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1、-第 1 页小学数学人教版五小学数学人教版五年下册奇数与偶数年下册奇数与偶数问题练习大全问题练习大全-第 2 页奇数和偶数奇数和偶数一、奇数和偶数的性质（一）两个整数和的奇偶性。奇数奇数（），奇数偶数（），偶数偶数（）一般的，奇数个奇数的和是()，偶数个奇数的和是()，任意个偶数的和为()。（二）两个整数差的奇偶性。奇数奇数（），奇数偶数（），偶数偶数（），偶数奇数（）。（三）两个整数积的奇偶性。奇数*奇数（），奇数*偶数（），偶数*偶数（）一般的，在整数连乘当中，只要有一个因数是偶数，那么其积必为（）；如果所有因数都是奇数，那么其积必为（）。（四）两个整数商的奇偶性。在能整除的情况下，偶数除
2、以奇数得（），偶数除以偶数可能得()，也可能得()，奇数不能被偶数整除。(五)如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个整数或者都是(),或者都是().(六)两个整数之和与两个整数之差有相同的奇偶性，即 A+B、A-B 奇偶性相同(A、B 为整数)。(七)相邻两个整数之和为()，相邻两个整数之积为()。(八)奇数的平方被除余 1，偶数的平方是 4 的倍数。(九)如果一个整数有奇数个约数，那么这个数一定是完全平方数(1,4，9,16,25是完全平方数)。如果一个数有偶数个约数，那么这个数一定不是完全平方数。奇数与偶数练习题奇数与偶数练习题一填空题一填空题1.1+2+3+4+5+49+50 的结果（）
3、。（填偶数或奇数）2.有一列数 1,1,2,4,7,13,24,44,81，从第 4 个数开始，每个数都是它前边三个数之和，那么第 100 个数是（）。（填偶数或奇数）-第 3 页3 某自然数分别与两个相邻自然数相乘，所得积相差 100，某数是().4.三个相邻偶数的积是四位数*8，这三个相邻偶数是（）。5.每张方桌上放有 12 个盘子，每张圆桌上放有 13 个盘子。若共有盘子 109个，则圆桌有（）张,方桌有（）张。6.7 个学生进行象棋比赛，下到某一阶段时，统计员统计各人下的盘数如下人ABCDEFG盘数6564325小明看过后，说统计员肯定统计错了，你的看法是（）.1）在由自然数组成的自然
4、数列的前 100 个数中，即从 1 到 100 中，共有（）个奇数，共有（）个偶数。2）算式 11+12+13+14+89+90 的得数的奇偶性为（）。3）一群同学进行投篮球比赛，投进一球得 5 分，投不进得 1 分，每人都投进 10次，这些同学得分总和的奇偶性为（）4）有一列数，它们的排列顺序是：前两个数为 4、5，从第三个数起，每个数都是它前面两个数的和。这列数前 1000 个数（含第 1000）中偶数有（）个。5）每张方桌上放有 12 个盘子，每张圆桌上放有 13 个盘子。若共有盘子 109 个，则圆有（）张，方桌有（）张。6）1+23+45+67+100101 的和的奇偶性为（）。二选
5、择题二选择题1）从 3 开始，根据后一数是前一数加上 3，接连写出 2000 个数，排成一行：3,6,9，12,15,18,21，在列数中第 1997 个、第 1998 个数的奇偶性为()。A 奇数、偶数 B 奇数、奇数 C 偶数、偶数 D 偶数、奇数2)已知三个数 a,b,c 的和是奇数，并且 a-b=3，那么 a,b,c 的奇偶性适合()A 三个都是奇数要B 两个奇数一个偶数C 一个奇数两个偶数D 三个都是偶数3)某数学竞赛，共 20 道题，评分标准是每道题答对给 3 分，不答给 1 分，答错扣 1 分。则参加竞赛学生总得分的奇偶性为()。A 奇数B 偶数C 不能确定，与参赛学生数的奇偶性
6、有关。-第 4 页D 不能确定，与参赛学生答对题数的奇偶性有关。4)若 53a9b 是奇数，则整数 a,b 的奇偶性适合()。Aa 奇 b 偶B a 奇 b 奇Ca 偶 b 偶D a 偶 b 奇5)若 a+b+c=奇数，abc=偶数，则 a,b,c 的奇偶性适合()。A 三个都是奇数 B 两个奇数一个偶数C 一个奇数两个偶数 D 三个都是偶数。6)若 a,b,c 是任意给定的三个整数，那么乘积(a+b)(b+c)(c+a)的奇偶性为()A 奇数B 偶数C 不能确定，取决于 a,b,c 的奇偶性。D 不能确定，取决于 a,b,c 的具体数值。7)已知 a,b,c 中有一个是 1997，一个是 1
7、998，一个是 1999，试判断(a-1)(b-2)(c-3)的奇偶性()A 奇数B 偶数C 不能确定，取决于 a,b,c 的奇偶性。D 不能确定，取决于 a,b,c 的具体数值。.如果用 n 表示一个自然数，那么 n(n+1)是（）。（）奇数（）偶数（）奇数或偶数（）由定奇偶.有个连续奇数，第个与第个的和为，那么这个数中最小的与最大的各是（）（）与（）与（）与（）与9.已知三个整数 a、b、c 的和是奇数，并且 a-b=3，那么 a、b、c 的奇偶性为（）。（A）三个都是奇数（B）两个奇数一个偶数（C）一个奇数两个偶数（D）三个都是偶数10.有四个不相同的正整数，它们中任意两个的和是 2 的
8、倍数，任意三个数的积是 3 的倍数，为了使这四个数的和尽可能的小，这四个数分别是（）（A）1,3,5,9（B）3,9,15,21-第 5 页（C）1,3,7,9（D）3,6,9,12三、简答题三、简答题11.计算前 100 个正整数中所有奇数的和与所有偶数的和。12.从 3,15,9,7,21,1,5,11,7 中挑出 7 个数，使它们的和为 50.能不能做到？说说你是怎么想的。13.用 1,2,3,4,5 这五个数两两相乘，可以得到 10 个不同的乘积。问乘积中是偶数多还是奇数多？14.在黑板上写 3 个整数，然后擦去一个换成其他两数之和或者差，这样继续操作下去，最后得到 64,78,142
9、.问：原来写的三个整数能否为 1,3,5？15如图是一所房间的示意图，数字表示房间号码，第一个房间与隔壁房间有门相通。小灵通想从 1 号房间出发，不重复地走遍这九个房间，又回到 1 号房间，他能做到吗。试着利用奇数偶数知识来解答。12345678916有 12 张卡片，其中有 3 张上面写着 1，有 3 张上面写着 3，有 3 张上面写着 5，有 3 张下面写着 7。你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为 20，为什么？17能否将自然数 1,2，3,4，5,6，7,8，9 分别填入右图的方格中，使得每个横行中的三个数之和是偶数？18在自然数中计算：前 2 个奇数的和：1+3=前 3 个奇数的
10、和：1+3+5=前 4 个奇数的和：1+3+5+7=前 5 个奇数的和：1+3+5+7+9=观察下面的计算，寻找规律加以总结，并回答下列问题：(1)自然数中，按奇数的顺序，前 n 个奇数的和是多少？-第 6 页(2)第 n 个奇数是多少？并利用上面的规律计算：前 2004 个奇数的和是：1+3+5+7+。第 2004 个奇数是多少？前 2004 个偶数的和是多少？因数与倍数应用题1、学生参加跳绳比赛，进行分组。按每组 6 人或每组 8 人，都能恰好分成几组，参加跳绳比赛的至少有多少人？2、把 45 厘米、30 厘米的两根彩带剪成长度一样的短彩带且没有剩余，每根短彩带最长是多少厘米？3、一块瓷砖
11、长 12 厘米，宽 10 厘米，要铺成一个正方形地面，这个正方形地面的边长至少是多少厘米？面积是多少？4、某幼儿园大班有 35 人，中班有 40 人，小班有 45 人。按班分组三个班的每组人数一样多，问每组最多有多少个小朋友？5、甲乙两数的最大公因数是 10，最小公倍数是 60，如果甲数是 20，乙数是多少？6、甲乙两数的积是 200，甲乙两数的最小公倍数是 40，最大公因数是多少？7、用 51 多红花和 34 朵白花做成花束，如果每束里的红花朵数相同，白花朵数也相同，最多可以做成多少束？每束花里最少有多少朵？8、甲服装店每 8 天进一次货，乙服装店每 10 天进一次货，两个商店同一天进货后，
12、过多少天两个服装店再次同一天进货？9、五年级同学分组参加植树，每 6 人一组或 8 个一组都没有剩余，已知该班的人数在 30 人和 50 人之间，该班有学生多少人？10、公路的一侧有一排电线杆，相邻两根电线杆之间的距离都是 30 米，现在要把相邻两根电线杆之间的距离都改为 45 米，如果第一根电线杆不移动，那么下一根不必移动的电线杆是第几根？（提示：画图来考虑）11、长方形砖长 42 厘米，宽是 28 厘米，用这样的砖铺成一块正方形的地，至少需要多少块砖？12、用 48 朵红花和 36 朵白花做花束，如果每个花束里的红花与白花的朵数相等，每个花束里最多有几朵花？13、五一班有 40 人，五二班
13、有 32 人，两个班学生分组参加一项活动，要求各班每组的人数相同，并且不能有剩余的学生，每组最多有多少人？这时两个班共分成多少组？14、一个数除以 4 余 2，除以 5 余 3，这个最少是多少？-第 7 页15、王老师把 50 本数学本和 40 本语文本平均分给第一小组的同学，结果数学本剩下 2 本，语文本剩下 4 本，第一小组最多有几名同学？16、一个数除以 4 余 2，除以 5 余 2，除以 6 余 2，写出三个这样的数。17、有一行数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，从第三个数开始，每个数都是前两个数的和，在前 100 个数中，偶数有多少个？18、一个长方形的长和宽都是自
14、然数，面积是 36 平方米，这样的形状不同的长方形共有多少种？19、一种长方形的地砖，长 24 厘米，宽 16 厘米，用这种砖铺一个正方形，至少需多少块砖？20、有一个长 80 厘米，宽 60 厘米，高 115 厘米的长方体储冰容器，往里面装入大小相同的立方体冰块，这个容器最少能装多少数量冰块？21、已知某小学六年级学生超过 100 人，而不足 140 人。将他们按每组 12 人分组，多 3 人；按每组 8 人分，也多 3 人。这个学校六年级学生多少？22、有四个小朋友，他们的年龄一个比一个大一岁，四个人的年龄的乘积是 360。他们中年龄最大是多少岁？23、汽车站内每隔 3 分钟发一辆公交车，
15、4 分钟发一辆中巴车，1 小时共发了几辆汽车？其中有几辆中巴车？24、一块长方形铁皮，长 96 厘米，宽 80 厘米，要把它剪成同样大小的正方形且没有剩余，这种正方形的边长是多少？被剪成几块？25、既能整除 18，又能整除 30 的数，最大是多少？能被 18 和 30 同时整除的数，最小的是多少？一个数既是 6 的倍数，同时又是 8 和 9 的倍数，这个数最小是多少？26、甲、乙两数的积是 375，甲乙两数的最大公约数是 5，甲乙两数的最小公倍数是多少？甲乙两数的最大公约数是 8，最小公倍数是 48，甲数是 24，乙数是多少？27、一张长方形纸，长 18 厘米，宽 12 厘米，要把它分成大小相
16、同的正方形，不能有剩余，这个正方形的边长最大是多少厘米？一些大小相等的长方形纸片，每张长 18 厘米，宽 12 厘米,要把它们摆成一个正方形，正方形的边长至少是多少厘米？28、用 4、6 和 8 分别除一个自然数，都余 1，这个自然数小是多少？用一个自然数分别除 57 和 73，都余 1，这个自然数最大是多少？29、小明、小强和小兰轮流到特殊学校去帮助残疾儿童。小明每隔 4 天去一次，小强每隔 5 天去一次，小兰每隔 6 天去一次。他们在六一儿童节这一天一起到特殊学校表演节目，经过多少天他们又同时到学校帮助孩子们？这一天是几月几号？-第 8 页30、用 2520 个棱长是 1 厘米的小正方体堆
17、成一个长方体，它的高是 12 厘米，长和宽都大于高。它的长和宽各是多少厘米？31、用 3、5、7 分别除一个数，结果都余 2，这个数至少是多少？一个数，用 3 除少 1，用 5 除少 3，用 7 除少 5。这个自然数最小是多少？一个数，被 3 除余 2，被 4 除余 3，被 5 除余 4。这个数最小是多少？32、有一堆桔子，按每 4 个一堆分少 1 个，按每 5 个一堆分也少 1 个，按每 6个一堆分还是少 1 个。这堆桔子至少有多少个？33、有三根钢管，分别长 200 厘米、240 厘米、360 厘米。现要把这三根钢管截成尽可能长而且相等的小段，一共能截成多少段？34、两个小于 150 的数
18、的积是 2028，它们的最大公约数是 13，求这两个数。35、两个自然数的最大公约数是 7，最小公倍数是 210。这两个自然数的和是 77，求这两个自然数。36、现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？37、甲、乙、丙三人绕操场竞走，他们走一圈分别需要 1 分、1 分 15 秒和 1 分30 秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？38、用自然数 a 去除 498，450，414，得到相同的余数，a 最大是多少？39、育红小学五（1）班同学参加义务劳动。男生 25 人，女生 30 人，把他们分成劳动小组。如果每组中男生人数相同，女生
19、人数也相同，最多可以分成几组？每组有男生和女生各多少人？40、五（1）班买来 46 本书、32 枝笔，奖给各方面表现突出的同学。每个同学得到的奖品同样多，最后余下 1 本书和 2 枝笔。问最多有多少个同学得奖品？41、一个长方体木块，长 30cm,宽 21cm，高 18cm。把它切成大小相等的小正方体，不准有剩余，那么正方体小木块棱长最大是多少？能切成多少块？42、把 38 个苹果和 31 个梨子分给若干个小朋友，若要使每个小朋友分得梨的个数相同，苹果个数也相同。结果苹果多 2 个，梨少 1 个，分到苹果和梨的小朋友最多是几个？每人分几个苹果和几个梨？43、将一块长 120m，宽 80m 的长
20、方形土地划分成面积相等的正方形。正方形的面积最大是多少？44、小丽想用 105 块大小相同的正方形积木拼成一个长方形，有多少种不同的拼法？45、某小学五年级同学在操场做操，每行 16 人或 12 人，正好是整行。已知五年级同学在 140160 人之间。请问五年级一共有多少人？46、一个两位数减去 12 后，即是 8 的倍数，又是 9 的倍数。这个数最小是多少？47、同学们参加劳动。9 人一组则多 6 人，8 人一组则多 5 人，参加劳动的同学至少有多少人？-第 9 页48、有一车饮料，如果 3 箱一数，还剩 1 箱；如果 5 箱一数，也剩 1 箱；如果 7箱一数，也剩 1 箱。这车饮料至少有多
21、少箱？49、两个质数的最小公倍数是 77，这两个质数的和是多少？50、马路旁栽一行小树，从第一棵到最后一棵的距离是 80 米，原来每隔 2 米植一棵，现小树长大，改为每隔 5 米植一棵。如果两端不移动，中间有几棵树不用移动？七七 奇数与偶数奇数与偶数(A)(A)年级 班姓名 得分一、填空题一、填空题1.2，4，6，8，是连续的偶数，若五个连续的偶数的和是 320，这五个数中最小的一个是_.2.有两个质数,它们的和是小于100的奇数,并且是17的倍数.这两个质数是_.3.100 个自然数,它们的和是 10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么,这些数里至多有_个偶数.4.右图是一张靶
22、纸,靶纸上的 1、3、5、7、9 表示射中该靶区的分数.甲说:我打了六枪,每枪都中靶得分,共得了 27 分.乙说:我打了 3 枪,每枪都中靶得分,共得了 27 分.1 3 57 9已知甲、乙两人中有一人说的是真话，那么说假话的是_.5.一只电动老鼠从右上图的 A 点出发,沿格线奔跑,并且每到一个格点不是向左转就是向右转.当这只电动老鼠又回到 A 点时,甲说它共转了 81 次弯,乙说它共转了 82 次弯.如果甲、乙二人有一人说对了，那么谁正确？A6.一次数学考试共有20 道题,规定答对一题得 2 分,答错一题扣1 分,未答的题不计分.考试结束后,小明共得 23 分.他想知道自己做错了几道题,但只
23、记得未答的题的数目是个偶数.请你帮助小明计算一下,他答错了_道题.7.有一批文章共 15 篇,各篇文章的页数分别是 1 页、2 页、3 页14 页和15 页的稿纸，如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多有_篇.-第 10 页8.一本书中间的某一张被撕掉了,余下的各页码数之和是 1133,这本书有_页,撕掉的是第_页和第_页.9.有 8 只盒子,每只盒内放有同一种笔.8 只盒子所装笔的支数分别为 17 支、23 支、33 支、36 支、38 支、42 支、49 支、51 支.在这些笔中,圆珠笔的支数是钢笔的支数的 2 倍,钢笔支数是铅笔支数的3
24、1,只有一只盒里放的水彩笔.这盒水彩笔共有_支.10.某次数学竞赛准备了 35 支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生，原计划一等奖每人发给 6 支，二等奖每人发给 3 支，三等奖每人发给 2 支，后来改为一等将每人发 13 支，二等奖每人发 4 支，三等奖每人发 1 支.那么获二等奖的有_人.二、解答题二、解答题11如下图，从 0 点起每隔 3 米种一棵树.如果把 3 块“爱护树木”的小木牌分别挂在 3 棵树上，那么不管怎么挂，至少有两棵挂牌树之间的距离是偶数（以米为单位）.试说明理由.12.小地球仪上赤道大圆与过南北极的某大圆相交于 A、B 两点.有黑、白二蚁从A 点同时出发分别沿着这两个
25、大圆爬行.黑蚁爬赤道大圆一周要 10 秒钟,白蚁爬过南北极的大圆一周要8秒钟.问:在10分钟内黑、白二蚁在B点相遇几次？为什么？13如右图所示，一个圆周上有 9 个位置，依次编为 19 号.现在有一个小球在 1 号位置上,第一天顺时针前进 10 个位置,第二天逆时针前进 14 个位置.以后,第奇数天与第一天相同,顺时针前进 10 个位置,第偶数天与第二天相同,逆时针前进 14 个位置.问:至少经过多少天,小球又回到 1 号位置.14.在右图中的每个中填入一个自然数(可以相同),使得任意两个相邻的中的数字之差(大数减小数),恰好等于它们之间所标的数字.能否办到?为什么?答 案1.60这五个连续偶
26、数的第三个(即中间的那一个)偶数是 3205=64.所以，最小的偶数是 60.2.2,83因为两个质数的和是奇数,所以必有一个是 2.小于 100 的 17 的奇数倍有17,51 和 85 三个,17,51 与 2 的差都不是质数,所以另一个质数是 85-2=83.3.48由于 100 个自然数的和是 10000,即 100 个自然数中必须有偶数个奇数,又由于奇数比偶数多,因此偶数最多只有 48 个.3542103691215182124-第 11 页4.甲由于分数都是奇数,6 个奇数之和为偶数,不可能是奇数 27,所以说假话的是甲.5.甲因为老鼠遇到格点必须转弯,所以经过多少格点就转了多少次
27、弯.如右图所示,老鼠从黑点出发,到达任何一个黑点都是转奇数次弯,所以甲正确.6.3小明做错的题的数目一定是奇数个,若是做错 1 个,则应做对 12 个才会得122-1=23 分,这样小明共做 13 个题,未做的题的个数 7 不是偶数；若是做错 3个，则应做对 13 个才能得 132-3=23 分，这样未答的题是 4 个，恰为偶数个.此外小明不可能做错 5 个或 5 个以上的题.故他做错的题有 3 个.7.11根据奇数+偶数=奇数的性质,先编排偶数页的文章(2 页,4 页,，14 页)，这样共有 7 篇文章的第一页都是奇数页码.然后,编排奇数页的文章(1 页,3 页,，15 页)，根据奇数+奇数
28、=偶数的性质，这样编排，就又有 4 篇文章的第一页都是奇数页码.所以,每篇文章的第一页是奇数页码的文章最多是 7+4=11(篇).8.48,21,22设这本书的页码是从 1 到 n 的自然数,正确的和应该是1+2+n=n21(n+1)由题意可知，n21(n+1)1133由估算，当 n=48 时，n21(n+1)=214849=1176，1176-1133=43.根据书页的页码编排,被撕一张的页码应是奇、偶，其和是奇数，43=21+22.所以,这本书有 48 页,被撕的一张是第 21 页和第 22 页.9.49依题意知,若钢笔为 1 份,则圆珠笔为 2 份,铅笔为 3 份,也就是说,这三种笔的总
29、支数一定是 6 的倍数,即能同时被 2 和 3 整除.又因为 8 只盒子中有 3 只盒子装的笔的支数是偶数,5 只盒子装的笔的支数是奇数,根据偶数+奇数=奇数,可知装有铅笔、圆珠笔、钢笔的 7 只盒子一定有 3 只盒子里装有偶数支笔，4 支盒子里面装有奇数支笔，装有水彩笔的盒子一定装有奇数支笔.把 8 只盒子所装笔支数的数字分别加起来:1+7+2+3+3+3+3+6+3+8+4+2+4+9+5+1=64因为 64-(4+9)=51 正好能被 3 整除,所以装有水彩笔的盒子共装有 49 支.10.3-第 12 页首先根据“后来改为一等奖每人发 13 支”，可以确定获一等奖的人数不大于3.否则仅一
30、等奖就要发不小于 39 支铅笔,已超过 35 支,这是不可能的.其次分别考虑获一等奖有 2 人或者 1 人的情况:当获一等奖有 2 人时,那么按原计划发二、三等奖的铅笔数应该是35-62=23，按改变后发二、三等奖的铅笔数应该是 35-132=9.因为 23 是奇数,按原计划发三等奖每人 2 支铅笔,则发三等奖的铅笔总数必为偶数,所以发二等奖的铅笔总数只能是奇数,于是获二等奖的人数也必是奇数.又根据改变后“二等奖每人发 4 支”，可以确定获二等奖的人数仅 1 人（否则仅二等奖就要发超过9 支铅笔了），经检验，这是不可能的，这就是说，获一等奖不会是 2 人.当获一等奖有 1 人时,那么按原计划发
31、二、三等奖的铅笔数应是 35-6=29，按改变后发二、三等奖的铅笔数应是 35-13=22.因为 29 仍是奇数,类似前种情况的讨论,可以确定获二等奖的人数必定是奇数.又根据改变后“二等奖每人发 4支”，且总数不超过 22 支，我们能够推知二等奖人数不会超过 5，经检验，只有获二等奖是 3 人才符合题目要求.11.相距最远的两块木牌的距离,等于它们分别与中间一块木牌的距离之和.如果三块木牌间两两距离都是奇数,就会出现“奇+奇=奇”，这显然不成立，所以必有两块木牌的距离是偶数.12.相遇 0 次.(黑、白二蚁永不能在 B 点相遇)黑蚁爬半圆需要 5 秒钟，白蚁爬半圆需要 4 秒钟，黑、白二蚁同时
32、从 A 点出发，要在 B 点相遇，必须满足两个条件：黑、白二蚁爬行时间相同，在此时间内二蚁爬行奇数个半圆.但黑蚁爬行奇数个半圆要用奇数秒(5奇数),白蚁爬行奇数个半圆要用偶数秒(4奇数),奇数与偶数不能相等.所以黑、白二蚁永远不能在 B 点相遇.13.顺时针前进 10 个位置,相当于顺时针前进 1 个位置；逆时针前进 14 个位置，相当于顺时针前进 18-14=4（个）位置.所以原题相当于:顺时针每天 1 个位置,4 个位置交替前进,直到前进的位置个数是 9 的倍数为止.偶数天依次前进的位置个数:5,10,15,20,25,30,35,40，奇数天依次前进的位置个数：1，6，11，16，21，
33、26，31，36，41，第 15 天前进 36 个位置，36 天是 9 的倍数，所以第 15 天又回到 1 号位置。14.不能.如果能,设最上面中的数是奇数(见下图),由奇数奇数=偶数；偶数偶数=偶数；奇数偶数=奇数，沿顺时针方向推知，最上面中又应是偶数，矛盾.-第 13 页当最上面中是偶数时,同理可证.偶奇奇偶奇偶第第 3 3 讲奇偶分析讲奇偶分析我们知道，全体自然数按被 2 除的余数不同可以划分为奇数与偶数两大类。被 2 除余 1 的属于一类，被 2 整除的属于另一类。前一类中的数叫做奇数，后一类中的数叫做偶数。关于奇偶数有一些特殊性质，比如，奇数偶数，奇数个奇数之和是奇数等。灵活、巧妙、
34、有意识地利用这些性质，加上正确的分析推理，可以解决许多复杂而有趣的问题。用奇偶数性质解题的方法称为奇偶分析，善于运用奇偶分析，往往有意想不到的效果。例例 1 1 下表中有 15 个数，选出 5 个数，使它们的和等于 30，你能做到吗？为什么？分析与解：分析与解：如果一个一个去找、去试、去算，那就太费事了。因为无论你选择哪 5 个数，它们的和总不等于 30，而且你还不敢马上断言这是做不到的。最简单的方法是利用奇偶数的性质来解，因为奇数个奇数之和仍是奇数，表中15 个数全是奇数，所以要想从中找出 5 个使它们的和为偶数，是不可能的。例例 2 2 小华买了一本共有 96 张练习纸的练习本，并依次将它
35、的各面编号（即由第 1 面一直编到第 192 面）。小丽从该练习本中撕下其中 25 张纸，并将写在它们上面的 50 个编号相加。试问，小丽所加得的和数能否为 2000？解：解：不能。由于每一张上的两数之和都为奇数，而 25 个奇数之和为奇数，故不可能为2000。说明：“相邻两个自然数的和一定是奇数”，这条性质几乎是显然的，但在解题过程中，能有意识地运用它却不容易做到，这要靠同学们多练习、多总结。例例 3 3 有 98 个孩子，每人胸前有一个号码，号码从 1 到 98 各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。解：解：不能。-
36、第 14 页如果可以按要求排成，每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和，那么每一排中各号码数之和都是某一个孩子号码数的 2 倍，是个偶数。所以这 98 个号码数的总和是个偶数，但是这 98 个数的总和为1+2+98=9949，是个奇数，矛盾！所以不能按要求排成。例例 4 4 如右图，把图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。解：解：不可能。如果每条直线上的红圈数都是奇数，而五角星有五条边，奇数个奇数之和为奇数，那么五条线上的红圈共有奇数个（包括重复的）。从另一个角度看，由于每个圆圈是两条直线的交点，则每个圆圈都要计算两次，因此，
37、每个红圈也都算了两次，总个数应为偶数，得出矛盾。所以，不可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数。说明：上述两题都是从两个不同的角度去分析处理同一个量，而引出矛盾的。例例 5 5 有 20 个 1 升的容器，分别盛有 1，2，3，20 厘米3水。允许由容器 A 向容器 B 倒进与 B 容器内相同的水（在 A 中的水不少于 B 中水的条件下）。问：在若干次倒水以后能否使其中 11 个容器中各有 11 厘米 3 的水？解：解：不可能。在倒水以后，含奇数立方厘米水的容器数是不会增加的。事实上以（偶，偶）（偶，奇）（奇，奇）来表示两个分别盛有偶数及偶数，偶数及奇数，奇数及奇数立方厘米水的容器。于是在题中
38、条件限制下，在倒水后，（偶，偶）仍为（偶，偶）；而（偶，奇）会成为（偶，奇）或（奇，偶）；（奇，奇）却成为（偶，偶）。在任何情况下，盛奇数立方厘米水的容器没有多出来。因为开始时有 10 个容器里盛有奇数立方厘米的水，所以不会出现有 11 个盛有奇数立方厘米水的容器。例例 6 6 一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有 45 人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？分析与解：
39、分析与解：根据俱乐部的全体成员围坐一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人的条件，可知俱乐部中的老实人与骗子的人数相等，也就是说俱乐部的全体成员总和是偶数。而张三说共有 45 人是奇数，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，说了假话，所以李四也是骗子。-第 15 页说明：解答此题的关键在于根据题设条件导出老实人与骗子的人数相等，这里实质上利用了对应的思想。类似的问题是：围棋盘上有 1919 个交叉点，现在放满了黑子与白子，且黑子与白子相间地放，并使黑子（或白子）的上、下、左、右的交叉点上放着白子（或黑子）。问：能否把黑子全移到原来的白子的位置上，而白子也全移到原来黑子的位置上？提
40、示：仿例 6。答：不能。例例 7 7 某市五年级 99 名同学参加数学竞赛，竞赛题共 30 道，评分标准是基础分 15 分，答对一道加 5 分，不答记 1 分，答错一道倒扣 1 分。问：所有参赛同学得分总和是奇数还是偶数？解：解：对每个参赛同学来说，每题都答对共可得 165 分，是奇数。如答错一题，就要从 165 分中减去 6 分，不管错几道，6 的倍数都是偶数，165 减去偶数，差还是奇数。同样道理，如有一题不答，就要减去 4 分，并且不管有几道题不答，4 的倍数都是偶数，因此，从总分中减去的仍是偶数，所以每个同学的得分为奇数。而奇数个奇数之和仍为奇数，故 99 名同学得分总和一定是奇数。例
41、例 8 8 现有足够多的苹果、梨、桔子三种水果，最少要分成多少堆（每堆都有苹果、梨和桔子三种水果），才能保证找得到这样的两堆，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。分析与解：分析与解：当每堆都含有三种水果时，三种水果的奇偶情况如下表：可见，三种水果的奇偶情况共有 8 种可能，所以必须最少分成 9 堆，才能保证有两堆的三种水果的奇偶性完全相同，把这两堆合并后这三种水果的个数都是偶数。说明：这里把分堆后三种水果的奇偶情况一一列举出来，使问题一目了然。例例 9 9 有 30 枚 2 分硬币和 8 枚 5 分硬币，5 角以内共有 49 种不同的币值，哪几种币值不能由上面 38 枚硬币组成？解：解：当
42、币值为偶数时，可以用若干枚 2 分硬币组成；当币值为奇数时，除 1 分和 3 分这两种币值外，其余的都可以用 1 枚 5 分和若干枚 2 分硬币组成，所以 5 角以下的不同币值，只有 1 分和 3 分这两种币值不能由题目给出的硬币组成。说明：将全体整数分为奇数与偶数两类，分而治之，逐一讨论，是解决整数问题的常用方法。-第 16 页若偶数用 2k 表示，奇数用 2k+1 表示，则上述讨论可用数学式子更为直观地表示如下：当币值为偶数时，2k 说明可用若干枚 2 分硬币表示；当币值为奇数时，2k+1=2（k-2）+5，其中 k2。当 k=0，1 时，2k+1=1，3。1 分和 3 分硬币不能由 2
43、分和 5 分硬币组成，而其他币值均可由 2 分和 5 分硬币组成。例例 1010 设标有 A，B，C，D，E，F，G 的 7 盏灯顺次排成一行，每盏灯安装一个开关。现在 A，C，D，G 这 4 盏灯亮着，其余 3 盏灯没亮。小华从灯 A 开始顺次拉动开关，即从 A 到 G，再从 A 开始顺次拉动开关，他这样拉动了 999 次开关后，哪些灯亮着，哪些灯没亮？解解：一盏灯的开关被拉动奇数次后，将改变原来的状态，即亮的变成熄的，熄的变成亮的；而一盏灯的开关被拉动偶数次后，不改变原来的状态。由于999=7142+5，因此，灯 A，B，C，D，E 各被拉动 143 次开关，灯 F，G 各被拉动 142
44、次开关。所以，当小华拉动 999 次后 B，E，G 亮，而 A，C，D，F 熄。例例 1111 桌上放有 77 枚正面朝下的硬币，第 1 次翻动 77 枚，第 2 次翻动其中的 76 枚，第 3 次翻动其中的 75 枚第 77 次翻动其中的 1 枚。按这样的方法翻动硬币，能否使桌上所有的 77 枚硬币都正面朝上？说明你的理由。分析分析：对每一枚硬币来说，只要翻动奇数次，就可使原先朝下的一面朝上。这一事实，对我们解决这个问题起着关键性作用。解解：按规定的翻动，共翻动 1+2+77=7739 次，平均每枚硬币翻动了 39次，这是奇数。因此，对每一枚硬币来说，都可以使原先朝下的一面翻朝上。注意到77
45、39=77+（76+1）+（75+2）+（39+38），根据规定，可以设计如下的翻动方法：第 1 次翻动 77 枚，可以将每枚硬币都翻动一次；第 2 次与第 77 次共翻动77 枚，又可将每枚硬币都翻动一次；同理，第 3 次与第 76 次，第 4 次与第 75次第 39 次与第 40 次都可将每枚硬币各翻动一次。这样每枚硬币都翻动了39 次，都由正面朝下变为正面朝上。说明：（1）此题也可从简单情形入手（如 9 枚硬币的情形），按规定的翻法翻动硬币，从中获得启发。-第 17 页（2）对有关正、反，开、关等实际问题通常可化为用奇偶数关系讨论。例例 1212 在 88 的棋盘的左下角放有 9 枚棋子
46、，组成一个 33 的正方形（如左下图）。规定每枚棋子可以跳过它身边的另一枚棋子到一个空着的方格，即可以以它旁边的棋子为中心作对称运动，可以横跳、竖跳或沿着斜线跳（如右下图的 1 号棋子可以跳到 2，3，4 号位置）。问：这些棋子能否跳到棋盘的右上角（另一个 33 的正方形）？解：解：自左下角起，每一个方格可以用一组数（行标、列标）来表示，（自下而上）第 i 行、（自左而右）第 j 列的方格记为（i，j）。问题的关键是考虑 9 枚棋子（所在方格）的列标的和 S。一方面，每跳一次，S 增加 0 或偶数，因而 S 的奇偶性不变。另一方面，右上角 9 个方格的列标的和比左下角 9 个方格的列标之和大3（6+7+8）-3（1+2+3）=45，这是一个奇数。综合以上两方面可知 9 枚棋子不能跳至右上角的那个 33 的正方形里。奇偶分析作为一种分析问题、处理问题的方法，在数学中有广泛的应用，是处理存在性问题的有力工具，本讲所举例题大多属于这类问题。这种方法具有很强的技巧性，尤其是选择什么量进行奇偶分析往往是很困难的。选准了，只须依据奇偶数的性质，分析这个量的奇偶特征，问题便迎刃而解；选不好，事倍功半。同学们应认真领会本讲所举例题，以把握选择合适的量进行奇偶分析的技巧。