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1、第八章章末检测(时间：120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1直线l与平面不平行，则()Al与相交BlCl与相交或lD以上结论都不对【答案】C【解析】直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交因为直线l与平面不平行，所以l与相交或l.2(2020年银川月考)若圆台下底半径为4，上底半径为1，母线长为3，则其体积为()A15B21C25D63【答案】B【解析】圆台下底半径为R4，上底半径为r1，母线长为l3，则圆台的高为h3.所以圆台的体积V(r2R2Rr)h21.故选B3棱长为2的正方体的内切球的表面积为()A4BC8D32【答案
2、】A【解析】正方体的棱长为2，即其内切球的直径d2，半径r1，所以内切球的表面积S4r24.4(2019年青海模拟)如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2，底面积为6，E为侧棱PC的中点，则直线BE与平面PAC所成的角为()A30B45C60D90【答案】C【解析】如图，在正四棱锥P-ABCD中，根据底面积为6，可得BC.连接BD交AC于点O，连接PO，则PO为正四棱锥P-ABCD的高，根据体积公式可得PO1.因为PO底面ABCD，所以POBD，又BDAC，POACO，所以BD平面PAC连接EO，则BEO为直线BE与平面PAC所成的角在RtPOA中，因为PO1，OA，所以PA2，OEPA1.在R
3、tBOE中，因为BO，所以tanBEO，即BEO60.故直线BE与平面PAC所成角为60.5如图，若，A，C，B，D，且ABCD28，AB，CD在内的射影长分别为9和5，则AB，CD的长分别为()A16和12B15和13C17和11D18和10【答案】B【解析】如图，作AM，CN，垂足分别为M，N.设ABx，则CD28x，BM9，ND5.x281(28x)225，解得x15，则28x13.6在正方体ABCD-A1B1C1D1中，作截面EFGH(如图)交C1D1，A1B1，AB，CD分别于E，F，G，H，则四边形EFGH的形状为()A平行四边形B菱形C矩形D梯形【答案】A【解析】因为平面ABCD
4、平面A1B1C1D1，平面EFGH交平面ABCD于GH，交平面A1B1C1D1于EF，则有GHEF.同理EHFG.所以四边形EFGH为平行四边形7(2020年四川模拟)已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)若底面圆的弦AB所对的圆心角为，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为()A103B10CD23【答案】A【解析】由题意，圆柱被分成两部分中较小部分的底面积S2222sin.则较大部分的底面积S22S，体积VSh103.故选A8(2020年珠海模拟)如图所示，在矩形ABCD中，AB4，AD2，P为边AB的中点，现将DAP绕直线DP翻转至DAP处
5、，若M为线段AC的中点，则异面直线BM与PA所成角的正切值为()A4B2CD【答案】D【解析】取AD的中点N，连接PN，MN.M是AC的中点，MNCD，且MNCD四边形ABCD是矩形，P是AB的中点，PBCD，且PBCDMNPB，且MNPB四边形PBMN为平行四边形MBPN.APN(或其补角)是异面直线BM与PA所成的角在RtAPN中，tanAPN，异面直线BM与PA所成角的正切值为.故选D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分9如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任
6、一点，则下列结论中正确的是()APCBCBAC平面PBCC平面PAB平面PBCD平面PCB平面PBC【答案】AD【解析】由PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，点C是圆上异于A，B的任一点，在A中，BCAC，BCPA，PCPAP，BC平面PAC，PCBC，故A正确；在B中，PAAC，ACPCC，PCA，AC与PC不垂直，AC与平面PBC不垂直，故B错误；在C中，PAB是固定的平面，PBC是移动的平面，平面PAB和平面PBC不垂直，故C错误；在D中，BC平面PAC，BC平面PBC，平面PAC平面PBC，故D正确故选AD10已知两条直线l，m及三个平面，下列条件中能推出的是()Al，lBl，m，l
7、mC，Dl，m，lm【答案】ABC【解析】对于D，与有可能平行或相交，不能推出.易判断A，B，C都能推出.故选ABC11如图，平面与平面交于直线l，A，C是平面内不同的两点，B，D是平面内不同的两点，且A，B，C，D不在直线l上，M，N分别是线段AB，CD的中点，下列说法中正确的是()A若AB，CD是异面直线，则不存在异于AB，CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交B若AB与CD相交，且直线AC平行于l时，则直线BD与l也平行C若AB，CD是异面直线，则直线MN可能与l平行DM，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交【答案】BD【解析】对于A，若AB，CD是异面直线，则存在异于AB，
8、CD的直线同时与直线AC，MN，BD都相交，如该直线是过点M且与CD相交的直线，故A错误；对于B，因为AB与CD相交，则A，B，C，D四点共面于平面，且BD，AC，由ACl，可得AC，由线面平行的性质可得ACBD，进而可得BDl，故B正确；对于C，若 MNl，则有MNAC且MNBD，则A，B，C，D四点在同一平面上，与AB，CD是异面直线矛盾，故C错误；对于D，若M，N两点重合，则ACBD，故ACl，故此时直线AC与直线l不可能相交，故D正确故选BD12对于四面体A-BCD，以下命题中正确的命题是()A若ABACAD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等B若ABCD，ACBD，则点A在底面BC
9、D内的射影是BCD的内心C四面体A-BCD的四个面中最多有四个直角三角形D若四面体A-BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为【答案】ACD【解析】如图1，设点A在平面BCD内的射影是E，因为sinABE，sinACE，sinADE，ABACAD，所以sinABEsinACEsinADE，则AB，AC，AD与底面所成的角相等，故A正确；因为AE平面BCD，所以AECD，又ABCD，所以CD平面ABE，所以CDBE，同理可证BDCE，所以E是BCD的垂心，故B不正确；图1图2如图2，设正方体的棱长为1，则易求得AC，AD，又CD1，所以AC2CD2AD2，即ACD为直角三角形，易证ABC，
10、ABD，BCD都是直角三角形，所以直角三角形的个数是4，故C正确；图1中，设O为正四面体A-BCD的内切球的球心，正四面体的棱长为1，所以OE为内切球的半径，BFAF，BE，所以AE，由BO2OE2BE2，得2OE22，所以OE，所以内切球的表面积为4OE2，故D正确故选ACD三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13(2020年深圳模拟)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积为_【答案】3【解析】由题意知所得截面为圆，设截面圆的半径为r，则2212r2，所以r23，所以所得截面的面积为r23.14在矩形ABCD中，AB3，
11、AD4，PA平面ABCD，PA，那么二面角A-BD-P的大小为_【答案】30【解析】作AOBD交BD于点O.PA平面ABCD，PABDPAAOA，BD平面PAO，POBD，AOP即为所求二面角A-BD-P的大小AO，tanAOP，故二面角A-BD-P的大小为30.15一个圆锥的表面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为_【答案】【解析】设圆锥底面半径为r，母线长为l，则r2rl，即r2rl1.由圆心角公式，即l3r，解得r，l.所以高h.体积V2.16如图，在直角梯形ABCD中，BCDC，AEDC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是_(填
12、序号)不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN平面DEC；不论D折至何位置，都有MNAE；不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MNAB；在折起过程中，一定存在某个位置，使ECAD【答案】【解析】分别取CE，DE的中点Q，P，连接MP，PQ，NQ，则在折叠过程中，可证四边形MNQP是矩形，所以正确；因为MNPQ，ABCE，若MNAB，则PQCE，又PQ与CE相交，所以错误；当平面ADE平面ABCD时，有ECAD，正确故填.四、解答题(本大题共6小题，17题10分，其余小题为12分，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17如图，平面ABEF平面ABCD，四边形ABE
13、F与四边形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD，BEFA，G，H分别为FA，FD的中点(1)求证：四边形BCHG是平行四边形；(2)C，D，F，E四点是否共面？请说明理由(1)证明：由题设知，FGGA，FHHD，所以GHAD又BCAD，故GHBC所以四边形BCHG是平行四边形(2)解：C，D，F，E四点共面理由如下：由BEFA，G是FA的中点，知BEGF.所以EFBG.由(1)知BGCH，所以EFCH.故EC，FH共面又点D在直线FH上，所以C，D，F，E四点共面18(2020年南通模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD平面ABCD，过AD的平面分别与PB，P
14、C交于点E，F.(1)求证：平面PBC平面PCD；(2)求证：EF平面PAD证明：(1)由PD平面ABCD，得PDBC底面ABCD是矩形，BCCD又PDDCD，BC平面PCD而BC平面PBC，平面PBC平面PCD(2)ADBC，BC平面PBC，AD平面PBC，AD平面PBC过AD的平面分别与PB，PC交于点E，F，ADEF.而AD平面PAD，EF平面PAD，EF平面PAD19(2020年成都模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，AP平面PBC，底面ABCD为菱形，且ABC60，E，F分别为BC，CD的中点(1)求证：BC平面PAE；(2)点Q在棱PB上，且，求证：PD平面QAF.证明：(1)如图
15、，连接AC底面ABCD为菱形，且ABC60，ABC为正三角形E为BC的中点，BCAE.又AP平面PBC，BC平面PBC，BCAP.APAEA，BC平面PAE.(2)连接BD交AF于点M，连接QM.F为CD的中点，在底面ABCD中，易证AMBFMD，.在BPD中，PDQM.又QM平面QAF，PD平面QAF，PD平面QAF.20如图，在四棱锥P-ABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，AD1，BC3，CD4，PD2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值；(2)求证：PD平面PBC；(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值(1)解：因为ADBC，所以DAP或其补角就是异面直线AP与BC
16、所成的角因为AD平面PDC，所以ADPD在RtPDA中，AP，所以cos DAP.所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为.(2)证明：因为AD平面PDC，所以ADPD又因为ADBC，PDBC，又PDPB，BCPBB，所以PD平面PBC(3)解：过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角因为PD平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角由于ADBC，DFAB，故BFAD1.由已知得CFBCBF2.又ADDC，故BCDC在RtDCF中，DF2.在RtDPF中，sinDFP.所以直线AB与平面PBC所
17、成角的正弦值为.21如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角E-DB-C的正切值(1)证明：由题意可知DD1E为等腰直角三角形，D1ED45.同理，C1EC45.所以DEC90，即DEEC又BC平面D1DCC1，DE平面D1DCC1，所以BCDE.又ECBCC，所以DE平面EBC因为DE平面DEB，所以平面DEB平面EBC(2)解：如图所示，过E作EODC于点O，过O作OFDB于点F，连接EF.因为平面ABCD平面D1DCC1，且交线为DC，所以EO平面ABCD，所以EO
18、OF，EOBD由BDOF，BDOE，得BD平面EFO.所以BDEF.所以EFO(或其补角)为二面角E-DB-C的平面角在RtEFO中，易求得OF，又OE1，所以tanEFO.所以二面角E-DB-C的正切值为.22(2019年太原模拟)如图，四边形ABCD中，ABAD，ADBC，AD6，BC2AB4，E，F分别在BC，AD上，EFAB，现将四边形ABEF沿EF折起，使BEEC(1)若BE1，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；(2)求三棱锥A-CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离解：(1)线段AD上存在一点P，使得CP
19、平面ABEF，此时.理由如下：当时，.过点P作PMFD交AF于点M，连接EM，则有.由题意得FD5，故MP3.由题意得EC3，又MPFDEC，MPEC四边形MPCE为平行四边形，CPME.又CP平面ABEF，ME平面ABEF，CP平面ABEF成立(2)设BEx(0x4)，AFx，FD6x.由题意得ECEF.又BEEC，BEEFE，EB平面ECDF.AFBE，AF平面ECDF.故VACDF2(6x)x(x26x)当x3时，VA-CDF有最大值3，此时EC1，AF3，FD3，DC2，AD3，AC，在ACD中，由余弦定理得cos ADC.sinADC.SADCDCDAsinADC3.设点F到平面ACD的距离为h，由VA-CDFVF-ACD，即3hSACD，解得h.点F到平面ACD的距离为.