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1、第 1 页全国 2002 年 10 月高等教育自学考试-线性代数试题课程代码：02198第一部分 选择题试卷说明：AT表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A|表示方阵 A 的行列式。一、单项选择题(本大题共 14 小题，每小题 2 分，共 28 分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。错选或未选均无分。1设矩阵 A=(1,2,3)，B=，则 AB 为（ ）201A.B.642000321601C.（1,0,6）D.72n 阶行列式的值为（ ）0000000000000000121 nnaaaaA.a1
2、a2anB.-a1a2anC.(-1)n-1a1a2anD.(-1)na1a2an3设行列式，则 k 的取值为（ ）01110212kkA.2B.-2 或 3C.0D.-3 或 24设-2 是 3 阶方阵 A 的一个特征值，则 A2必有一个特征值为（ ）A.-8B.-4C.4D.85设 A、B 均为 n 阶矩阵，且 A 可逆，则下列结论正确的是（ ）A.若 AB0，则 B 可逆B.若 AB=0，则 B=0C.若 AB0，则 B 不可逆D.若 AB=BA，则 B=E6向量组（）：1,2, r和向量组（）：1，2，s等价的定义是向量组（ ） A.（）和（）可互相线性表示B.（）和（）中有一组可由另
3、一组线性表示C.（）和（）中所含向量的个数相等D.（）和（）的秩相等7下列矩阵中，不是二次型矩阵的为（ ）第 2 页A.B.100000000200010001C.D. 5626402039876543218设 3 阶方阵 A 的元素全为 1，则秩(A)为（ ）A.0B.1C.2D.39设 A 为 3 阶方阵，且行列式|A|=1，则|-2A|之值为（ ）A.-8B.-2C.2D.810同阶方阵 A、B 相似的充分必要条件是（ ）A.存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=BB.存在可逆矩阵 P，使 PTAP=BC.存在两个可逆矩阵 P 和 Q，使 PAQ=BD.A 可以经过有限次初等变换变成 B11
4、若线性方程组无解，则等于（ ）212321321xxxxxxA.2B.1C.0D.-112设1、2和1、2是方程组 Ax=0 的两个不同的基础解系，则下列结论中正确的是（ ） A.向量组1,2,1的秩小于向量组1,2的秩 B.向量组1,2,1的秩等于向量组1,2的秩 C.向量组1,2,1的秩大于向量组1,2的秩 D.向量组1,2,1,2的秩大于向量组1,2的秩 13设 A 为 n(n2)阶方阵，且 A 的行列式|A|=a0，则|A*|等于（ ）A.a-1B.aC.an-1D.an14设向量1=（1,a,a2） ，2=(1,b,b2),3=(1,c,c2)，则向量组1,2,3线性无关的充分必要条
5、件是（ ） A.a,b,c 全不为 0B.a,b,c 不全为 0C.a,b,c 不全相等D.a,b,c 互不相等第二部分 非选择题第 3 页二、填空题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分)不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15设矩阵 A=，则 ATA= .30022011116设 A、B 均为 3 阶方阵，且|A|=3，|B|=-2，则|ABT|= .17已知向量=(3,2,4,5),=(-1,5,1,-2),且+=，则向量= . 18设1,2是 n(n3)元齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则秩(A)= . 19设向量1=（1,2,-1）,2
6、=(3,2,1),则内积(1,2)= . 20设矩阵 A=，则二次型 xTAx= .52022101121设 3 阶方阵 A 的秩为 2，矩阵P=，Q=100001010101010001若矩阵 B=PAQ，则秩(B)= .22已知是方阵 A 的一个特征值，则|A|= .023设 A=，则 An= .cba00000024设二次型 f(x1,x2,x3)=xTAx 经正交变换化为标准形，则 A 的最小的特征值是 .22215yy三、计算题(本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分)25计算行列式的值.422223222222222126已知矩阵 A=，秩(A)=2，求 k 的值.357
7、1111231kk27试求矩阵方程X=中的未知矩阵 X.11110323131524128求向量组1=(2,-1,0,3),2=(1,2,5,-1),3=(7,-1,5,8)的秩，并说明这个向量组是线性相关还是线性无关. 29当 a 为值何时，方程组 有解？在有解时，求出它的通解（用导出组的基础解系表axxxxxxxxxxxx43214321432132322221第 4 页出）.30已知向量1=(1,1,1)T,2=(1,-2,1)T正交，求一个 3 维列向量3，使得3与1、2都正交. 31试用正交换将二次型 f(x1,x2)=化为标准形，并写出标准形及所用的正交变换.21222142xxxx四、证明题(本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10 分) 32设向量组1,2,3线性无关，且 1=1-2-3， 2=1+2-3， 3=1-2+3， 试证明向量组1,2,3线性无关. 33设 A 为 n 阶矩阵，、是 A 的两个不同的特征值，x1、x2依次是属于、的特征向量，试证明 x1+x21212不是 A 的特征向量.