯度的定（一）梯度的定义：给出三个表达式：出三个表达式：方向方向导数：数：方向方向单位矢量：位矢量：定定义：现在学习的是第42页，共82页在直角坐在直角坐标系中：系中：三、梯度三、梯度（续续）现在学习的是第43页，共82页引入引入Hamilton算子：算子：三、梯度三、梯度（续续）现在学习的是第44页，共82页（二）梯度的性（二）梯度的性质1、一个、一个标量函数的梯度量函数的梯度为一个矢量函数。一个矢量函数。2、函函数数u在在给定定点点沿沿方方向向的的方方向向导数数等
21、等于于u的的梯梯度度在在方向上的投影。方向上的投影。3、标量量场中任一点的梯度的方向中任一点的梯度的方向为过该点等点等值面的法面的法线方向。方向。4、梯度的、梯度的线积分与分与积分路径无关。分路径无关。三、梯度三、梯度（续续）现在学习的是第45页，共82页（三）梯度的基本运算公式（三）梯度的基本运算公式三、梯度三、梯度（续续）现在学习的是第46页，共82页例例1：求一个二：求一个二维标量量场的等的等值线方程和梯度。方程和梯度。例例2：求函数：求函数在点在点沿方向沿方向的方向的方向导数。数。例例题现在学习的是第47页，共82页1.4矢量函数的散度矢量函数的散度现在学习的是第48页，共82页一、矢
22、量一、矢量场的矢量的矢量线（力（力线）1、定、定义：矢量：矢量场中的一些曲中的一些曲线，曲，曲线上每一点的切上每一点的切线方向方向代表代表该点矢量点矢量场的方向，的方向，该点矢量点矢量场的的强度由附近矢量度由附近矢量线的的密度来确定。密度来确定。2、矢量、矢量线方程：方程：现在学习的是第49页，共82页二、矢量二、矢量场的通量的通量 1、定、定义：矢量：矢量在在场中某一曲面中某一曲面S上的面上的面积分，称分，称为该矢量矢量场通通过此曲面的通量。此曲面的通量。现在学习的是第50页，共82页2、通量的特性：、通量的特性：通量的正通量的正负与面与面积元法元法线矢量方向的矢量方向的选取有关。取有关。通
23、通量量可可以以定定性性地地认为是是穿穿过曲曲面面S的的矢矢量量线总数数（定定性性概概念念）。所所以以可可以以称称为通通量量面面密密度度矢矢量量，它它的的模模F等等于于在在某某点点与与垂垂直直的的单位位面面积上上穿穿过的的矢矢量量线的数目。的数目。通通过面面积元元的通量元的通量元一般一般规定：凹面指向凸面定：凹面指向凸面为的正方向。的正方向。二、矢量二、矢量场的通量的通量（续续）现在学习的是第51页，共82页对于于闭合曲面，一般合曲面，一般规定面定面积元的元的单位法位法线矢量矢量由面内指向面外。由面内指向面外。通量可以迭加通量可以迭加则通通过S面的矢量面的矢量场的通量的通量为：如果一如果一闭合曲
24、面合曲面S上任一点的矢量上任一点的矢量场为如果曲面如果曲面S为闭合曲面，合曲面，则通通过S的的总通量通量为：二、矢量二、矢量场的通量的通量（续续）现在学习的是第52页，共82页三、散度三、散度divergence1、定定义：设有有矢矢量量场，在在场中中任任一一点点M作作一一包包围该点点的的任任意意闭合合面面S，并并使使S所所限限定定的的体体积以以任任意意方方式式趋于于0。如如果果极极限限存存在在，则称称此此极极限限为矢矢量量场在在M点的散度。点的散度。现在学习的是第53页，共82页散度的定散度的定义与坐与坐标系的系的选取无关取无关在任一点在任一点M上：上：若若，则该点有点有发出通量出通量线的正
25、源；的正源；若若，则该点有吸收通量点有吸收通量线的的负源；源；若若，则该点无源。点无源。若在某一区域内的所有点上，矢量若在某一区域内的所有点上，矢量场的散度都等于的散度都等于0，则称称该区域内的矢量区域内的矢量场为无源无源场。三、散度三、散度divergence（续续）现在学习的是第54页，共82页2、散度在直角坐、散度在直角坐标系中的表示式系中的表示式对于一个矢量于一个矢量三、散度三、散度divergence（续续）现在学习的是第55页，共82页3、散度的基本公式、散度的基本公式三、散度三、散度divergence（续续）现在学习的是第56页，共82页四、高斯散度定理四、高斯散度定理 任何一
26、个矢量任何一个矢量穿出任意穿出任意闭合曲面合曲面S的通量，的通量，总可可以表示以表示为的散度在的散度在该面所面所围体体积的的积分。分。现在学习的是第57页，共82页1.位置矢量（矢径）位置矢量（矢径）是一个矢量是一个矢量场，计算穿算穿过一个球心在一个球心在坐坐标原点，半径原点，半径为a 的球面的的球面的的通量；的通量；计算算。2.已知已知，以每，以每边为单位位长度的立方体度的立方体为例例验证高斯散度定理。此立方体位于直角坐高斯散度定理。此立方体位于直角坐标系系的第一卦限内，其中一个的第一卦限内，其中一个顶点在坐点在坐标原点上。原点上。例例 题 现在学习的是第58页，共82页1.5矢量函数的旋度
27、矢量函数的旋度现在学习的是第59页，共82页环量的定量的定义：矢量：矢量，沿某一，沿某一闭合曲合曲线（闭合合路径）的路径）的线积分，称分，称为该矢量沿此矢量沿此闭合曲合曲线的的环量。量。一、矢量的一、矢量的环量量 现在学习的是第60页，共82页如果某一矢量如果某一矢量场的的环量不等于量不等于0，则场中必有中必有产生生这种种场的旋的旋涡源。源。如果在一个矢量如果在一个矢量场中沿任何中沿任何闭合路径的合路径的环量恒量恒等于等于0，则在在这个个场中不可能有旋中不可能有旋涡源，源，这种种类型的型的场称称为保守保守场或无旋或无旋场。一、矢量的一、矢量的环量量 现在学习的是第61页，共82页二、矢量的旋度
28、二、矢量的旋度 1 1、旋度的定、旋度的定义：矢量旋度的定矢量旋度的定义式：式：现在学习的是第62页，共82页2、旋度在直角坐、旋度在直角坐标系中的表示式系中的表示式对于于二、矢量的旋度二、矢量的旋度（续续）现在学习的是第63页，共82页3、旋度与散度的区、旋度与散度的区别矢量矢量场的旋度的旋度为矢量函数；矢量函数；矢量矢量场的散度的散度为标量函数。量函数。旋度描述的是旋度描述的是场分量沿着与它垂直方向上的分量沿着与它垂直方向上的变化化规律；律；散度描述的是散度描述的是场分量沿着各自方向上的分量沿着各自方向上的变化化规律。律。旋度表示旋度表示场中各点的中各点的场与旋与旋涡源的关系。如果在矢量源
29、的关系。如果在矢量场所所存在的全部空存在的全部空间内，内，场的旋度的旋度处处为0 0，则这种种场不可能有旋不可能有旋涡源，因而称它源，因而称它为无旋无旋场或保守或保守场；散度表示散度表示场中各点的中各点的场与通量源的关系。如果在矢量与通量源的关系。如果在矢量场所存在的全部所存在的全部空空间内，内，场的散度的散度处处为0 0，则这种种场不可能有通量源，因而称它不可能有通量源，因而称它为管管形形场（无（无头无尾）或无源无尾）或无源场。二、矢量的旋度二、矢量的旋度（续续）现在学习的是第64页，共82页4、旋度的基本运算公式、旋度的基本运算公式二、矢量的旋度二、矢量的旋度（续续）现在学习的是第65页，
30、共82页三、斯托克斯定理三、斯托克斯定理 矢量矢量的旋度的旋度在任意曲面在任意曲面S上的通量，等于上的通量，等于沿沿该曲面周界曲面周界的的环量量现在学习的是第66页，共82页几种重要的几种重要的场：保守保守场（无旋（无旋场，位，位场）定定义：，则称称为无旋无旋场。无源无源场（管形（管形场）定定义：，则称称为无源无源场。调和和场定定义：，则称称为调和和场。现在学习的是第67页，共82页1、矢量、矢量场，求，求沿沿闭合曲合曲线的的环量，并量，并验证斯托斯托克斯定理。克斯定理。的参量方程是：的参量方程是：，为一条星形一条星形线。2、求位置矢量、求位置矢量沿折沿折线的的环量。其中量。其中由由、组成。成
31、。例例 题 现在学习的是第68页，共82页1.6矢量恒等式矢量恒等式现在学习的是第69页，共82页一、哈密一、哈密顿一一阶微分算子及恒等式微分算子及恒等式 在直角坐在直角坐标系中，哈密系中，哈密顿算子的表示式算子的表示式为：矢性微分算子矢性微分算子 现在学习的是第70页，共82页1.2.现在学习的是第71页，共82页二、哈密二、哈密顿二二阶微分算子及恒等式微分算子及恒等式 1证明：明：标量函数梯度的旋度恒等于量函数梯度的旋度恒等于0 0；如如果果一一个个矢矢量量函函数数的的旋旋度度等等于于0 0，则这个个矢矢量量函数可以用一个函数可以用一个标量函数的梯度来表示。量函数的梯度来表示。如果如果，则
32、 结论：现在学习的是第72页，共82页2证明：明：矢量函数旋度的散度恒等于矢量函数旋度的散度恒等于0如如果果一一个个矢矢量量函函数数的的散散度度等等于于0，则这个个矢矢量量函函数数可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。可以用另外一个矢量函数的旋度来表示。如果如果，则 结论：现在学习的是第73页，共82页3证明：明：称称为拉普拉斯算子，当拉普拉斯算子，当作用在作用在标量函数上量函数上时，称称为标性拉普拉斯算子；当性拉普拉斯算子；当作用在矢量函数上作用在矢量函数上时，称称为矢性拉普拉斯算子。两者是本矢性拉普拉斯算子。两者是本质上不同的两种上不同的两种二二阶微分算子。微分算子。现在学习的是第74页，共
33、82页4为矢量矢量场的拉普拉辛运算的拉普拉辛运算现在学习的是第75页，共82页证明：明：上式右上式右边第一第一项展开是：展开是：现在学习的是第76页，共82页同理，第二同理，第二项和第三和第三项分分别为：现在学习的是第77页，共82页六个常用矢量恒等式六个常用矢量恒等式 现在学习的是第78页，共82页1.7亥姆霍亥姆霍兹定理定理Helmholtz现在学习的是第79页，共82页 定理：在空定理：在空间有限区域有限区域内的任一矢量内的任一矢量场，由它的散度、旋，由它的散度、旋度和度和边界条件唯一地确定。界条件唯一地确定。边界条件指限定体界条件指限定体积的的闭合面合面S上的矢量上的矢量场分布。分布。
34、对于无界区域，假定矢量于无界区域，假定矢量场的散度和旋度在无的散度和旋度在无穷远处均均为0。现在学习的是第80页，共82页矢量矢量场可以表示成两部分之和：可以表示成两部分之和：（无旋（无旋场+无源无源场）和和满足：足：现在学习的是第81页，共82页证明：如果明：如果仅仅已知一个矢量已知一个矢量场的旋度，不能的旋度，不能唯一地确定唯一地确定这个矢量个矢量场。例例3：例例题例例1：已知矢量函数：已知矢量函数（1）如果）如果是无旋的，确定常数是无旋的，确定常数c1、c2和和c3（2）确定其）确定其负梯度等于梯度等于的的标量函数量函数证明：如果明：如果仅仅已知一个矢量已知一个矢量场的散度，不能的散度，不能唯一地确定唯一地确定这个矢量个矢量场。例例2：现在学习的是第82页，共82页